用户: 数学迷/Eisenstein 级数的解析延拓

本讲把上一讲定义的 Eisenstein 级数 $E(w,s)$ 延拓为全平面上亚纯函数. 记号沿用上一讲.

1基本想法

和余紧晶格的谱理论一讲中类似, 我们来考虑 $A(S)$ 的卷积作用. 具体地说, 取 $k\in A(S)$, 即 $k$ 为 $S\times S$ 上紧支光滑函数, 满足对任意 $g\in \mathrm{SO}(n+1,1{)}^0$ 都有 $k(g{w}_1,g{w}_2)=k(w_1,w_2)$, 比如可将 $k(w_1,w_2)$ 取成关于距离平方 $d^2(w_1,w_2)$ 的紧支光滑函数. 则由于 $E(w,s)$ 是 Laplace 特征函数, 特征值为 $s(n-s)$, 由平均值原理的推广一讲中结果, 有$$(k\ast E)(w,s)=\hat{k}(s(n-s))E(w,s).$$现在 $E(w,s)$ 为算子 $k\ast$ 的特征函数, 特征值为 $\hat{k}(s(n-s))$. 如我们熟悉 $k\ast$ 的谱, 可能可以期待从中读出特征向量 $E$ 来, 不论 $s\in \mathbb{C}$ 是多少. 但这里有两大问题:

1.	$k\ast$ 不像余紧情形一样是紧算子;
2.	$E(w,s)\notin L^2(X)$;

下面就来详细考察并解决之.

2估计核函数

记号承上. 考虑 $S\times S$ 上的函数$$K(w_1,w_2)=\sum _{\gamma \in \Gamma }k(\gamma w_1,w_2),$$则它光滑, 因为和式其实是有限和; 它还 $\Gamma$-不变, 所以可以视为 $X\times X$ 上的函数. 依定义, 对 $X$ 上的函数 $f$, 把 $f$ 视为 $S$ 上的函数然后与 $k$ 卷积, 得到的实际上就是$${\int }_{X}K(w,z)f(z)\mathrm{d}z.$$现在来估计 $K$. 为此首先注意, 由于 $k$ 在等距变换下不变, 所以它实际上是距离平方的函数, 即$$k(w_1,w_2)=\Psi (d^2(w_1,w_2))=\Psi \left(\frac{|x_1-x_2{|}^2}{y_1{y}_2}+\frac{y_2}{y_1}+\frac{y_1}{y_2}-2\right),$$其中 $\Psi$ 在 $[0,+\infty )$ 紧支. 如上一讲中一样取 $\Gamma$ 的基本域 $\mathcal{F}$ 和 ${\Gamma }_{\infty }$ 的基本域 $\mathcal{G}$, 满足对充分大的 $M$ 有 $\mathcal{F}\supseteq \mathcal{G}\times [M,+\infty )$. 则不难发现存在只依赖 $\Psi$ 的正常数 $A$, 使得当 $w_1,w_2\in \mathcal{F}$, $y_1>A$ 时$$K(w_1,w_2)=\sum _{\gamma \in {\Gamma }_{\infty }}k(\gamma w_1,w_2).$$对 $t\in {\mathbb{R}}^n$, 令$$\psi (t)=\Psi \left(\frac{|x_1-x_2+t{|}^2}{y_1{y}_2}+\frac{y_2}{y_1}+\frac{y_1}{y_2}-2\right),$$则它紧支光滑, 且$$K(w_1,w_2)=\sum _{t\in {\Gamma }_{\infty }}\psi (t).$$当 $y_1$ 很大时, $\gamma w_1$ 与 $w_1$ 的距离很小, 上式会有很多项, 不如用 Poisson 求和公式将其对偶. 于是计算$$\hat{\psi }(\tau )={\int }_{{\mathbb{R}}^n}\psi (t)\mathbf{e}(-⟨t,\tau ⟩)\mathrm{d}t=\mathbf{e}\left(⟨\frac{x_1-x_2}{\sqrt{y_1{y}_2}},\tau ⟩\right)(y_1{y}_2{)}^{n/2}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}\Psi \left(|u{|}^2+\frac{y_2}{y_1}+\frac{y_1}{y_2}-2\right)\mathbf{e}(⟨\sqrt{y_1{y}_2}\tau ,u⟩)\mathrm{d}u,$$注意积分式关于 $\sqrt{y_1{y}_2}\tau$ 是速降函数, 知$$K(w_1,w_2)=\sum _{\tau \in {\Gamma }_{\infty }^{\vee }}\hat{\psi }(\tau )=\hat{\psi }(0)+O((y_1{y}_2{)}^{-N})={\int }_{{\mathbb{R}}^n}k(w_1+t,w_2)\mathrm{d}t+O((y_1{y}_2{)}^{-N}),$$对任意大的自然数 $N$. 由于 $\hat{\psi }(0)=O((y_1{y}_2{)}^{n/2})$, 可总结 $K$ 的行为如下:

