环绕数 (纽结论)

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环绕数是一个同痕不变量, 它衡量出两条有向封闭曲线互相环绕的次数．

设 $A, B$ 是有向链环 $L$ 的两个分支．

我们定义 $A$ 与 $B$ 的环绕数 $link (A, B)$ 为圈 $A$ 与圈 $B$ 交叉处 (既不包括 $A$ 自我交叉点, 也不包括 $B$ 自我交叉点, 更不包括 $A, B$ 与其余分支交叉点) 的正负号总和的一半. 规定, 在投影图中, 从上线的箭头旋转到下线的箭头的最小转角是反时钟方向的, 为正交叉点; 顺时钟方向的为负． $link (A, B)$ 是同痕不变量, 因为 R1 变换只涉及分支自我交叉点, 与环绕数无关; 而 R2, R3 也明显地不影响环绕数的值．

1性质
2度数定义
3微分形式定义

1性质

1.

当 $A, B$ 之一的走向反转时, 环绕数要改变正负号, 因为 $A$ 与 $B$ 的交叉点的正负号都变了．

然而如果 $A, B$ 的走向同时反转, 它们的环绕数不变．

2.

设 $L$ 是有向的双分支链环, $L^{*}$ 是 $L$ 的镜像． $link (L^{*}) = - link (L)$

2度数定义

定义映射 $L : A \times B \to S^{2}$ 为 $L (x, y) = \frac{x - y}{∥ x - y ∥},$ 其中 $A \times B$ 赋予乘积定向, $S^{2}$ 赋予标准定向. 则 $A$ 与 $B$ 的环绕数定义为该映射的映射度: $link (A, B) = de g (L) .$ 几何直观上, 当投影到某方向时, 交叉点的符号对应于映射 $L$ 覆盖对应方向的次数, 符号总和的一半即为度数.

映射 $L$ 的度数可表示为 高斯积分: $link (A, B) = \frac{1}{4 π} \int_{A \times B} \frac{( x - y ) \cdot ( d x \times d y )}{∥ x - y ∥ ^{3}},$

3微分形式定义

设 $A$ 和 $B$ 为 $S^{3}$ 中两个不相交的有向闭合曲线.

选取 $A$ 和 $B$ 的不相交开邻域 $W_{A}$ 和 $W_{B}$ , 并选取紧支 Poincaré 对偶 $η_{A} \in H_{c}^{2} (W_{A})$ 和 $η_{B} \in H_{c}^{2} (W_{B})$ . 此处 $η_{A}$ 和 $η_{B}$ 分别对应于 $A$ 和 $B$ 的 “几何对偶” 形式, 满足对任意紧支 1-形式 $α$ , 有 $\int_{W_{A}} η_{A} \land α = \int_{A} α 和 \int_{W_{B}} η_{B} \land α = \int_{B} α .$

将 $η_{A}$ 和 $η_{B}$ 零延拓到整个 $S^{3}$ (仍记作 $η_{A}$ 和 $η_{B}$ ) . 由于 $S^{3}$ 的 De Rham 上同调 $H_{DR}^{2} (S^{3}) = 0$ , 存在全局定义的 1-形式 $ω_{A}$ 和 $ω_{B}$ , 使得 $d ω_{A} = η_{A} 和 d ω_{B} = η_{B} .$

定义 $A$ 与 $B$ 的环绕数为 $link (A, B) = \int_{S^{3}} ω_{A} \land η_{B} .$ 此积分可理解为 $ω_{A}$ (对应 Seifert 面 $D$ , 满足 $\partial D = A$ ) 与 $η_{B}$ (对应 $B$ 的几何对偶) 的交截作用.

由 $η_{B} = d ω_{B}$ 和 Stokes 定理, 积分可改写为 $\int_{S^{3}} ω_{A} \land d ω_{B} = \int_{S^{3}} d (ω_{A} \land ω_{B}) - \int_{S^{3}} d ω_{A} \land ω_{B} = - \int_{S^{3}} η_{A} \land ω_{B},$ 结合 $η_{A}$ 与 $η_{B}$ 的紧支不相交性, 可得对称性 $link (A, B) = link (B, A)$ .

术语翻译

环绕数 • 英文 linking number

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