模态 (范畴论)

约定. 在本文中,

• 范畴都指 $(\infty ,1)$-范畴.
• 意象都指 $(\infty ,1)$-意象.

在范畴论中, 模态是一种特殊的分解系, 其左右类都在基变换下封闭.

1定义

定义 1.1. 范畴 $\mathcal{C}$ 上的模态是一个分解系 $(\mathcal{L},\mathcal{R})$, 其左类 $\mathcal{L}$ 在基变换下封闭. 换言之, 如果 $\mathcal{C}$ 中拉回方块$$X^{\prime }X{Y}^{\prime }Y{f}^{\prime }┌f$$的右边 $f$ 在 $\mathcal{L}$ 中, 那它的左边 $f^{\prime }$ 也在 $\mathcal{L}$ 中.

注 1.2. 注意每个分解系 $(\mathcal{L},\mathcal{R})$ 的右类 $\mathcal{R}$ 都在基变换下封闭.

2例子

例 2.1. 对意象 $\mathcal{X}$ (例如生象范畴 $\mathsf{Ani}$), 记

•	$C_n(\mathcal{X})$ 为 $\mathcal{X}$ 中 $n$-连通映射的类.
•	$T_n(\mathcal{X})$ 为 $\mathcal{X}$ 中 $n$-截断映射的类.

则 $(C_n(\mathcal{X}),T_n(\mathcal{X}))$ 构成 $\mathcal{X}$ 上模态.

3性质

意象中的模态有许多好性质.

定义 3.1. 设 $\mathcal{C}$ 是范畴. 我们称 $\mathcal{C}$ 中一族态射 $\mathcal{L}$ 是局部的, 如果它满足下列条件:

•	类 $\mathcal{L}$ 在基变换下封闭;
•	对态射 $f:X\to Y$, 如果存在一族态射 $g_i:Y_i\to Y$ 使得 ${\coprod }_i{Y}_i\to Y$ 是有效满射, 且 $f$ 沿每个 $g_i$ 的基变换都在 $\mathcal{L}$ 中, 那么 $f$ 本身也在 $\mathcal{L}$ 中.

命题 3.2. 设 $\mathcal{X}$ 是意象, $(\mathcal{L},\mathcal{R})$ 是 $\mathcal{X}$ 上模态, 则态射族 $\mathcal{L}$ 和 $\mathcal{R}$ 都是局部的.

定义 3.3. 设 $\mathcal{C}$ 是范畴, $(\mathcal{L},\mathcal{R})$ 是 $\mathcal{C}$ 上模态. 我们称$$TZYW$$是 $\mathcal{X}$ 中 $\mathcal{L}$-拉回方块, 如果自然态射 $T\to Y{\times }_{W}Z$ 在左类 $\mathcal{L}$ 中.

命题 3.4. 设 $\mathcal{X}$ 是意象, $(\mathcal{L},\mathcal{R})$ 是 $\mathcal{X}$ 上模态. 在交换图$$ABCDEFt$$中, 若左侧方块和右侧方块都是 $\mathcal{L}$-拉回, 则外部方块也是 $\mathcal{L}$-拉回; 反过来, 如果外部方块和左侧方块是 $\mathcal{L}$-拉回, 且 $t$ 是有效满射, 则右侧方块也是 $\mathcal{L}$-拉回.

4与类型论的关系

本页面的模态应当是模态 (类型论) 的范畴语义.

术语翻译

模态 • 英文 modality