•	当 $y_1,y_2$ 远离, 即存在只依赖 $\Psi$ 的正常数 $B$, 使得 $y_2/y_1+y_1/y_2>B$ 时, $K(w_1,w_2)=0$.
•	当 $y_1,y_2$ 接近时, $K(w_1,w_2)=O((y_1{y}_2{)}^{n/2})$; 当 $y_1=y_2=y$ 时, $K(w_1,w_2)=C{y}^n+O(y^{-N})$, 对常数 $C={\int }_{{\mathbb{R}}^n}\Psi (|u{|}^2)\mathrm{d}u$ 以及任意大的 $N$.

由此可见, 和余紧晶格情形不同, $K(w_1,w_2)$ 并不平方可积.

3截断与延拓

万事俱备, 现在来延拓 Eisenstein 级数. 为此任取正实数 $R$, 来证明它可以亚纯延拓到 $B_R(n/2)\subseteq \mathbb{C}$ 上. 由平均值原理一讲中的结论, 可取 $k\in A(S)$ 使得对任意 $s\in B_R(n/2)$ 有 $\hat{k}(s(n-s))\ne 0$.

取 $A\in {\mathbb{R}}_{+}$ 充分大, 并取单调光滑函数 $\alpha :{\mathbb{R}}_{+}\to \mathbb{R}$, 在 $(0,A)$ 取 $0$, 在 $(A+1,+\infty )$ 取 $1$. 考虑 $X$ 上向量值函数 $\alpha (y)y^s$, 其第 $j$ 个坐标定义为 $\alpha (y_j)y_j^s$, 即其为光滑函数, 在第 $j$ 个尖点附近取 $y_j^s$, 其它地方取 $0$. 注意虽然 $y_j^s$ 在 $X$ 上不良定义, 但是 $\alpha (y)y^s$ 良定义. 同样把各个尖点的 Eisenstein 级数组合成向量值函数, 记作 $E(w,s)$, 则上一讲的最后一节给出$$E(w,s)=\alpha (y)y^s+\Phi (s)\alpha (y)y^{n-s}+G(w,s),$$其中 $G(w,s)$ 在各尖点处指数衰减.

沿用上一节中记号 $k$ 与 $K$, 并用 $K$ 表示核函数 $K$ 对应的积分算子, 亦即拿 $k$ 卷积. 令$$\tilde{K}(w_1,w_2)=K(w_1,w_2)-\sum _j{K}_j(w_1,w_2)$$为截断积分核, 其中 $j$ 取遍尖点, $$K_j(w_1,w_2)=\alpha (y_{1j}){\int }_{{\mathbb{R}}^n}k(w_1+t,w_2)\mathrm{d}t,$$这里 $y_{1j}$ 表示 $w_1$ 在把 $j$ 放在 $\infty$ 的坐标系下的 $y$ 坐标. 则由上一节的分析知 $\tilde{K}$ 在各个尖点处速降, 特别地 $\tilde{K}\in L^2(X\times X)$. 于是 $\tilde{K}$ 对应的积分算子, 仍记作 $\tilde{K}$, 是个 Hilbert–Schmidt 算子, 故为紧 (甚至为迹类). 注意$$(\tilde{K}-\hat{k}(s(n-s)))E_i(w,s)=-\sum _j{K}_j(E_i(w,s))=-\sum _j{K}_j({\delta }_{ij}{y}_j^s+{\varphi }_{ij}(s)y_j^{n-s}),$$因为 $K_j$ 定义中的积分零化 $E_i(w,s)$ 在 $j$ 处 Fourier 展开中的其它项. 而由 $y_j^s$ 是特征函数以及 $A$ 充分大知$$K_j(y_j^s)=\alpha (y_j){\int }_{\mathcal{F}}\left({\int }_{{\mathbb{R}}^n}k(w+t,w_2)\mathrm{d}t\right)y_{2j}^s\mathrm{d}{w}_2=\alpha (y_j){\int }_{\mathcal{G}\times {\mathbb{R}}_{+}}\left({\int }_{{\mathbb{R}}^n}k(w+t,w_2)\mathrm{d}t\right)y_{2j}^s\mathrm{d}{w}_2=\alpha (y_j)\hat{k}(s(n-s))y_j^s,$$其中 $\mathcal{F}$ 和 $\mathcal{G}$ 同上节, 分别是 $\Gamma$ 和 ${\Gamma }_j$ 的适当基本域. 所以$$(\tilde{K}-\hat{k}(s(n-s)))E_i(w,s)=-\hat{k}(s(n-s))\sum _j\alpha (y_j)({\delta }_{ij}{y}_j^s+{\varphi }_{ij}(s)y_j^{n-s}),$$或者合起来写成$$(\tilde{K}-\hat{k}(s(n-s)))E(w,s)=-\hat{k}(s(n-s))(\alpha (y)y^s+\Phi (s)\alpha (y)y^{n-s}).$$上式等号左边的 $\tilde{K}$ 固然紧了, 但等号右边多出一个尚未延拓的 $\Phi (s)$. 接下来我们变个魔术延拓它.

