Principal Bundles

Let $E \times G \to E$ be a free action and set $C (E) = {(x, xg) ∣ x \in E, g \in G}$ . We call $t = t_{E} : C (E) \to G, (x, xg) \mapsto g$ the translation map of the action.

引理 1. Let $p : E \to E / G$ be locally trivial. Then the translation map is continuous.

证明.

证明. 略.

$□$

A free $G$ -action on $E$ is called weakly proper if the translation map is continuous. It is called proper if, in addition, $C (E)$ is closed in $E \times E$ .

注 2. 这个紧合作用的定义实际上是 [TG, III.p31] 中的 Proposition 6. 可见 Topologie Générale

命题 3. A free action of $G$ on $E$ is weakly propre if and only if $θ^{'} : E \times G \to C (E), (x, g) \mapsto (x, xg)$ is a homeomorphism.

证明.

证明. 这个证明实际上被包含在 [TG, III.31(213), Prop.6] 中.

$□$

Let $E$ carry a free right $G$ -action and $F$ a left $G$ -action. We have $E \times F E E \times_{G} F E / G pr_{1} P p q$ with orbit maps $P$ and $p$ and $q = pr_{1} / G$ .

命题 4. A free right $G$ action on $E$ is weakly proper if and only if for each left $G$ -space $F$ the diagram is a topological pullback.

证明.

证明. 设连续映射 $u : X \to E \times_{G} F$ 与 $v : X \to E$ 使得 $q \circ u = p \circ v$ . 结合 $E \times_{G} F$ 与 $q$ 的定义, 对于每个 $x \in X$ 有唯一一个 $f \in F$ 使得 $P (v (x), f) = u (x)$ , 故定义 $w (x) = (v (x), f)$ 这样这个图是集合的拉回. 前述思路推不下去. 对于原文思路如下:

$E \times F X E E \times_{G} F E / G pr_{1} λ P b a p q$ 当 $x_{1} g_{1} = x_{2} g_{2}$ 时, 有 $x_{1} = x_{2} g_{2} g_{1}^{- 1}$ , 这样 $(x_{1}, g_{1}) = (x_{2} g_{2} g_{1}^{- 1}, g_{1}) \sim (x_{2}, g_{2})$ . 故 $(x, g) \mapsto xg$ 是从 $E \times_{G} G \to E$ 的单射. 显然这个是满射, 故也就是双射. 连续性显然, 而它能把 $E \times G$ 中的标准拓扑子基映射为开集, 故这个映射是开映射, 这样就是同胚. 在这个同胚下把 $E \times_{G} G$ 与 $E$ 等同起来, 那么 $X$ 就变成 $X = {(x, y) \in E \times E ∣ p (x) = p (y)} = C (E)$ $λ$ 变成 $λ (x, g) = ((x, g), x)) = (xg, x)$ 后者只与 $θ^{'}$ 差一个顺序. 故这个图对 $F = G$ 是拉回时, $λ$ , 或者 $θ^{'}$ 是同胚, 由 Proposition 3 得到是 weakly proper.

\tilde{X}

是

E \times F \times E

的子空间.

y = x t (x, y) = xg g^{- 1} t (x, y)

故

t (xg, y) = g^{- 1} t (x, y)

. 这样

((xg, g^{- 1} f), y) \mapsto (y, t (xg, y)^{- 1} g^{- 1} f) = (y, t (x, y)^{- 1} f)

故

\tilde{μ}

可诱导

μ

. 同时

λ μ ((x, f), y) = λ (y, t (x, y)^{- 1} f) = ((y, t (x, y)^{- 1} f), y) = ((y t (x, y)^{- 1}, f), y) = ((x, f), y)

$□$

命题 5. Let $G$ act freely and weakly properly on $E$ . The sections of $q : E \times_{G} F \to E / G$ correspond bijectively to the maps $f : E \to F$ with the property $f (xg) = g^{- 1} f (x)$ ; here we assign to $f$ the section $s_{f} : x \mapsto (x, f (x))$

证明.

证明. 当 $x$ 变为 $xg$ 时, $(xg, f (xg)) = (xg, g^{- 1} f (x)) \sim (x, f (x))$ , 这样 $E \to E \times F, x \mapsto (x, f (x))$ 可诱导连续 $s_{f} : B = E / G \to E \times_{G} F$ . $E E \times F E / G E \times_{G} F P s_{f}$

$σ$ 应该满足: $E E \times F E E \times_{G} F E / G i d σ s \circ p pr_{1} P p q$ 根据 $σ$ 与 $f$ 的定义有 $σ (x) = (x, f (x))$ , 所以 $σ (xg) = (xg, f (xg))$ 同时 $σ (x) g = (xg, g^{- 1} f (x))$ .

