环绕数 (纽结论)

此页面尚不符合香蕉空间的百科写作风格, 并需要改进. 请编辑者参照已有的与之内容相近的条目, 以及香蕉空间:写作指引的要求, 对此页面进行修改.

环绕数是一个同痕不变量, 它衡量出两条有向封闭曲线互相环绕的次数．

设 $K_1,K_2$ 是有向链环 $L$ 的两个分支．

我们定义 $K_1$ 与 $K_2$ 的环绕数 $\mathrm{lk}(K_1,K_2)$ 为圈 $K_1$ 与圈 $K_2$ 交叉处 (既不包括 $K_1$ 自我交叉点, 也不包括 $K_2$ 自我交叉点, 更不包括 $K_1,K_2$ 与其余分支交叉点) 的正负号总和的一半. 规定, 在投影图中, 从上线的箭头旋转到下线的箭头的最小转角是反时钟方向的, 为正交叉点; 顺时钟方向的为负．

$\mathrm{lk}(K_1,K_2)$ 是同痕不变量, 因为 R1 变换只涉及分支自我交叉点, 与环绕数无关; 而 R2, R3 也明显地不影响环绕数的值．

当链环 $L$ 只有 $K_1,K_2$ 这两个分支时, 我们有时把 $\mathrm{lk}(K_1,K_2)$ 简写作 $\mathrm{lk}(L)$．

1性质

1.	当 $K_1,K_2$ 之一的走向反转时, 环绕数要改变正负号, 因为 $K_1$ 与 $K_2$ 的交叉点的正负号都变了． 然而如果 $K_1,K_2$ 的走向同时反转, 它们的环绕数不变．
2.	设 $L$ 是有向的双分支链环, $L^{\ast }$ 是 $L$ 的镜像．$$\mathrm{lk}(L^{\ast })=-\mathrm{lk}(L)$$