首先求解满足方程$$(\tilde{K}-\hat{k}(s(n-s)))E^{\ast }(w,s)=-\hat{k}(s(n-s))\alpha (y)y^s$$的向量值函数 $E^{\ast }(w,s)$, 为此也需要作截断: 令$$E^{\ast \ast }(w,s)=E^{\ast }(w,s)-\alpha (y)y^s,$$则方程变为$$(\tilde{K}-\hat{k}(s(n-s)))E^{\ast \ast }(w,s)=\tilde{K}(\alpha (y)y^s).$$由于 $\tilde{K}$ 在各个尖点处速降, 上式右边亦速降, 特别地为 $L^2$. 注意右边对任意 $s\in \mathbb{C}$ 有定义. 由一开始 $k$ 的取法, 对 $s\in B_R(n/2)$ 有 $\hat{k}(s(n-s))\ne 0$; 而 $\tilde{K}$ 是紧算子, 故 $E^{\ast \ast }(w,s)$ 可以解出, 作为从 $B_R(n/2)$ 到 $L^2(X)$ 的亚纯函数; 于是 $E^{\ast }(w,s)$ 也作为 $B_R(n/2)$ 上的亚纯函数有定义. 注意它们本身依赖于 $k$ 和 $\alpha$ 等辅助函数.

现在我们用 $E^{\ast }(w,s)$ 反过来求解 $\Phi$. 回忆关于 $E(w,s)$ 的方程$$(\tilde{K}-\hat{k}(s(n-s)))E(w,s)=-\hat{k}(s(n-s))(\alpha (y)y^s+\Phi (s)\alpha (y)y^{n-s});$$注意 $E^{\ast }(w,s)+\Phi (s)E^{\ast }(w,n-s)$ 也满足该方程, 从而当 $\mathrm{Re}(s)>n$ 且 $s\in B_R(n/2)$ 时, 二者的差被算子 $\tilde{K}-\hat{k}(s(n-s))$ 零化. 由于 $\mathrm{Re}(s)>n$ 时, $E(w,s)$ 和 $E^{\ast }(w,s)$ 在各尖点处都是 $y^s$ 加上 $L^2$ 函数, 而 $E^{\ast }(w,n-s)$ 本身 $L^2$, 可知上述差属于 $L^2$. 现 $\tilde{K}$ 是紧算子, 谱为离散, 从而对除一个离散集之外的 $s$, 此差为 $0$. 换言之, 二者作为亚纯函数相等, 即$$E(w,s)=E^{\ast }(w,s)+\Phi (s)E^{\ast }(w,n-s).$$回忆唯一性:

引理 3.1. 设 $s\in B_R(n/2)$, $\mathrm{Re}(s)>n$. 则使得$$E(w,s)=E^{\ast }(w,s)+\Lambda (s)E^{\ast }(w,n-s)$$是特征值为 $s(n-s)$ 的 Laplace 特征函数的矩阵 $\Lambda (s)$ 存在唯一, 就是 $\Phi (s)$.