由 $f$ 得到的截面 $s_{f}$ , 我们令 $σ (x) = (x, f (x))$ . 那么显然 $pr_{1} \circ σ = id, P \circ σ = s_{f} \circ p$ , 这样 $σ$ 就是图里那个根据 $s_{f}$ 得到的映射了. 自然 $f = pr_{2} \circ σ$ .

反过来从截面

s

得到

f : E \to F

, 则

σ (x) = (x, f (x))

, 且

P \circ σ = s \circ p

对

G

作用不变, 由这样自然诱导出

s

.

$□$

命题 6. Let the free $G$ -action on $E$ be weakly proper. Then the orbit map $p : E \to E / G = B$ is isomorphic to $pr : B \times G \to B$ if and only if $p$ has a section.

证明.

证明. 当 $p$ 有截面时, 可以以这个截面为基准面. 由于 $G$ 是自由作用, 故这样可以得到一对双射. 就是 $(b, g) \mapsto s (b) g$ 与 $x \mapsto (p (x), t (s \circ p (x), x))$ .

反过来当同构时,

x \mapsto (x, 1)

就是截面.

$□$

命题 7. Let $X$ and $Y$ be free $G$ -spaces and $Φ : X \to Y$ a $G$ -map. If $φ = Φ/ G$ is a homeomorphism and $Y$ weakly proper, then $Φ$ is a homeomorphism.

证明.

证明. 由 $y = x t_{X} (x, y)$ 得到 $Φ (y) = Φ (x) t_{X} (x, y)$ , 所以 $t_{Y} (Φ (x), Φ (y)) = t_{X} (x, y)$ . 这样 $t_{X}$ 连续, 即 $G$ 弱紧和作用在 $X$ 上.

设 $y \in Y / G$ , 则有如下推理: $s \circ ψ (y) τ \circ s \circ ψ (y) π_{Y} \circ σ (y) = (ψ (y), Φ (ψ (y))) = (Φ (ψ (y)), ψ (y)) = p_{Y} \circ Φ (ψ (y))$ 这里 $p_{Y} : Y \to Y / G$ 是标准投射. 同时注意 $ψ (y)$ 是 $X / G$ 中的元素, 而这里 $Φ (ψ (y))$ 表示选出 $ψ (y)$ 的一个代表元作为自变量, 那么复合上前面的 $p_{Y}$ 实际上就是 $φ (ψ (y)) = y$ . 这样 $σ$ 就是一个截面. 于是有对应的 $Ψ : Y \to X$ .

现在我们证明

Ψ

确实是

Φ

的逆. 为此需要给出

Ψ

的具体形式: 对于

y \in Y

, 设

x

是等价类

ψ (p_{Y} (y))

中的一个元素, 即

p_{Y} \circ Φ (x) = p_{Y} (y)

, 或者

Φ (x) \sim y

. 按照

σ

的定义, 有

σ \circ p_{Y} (y) = (Φ (x), x)

则根据命题 5 的证明, 需要写出那个

Y \to Y \times X

, 为此先考虑命题 4 证明中的标准拉回 “

X

",

id_{Y}

和

σ \circ p_{Y}

决定如下映射

y \mapsto ((Φ (x), x), y)

结合命题 4 证明中的

μ

, 我们有映射

Y \to Y \times X

:

y \mapsto (y, t_{Y} (Φ (x), y)^{- 1} x)

注意由于我们把右

G

-空间

X

典范地看成了左

G

-空间, 所以这个映射实际上是

y \mapsto (y, x t_{Y} (Φ (x), y))

这样

Ψ

可以写成

y \mapsto x t_{Y} (Φ (x), y)

,

Φ (x) \sim y

. 并且

Φ (Ψ (y)) = Φ (x) t_{Y} (Φ (x), y) = y

. 对于

x \in X

, 设

y = Φ (x)

, 这样

Ψ (Φ (x)) = Ψ (y) = x t_{Y} (Φ (x), y) = x

. 所以

Ψ

确实是

Φ

的逆.

$□$

当 $p$ 是标准投射 $B \times G \to B$ 且 $C = f^{- 1} (B)$ 时, 有 $Y = {(c, x, g) \in C \times B \times G ∣ f (c) = x} = {(c, f (c), g)}$ 显然 $Y$ 同胚于 $C \times G$ , 且 $q$ 也是标准投射. 这样 $q$ 也在 $f^{- 1} (B)$ 上平凡.

