de Rham 上同调

本文介绍的是流形的上同调理论. 关于代数几何中的相应理论, 请参见 “代数 de Rham 上同调”.

de Rham 上同调是连接微分几何与代数拓扑的纽带, 它将光滑流形的奇异上同调与微分形式联系起来.

de Rham 定理说明, 任何光滑流形的 de Rham 上同调同构于其奇异上同调.

1定义

定义 1.1 (de Rham 上同调). 光滑流形 $X$ 的 de Rham 复形是以下链复形: $$\cdots \to 0\to {\Omega }^0(X)\stackrel{d}{\to }{\Omega }^1(X)\stackrel{d}{\to }{\Omega }^2(X)\to \cdots ,$$其中 ${\Omega }^k(X)$ 是 $X$ 上 $k$ 次微分形式的空间, $d$ 是外微分.

设整数 $k\ge 0$. 则 $X$ 的 $k$ 阶 de Rham 上同调 $H_{\mathrm{dR}}^k(X)$ 定义为 de Rham 复形的链上同调: $$H_{\mathrm{dR}}^k(X)=\frac{\ker (d:{\Omega }^k(X)\to {\Omega }^{k+1}(X))}{\mathrm{im}(d:{\Omega }^{k-1}(X)\to {\Omega }^k(X))},$$也就是所有闭 $k$-形式的空间商掉所有恰当 $k$-形式的空间.

2de Rham 定理

定理 2.1 (de Rham). 设 $X$ 是光滑流形. 则$$H_{\mathrm{dR}}^k(X)\simeq H^k(X;\mathbb{R}),$$其中右边是 $X$ 的奇异上同调. 并且, 这一同构由配对$$\begin{array}{rl}{H}_{\mathrm{dR}}^k(X)\times H_k(X;\mathbb{R})& \to \mathbb{R},\\ ([\omega ],[c])& \mapsto {\int }_c\omega \end{array}$$及同构 $H^k(X;\mathbb{R})\simeq H_k(X;\mathbb{R}{)}^{\vee }$ 给出.

3相关概念

•	Hodge 理论
•	代数 de Rham 上同调

术语翻译

de Rham 上同调 • 英文 de Rham cohomology • 德文 De-Rham-Kohomologie (f) • 法文 cohomologie de de Rham (f)