证明. 这是上一讲的唯一性定理的直接推论. 或者也可照搬证明, 因为它与$$E^{\ast }(w,s)+\Phi (s)E^{\ast }(w,n-s)$$之差为 $L^2$, 而 $s(n-s)$ 不是非负实数, 不在 Laplace 的谱上.

$\square$

现对 $s\in B_R(n/2)$, $\mathrm{Re}(s)>n$, 把亚纯函数等式$$\Delta (E^{\ast }(w,s)+\Phi (s)E^{\ast }(w,n-s))=s(n-s)(E^{\ast }(w,s)+\Phi (s)E^{\ast }(w,n-s))$$视为关于 $\Phi (s)$ 的方程, 即$$\Phi (s)(\Delta E^{\ast }(w,n-s)-s(n-s)E^{\ast }(w,n-s))=s(n-s)E^{\ast }(w,s)-\Delta E^{\ast }(w,s).$$此式对几乎处处的 $w\in S$ 和除有限个之外的 $s$ 逐点成立. 这样, 上述唯一性引理就是在说, 如对这些 $w\in S$ 要求上式, 则 $\Phi (s)$ 就是唯一满足要求的矩阵. 由此可见向量组$$\{\Delta E^{\ast }(w,n-s)-s(n-s)E^{\ast }(w,n-s)\}$$生成 ${\mathbb{C}}^m$, 其中 $m$ 为尖点的个数. 取 $z_1,\dots ,z_m\in S$ 使其对应的向量生成 ${\mathbb{C}}^m$, 即矩阵$$\Delta E^{\ast }(z,n-s)-s(n-s)E^{\ast }(z,n-s)=(\Delta E_i^{\ast }(z_j,n-s)-s(n-s)E_i^{\ast }(z_j,n-s){)}_{1\le i,j\le m}$$可逆, 则有矩阵等式$$\Phi (s)=(s(n-s)E^{\ast }(z,s)-\Delta E^{\ast }(z,s))(\Delta E^{\ast }(z,n-s)-s(n-s)E^{\ast }(z,n-s){)}^{-1}.$$它固然只对 $s\in B_R(n/2)$, $\mathrm{Re}(s)>n$ 成立, 但等号右边在整个 $B_R(n/2)$ 上亚纯! 这样我们就把 $\Phi (s)$ 延拓成了 $B_R(n/2)$ 上的亚纯函数. 现在直接用等式$$E(w,s)=E^{\ast }(w,s)+\Phi (s)E^{\ast }(w,n-s)$$定义 $E(w,s)$, 则它对 $s\in B_R(n/2)$ 亚纯, 且在 $\mathrm{Re}(s)>n$ 时与原来的 $E(w,s)$ 一致. 一开始的正实数 $R$ 是任意的, 所以这样就把 $E(w,s)$ 延拓成了全平面亚纯函数. 下面是其基本性质:

命题 3.2. 上述全平面亚纯函数 $E(w,s)$ 与 $\Phi (s)$ 满足:

1.	$\Delta E(w,s)=s(n-s)E(w,s)$. 特别地, 它在极点之外的地方都关于 $w$ 光滑.
2.	$\overline{E(w,s)}=E(w,\bar{s})$, $\overline{\Phi (s)}=\Phi (\overline{s})$.
3.	$E(w,s)=\Phi (s)E(w,n-s)$.
4.	$\Phi (s)\Phi (n-s)=1$.

证明. 1, 2 是因为它对 $\mathrm{Re}(s)>n$ 成立, 而全纯函数具有刚性. 其中光滑是因为椭圆正则性. 3, 4 是个唯一性论证. 把两边写成 $E^{\ast }$, 知其差为$$(1-\Phi (s)\Phi (n-s))E^{\ast }(w,s).$$在 $E^{\ast }(w,s)$ 的极点之外, 它是 $L^2$ 函数 $E^{\ast \ast }(w,s)$ 加上 $\alpha (y)y^s$, 于是当 $-\mathrm{Re}(s)$ 足够大时它本身是 $L^2$. 此时上式就是 $\Delta$ 的 $L^2$ 特征函数, 而特征值 $s(n-s)$ 在 $-\mathrm{Re}(s)$ 足够大时并不是非负实数, 所以它是 $0$, 即 $E(w,s)=\Phi (s)E(w,n-s)$, $\Phi (s)\Phi (n-s)=1$.

$\square$

更深刻的性质如极点分布, 则需要一个截断 Eisenstein 级数的内积关系式, 即 Maass–Selberg 关系. 我们将在下一讲介绍.