设 $f^{*} X \to C$ 是拉回丛, 那么有唯一一个映射 $Y \to f^{*} X$ 满足有关条件, 特别地, 它是 $id_{C}$ 上的丛映射. 结合命题 7 可得这个映射是同胚, 所以丛映射都是拉回.

命题 8. Let $U$ be a right $G$ -space. The following are equivqlent:

1.	There exists a $G$ -map $f : U \to G$ .
2.	There exists a subset $A \subset U$ such that $m : A \times G \to U, (a, g) \mapsto a g$ is a homeomorphism.
3.	The orbit map $p : U \to U / G$ is $G$ -homeomorphism over $U / G$ to the projection $pr : U / G \times G \to U / G$
4.	$U$ is a free $G$ -space, $p : U \to U / G$ has a section, and $t_{U}$ is continuous.

证明.

证明. (1) 推 (2): $v : x \mapsto x \cdot f (x)^{- 1}$ , 显然 $f (x \cdot f (x)^{- 1}) = e$ . 这样有: 对于 $x \in U$ $x \mapsto (x \cdot f (x)^{- 1}, f (x)) \mapsto x \cdot f (x)^{- 1} \cdot f (x) = x$ 以及对于 $(a, g) \in A \times G$ , 有: $(a, g) \mapsto a g \mapsto (a g \cdot f (a g)^{- 1}, f (a g)) = (a f (a)^{- 1}, f (a) g) = (a, g)$ 注意 $a \in A = f^{- 1} (e)$ .

(2) 推 (3): (2) 中的 $m$ 是 $G$ -同胚, 自然有如下丛同构: $U A \times G U / G p m (a, g) \mapsto p (a)$ 同时有同胚 $m / G : (A \times G) / G \to U / G, (a, g) \mapsto p (a)$ 与 $ϵ : A \to (A \times G) / G$ 这样有 $G$ -同胚 $(m / G \circ ϵ) \times id : A \times G \to U / G \times G, (a, g) \mapsto (p (a), g)$ . 这样结合上图就得到 $p$ 与 $pr_{1} : U / G \times G \to U / G$ 的丛同构.

(3) 推 (4): $U / G \times G U U / G pr_{1} φ p$ 从 $C (E)$ 到 $G$ 的标准映射通过 $φ$ 可变成 $(a, g, a, h) \mapsto g^{- 1} h$ 就像命题 1 的证明那样, 自然是连续的.

(4) 推 (1): 这个过程实际上是求

x \in U

到给定截面上的 “投影” 的差距, 这个差距自然表示为

G

作用.

$□$

命题 9. The total space $E$ of a $G$ -principal bundle is locally trivial. If $E$ is locally trivial, then $E \to E / G$ is a $G$ -principal bundle.

证明.

证明. 略.

$□$

命题 10. Let $f : X \to Y$ be a $G$ -map and $p_{Y} : Y \to Y / G$ a $G$ -principal bundle. Then the diagram $X Y X / G Y / G f p_{X} p_{Y} f / G$ is pullback.

证明.

证明. 略.

$□$

命题 11. Let $G$ be a topological group and $H$ a subgroup. The quotient map $q : G \to G / H$ is an $H$ -principal bundle if and only if $q$ has a section over some neighborhood of the unit coset.

证明.

证明. $t_{G} (a, b) = a^{- 1} b$ 自然是连续的.

{k q^{- 1} (U)}_{k \in G}

是

G

的开覆盖.

k g \mapsto s (q (g))^{- 1} g

实际上是求

g

和它在给定截面上的投影的差距.

$□$

命题 12. Let $E \times G \to E, (x, g) \mapsto xg$ be a free right action of the discrete group $G$ . The following assertions are equivalent:

1.	The orbit map $p : E \to E / G$ is a $G$ -principal covering.
2.	Each $x \in E$ has a neighborhood $U$ , such that $U \cap Ug = \emptyset$ for each $g \neq = e$ .
3.	The set $t^{- 1} (e)$ is open in $C (E)$ .
4.	The map $t$ is continuous.

证明.

证明. (2) 推 (1) 中,

U

是 (2) 中的

U

, 若

u_{1} g_{1} = u_{2} g_{2}

则

u_{1} = u_{2} g_{2} g_{1}^{- 1}

则由 (2) 可得

g_{1} = g_{2}

故这个映射是双射. 开映射显然. 所以是

G

-同胚.

$□$

关于联系丛 associated fibre bundle, $(U \times G) \times_{G} F ≅ U \times F$ 可参考这里.

[TG]	N.Bourbaki, Topologie Générale.

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