射影平面

在几何学中, 射影平面是指二维的射影空间. 射影平面是 “带有无穷远点的平面”. 例如, 实数域上的射影平面, 即实射影平面 ${\mathbb{RP}}^2$, 由两个部分组成:

•	普通的平面, 即 Euclid 平面 ${\mathbb{R}}^2$.

•	对平面上的每个方向, 有一个无穷远点. 这里, “方向” 是指直线的朝向. 沿着该方向的所有直线都平行, 但它们相交于这个无穷远点.

这样, 射影平面上, 任两条不同的直线都有唯一的交点. 另外, 所有无穷远点也构成一条直线, 称为无穷远线.

射影平面的概念起源于对透视的研究. 例如, 假设地面上有两条平行的铁轨. 如果我们拍摄一张照片, 则这两条铁轨在照片中将会相交于地平线. 这里的地平线就是上述的无穷远线, 而铁轨的交点就是铁轨所在的方向上的无穷远点.

通过射影平面上的射影变换, 可以将无穷远点、无穷远线变成普通的点、普通的直线. 例如, “拍摄一张照片” 就是从地面 (加上假想的无穷远线) 到照片的射影变换, 它将地面上的无穷远线映射到照片里的普通直线.

射影平面上的几何称为射影几何. 射影几何主要研究被射影变换所保持的性质.

1定义

定义 1.1 (射影平面). 域 $k$ 上的射影平面是二维射影空间 ${\mathbb{P}}_k^2$, 或简记为 ${\mathbb{P}}^2$.

具体地说, ${\mathbb{P}}^2$ 由形如 $[x:y:z]$ 的点构成, 其中 $x,y,z\in k$ 是不全为 $0$ 的元素. 并且, 对任何非零的 $\lambda \in k$, 我们规定$$[\lambda x:\lambda y:\lambda z]=[x:y:z].$$

这里, 我们可以将所有形如 $[x:y:1]$ 的点构成的子集视为仿射平面, 而将形如 $[x:y:0]$ 的点看成无穷远点; 这些无穷远点构成一条射影直线, 也就是引言所述的无穷远线. 射影平面的所有点都在这两类当中.

2相关概念

术语翻译

射影平面 • 英文 projective plane • 德文 projektive Ebene (f) • 法文 plan projectif (m)