(∞,1)-范畴

在高阶范畴论中, $(\infty ,1)$-范畴是一种 $\infty$-范畴, 是 $(\infty ,n)$-范畴当 $n=1$ 时的特例, 指所有 $n$-态射当 $n>1$ 时都可逆的 $\infty$-范畴. 它具有与普通范畴类似的性质, 但态射之间可以有高阶的同伦, 也就是可逆的高阶态射.

例如, 所有拓扑空间及其间连续映射、连续映射间的同伦、同伦间的同伦等, 就构成 $(\infty ,1)$-范畴, 因为所有同伦都是可逆的. 又例如, 所有链复形及其间链映射、链映射间的链同伦、链同伦间的同伦等, 也构成 $(\infty ,1)$-范畴.

通过充实范畴的观点, 可以大致将 $(\infty ,1)$-范畴认为是充实于 $(\infty ,0)$-范畴, 即 $\infty$-群胚, 的充实范畴. 也就是说, 它有一族对象, 而每两个对象之间的态射集是一个 $\infty$-群胚, 也就是一个同伦型. 我们可以将该 $\infty$-群胚描述为一个拓扑空间或一个 Kan 复形, 由此出发可以给出 $(\infty ,1)$-范畴的一个精确定义. 但需注意, 并不能直接使用普通范畴的充实范畴理论来定义 $(\infty ,1)$-范畴, 因为我们需要考虑 $\infty$-范畴版本的充实范畴. 换言之, 我们需要考虑到这些 $\infty$-群胚之间的高阶态射.

在 $(\infty ,1)$-范畴中, 两个对象之间的所有态射构成 $(\infty ,0)$-范畴, 即 $\infty$-群胚. 所有 $(\infty ,1)$-范畴构成一个 $(\infty ,2)$-范畴.

文献中常常将 $(\infty ,1)$-范畴简称为 “$\infty$-范畴”, 但我们不采用这种约定.

1定义

在高阶范畴论中, 我们常将 $(\infty ,1)$-范畴视为抽象的对象, 而用多种不同的方式描述之, 每种方式就给出了 $(\infty ,1)$-范畴的一种等价定义, 称为它的一种模型. 我们将提及 $(\infty ,1)$-范畴的若干种不同的模型.

在定义 $(\infty ,1)$-范畴时, 不仅需要说明 $(\infty ,1)$-范畴是什么对象, 至少还需要说明两个 $(\infty ,1)$-范畴何时是相同的, 即范畴等价的. 这是因为, 如果使用了错误的范畴等价的概念, 将会得到错误的 $(\infty ,1)$-范畴的概念. 这正如在普通范畴论中, 如果错误地将范畴同构作为范畴等价的概念, 则无法得到正确的范畴论, 而会得到某种代数结构的理论.

除此之外, 在定义 $(\infty ,1)$-范畴时, 我们最好还能够说明它们之间的态射是什么, 即定义 $(\infty ,1)$-函子, 以及这些态射间的高阶态射. 描述这一结构的最佳方式是 $\infty$-范畴, 但我们在还未定义 $(\infty ,1)$-范畴时还不能使用该概念. 为了绕过这一问题, 我们可以使用同伦代数的工具, 定义一个模型范畴. 模型范畴描述了与 $(\infty ,1)$-范畴类似的信息, 且附加了更多信息, 以便于高阶范畴论中的各种计算. 我们会将 $(\infty ,1)$-范畴定义为某个模型范畴中的双纤维性对象, 而其间的范畴等价则定义为模型范畴中的弱等价. $(\infty ,1)$-范畴之间的函子、高阶态射等也可以由这些模型范畴而定义.

通过拟范畴

一种较为常见的观点是, 将 $(\infty ,1)$-范畴定义为拟范畴.

定义 1.1. 考虑单纯集范畴 $\mathsf{sSet}$ 上的 Joyal 模型结构.

•	$(\infty ,1)$-范畴是该模型范畴中的双纤维性对象, 即拟范畴.

•	$(\infty ,1)$-范畴等价是该模型范畴中的弱等价.

通过充实范畴

在引言中提到, 可以将 $(\infty ,1)$-范畴视为充实于 $\infty$-群胚的充实范畴. 我们使用 Kan 复形来描述 $\infty$-群胚, 从而 $(\infty ,1)$-范畴定义为充实于 Kan 复形的充实范畴.

定义 1.2. 考虑单纯范畴的范畴 ${\mathsf{Cat}}_{\mathsf{sSet}}$ 上的 Bergner 模型结构.

•	$(\infty ,1)$-范畴是该模型范畴中的双纤维性对象, 即充实于 Kan 复形的充实范畴.

•	$(\infty ,1)$-范畴等价是该模型范畴中的弱等价.

通过完备 Segal 空间

$(\infty ,1)$-范畴的另一种模型是完备 Segal 空间.

定义 1.3. 考虑双单纯集的范畴 $\mathsf{ssSet}$ 上的 Rezk 模型结构.

•	$(\infty ,1)$-范畴是该模型范畴中的双纤维性对象, 即完备 Segal 空间.

•	$(\infty ,1)$-范畴等价是该模型范畴中的弱等价.

2相关概念

术语翻译

$(\infty ,1)$-范畴 • 英文 $(\infty ,1)$-category • 德文 $(\infty ,1)$-Kategorie (f) • 法文 $(\infty ,1)$-catégorie (f)