Poisson 求和公式

Poisson 求和公式是指等式$$\sum _{n\in \mathbb{Z}}f(n)=\sum _{n\in \mathbb{Z}}\hat{f}(n),$$其中 $f$ 是 $\mathbb{R}$ 上的 Schwartz 函数, $\hat{f}$ 是 $f$ 的 Fourier 变换.

这个公式可以推广到某些拓扑群上, 说明函数在某个区域的积分等于它的 Fourier 变换在对偶区域上的积分. Selberg 迹公式可以看成非交换情形的 Poisson 求和公式.

Poisson 求和公式是调和分析的重要工具, 也可以用来研究 Riemann $\zeta$ 函数.

1陈述和证明

$\mathbb{R}$ 上函数

定理 1.1. 对 $\mathbb{R}$ 上的 Schwartz 函数 $f$, 记其 Fourier 变换为 $\hat{f}$, 则$$\sum _{n\in \mathbb{Z}}f(n)=\sum _{n\in \mathbb{Z}}\hat{f}(n).$$

证明. $$F(x)=\sum _{n\in \mathbb{Z}}f(x+n)$$定义了 $\mathbb{R}$ 上的周期为 $1$ 的周期函数, 考虑其 Fourier 级数 $\hat{F}$, 则有$$\hat{F}(m)={\int }_0^1{\mathrm{e}}^{-2\pi \mathrm{i}mx}F(x)dx={\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{e}}^{-2\pi \mathrm{i}mx}f(x)dx=\hat{f}(m).$$由 Fourier 级数的性质, 有$$F(x)=\sum _{n\in \mathbb{Z}}\hat{F}(m){\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}mx}=\sum _{n\in \mathbb{Z}}\hat{f}(m){\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}mx}$$在等式两端同时取 $x=0$, 即证.

$\square$

一般情况

定理 1.2. 考虑局部紧 Abel 群的正合列: $$0\to A\to B\to C\to 0.$$假设 $A,B,C$ 有 Haar 测度 $d{\mu }_A,d{\mu }_B,d{\mu }_C$ 使得 Fubini 定理成立. 即对连续紧支撑函数 $f:B\to \mathbb{C}$, $${\int }_{B}f(b)d{\mu }_B(b)={\int }_C{\int }_{A}f(a+c)d{\mu }_A(a)d{\mu }_B(c).$$令 $\hat{C}$ 是 $C$ 的 Pontryagin 对偶, $d{\mu }_{\hat{C}}$ 是 Fourier 对偶测度. 对于任意 Schwartz–Bruhat 函数 $f:B\to \mathbb{C}$, 有$${\int }_{A}f(a)d{\mu }_A(a)={\int }_{\hat{C}}\hat{f}(\hat{c})d{\mu }_{\hat{C}}(\hat{c}),$$其中 $\hat{f}:\hat{B}\to \mathbb{C}$ 是 $f$ 的 Fourier 变换.

证明. 定义函数 $F:C\to \mathbb{C}$ 为$$F(c)={\int }_{A}f(a+c)d{\mu }_A.$$则 $F$ 的 Fourier 变换为$$\begin{array}{rl}\hat{F}(\hat{c})=& {\int }_{C}F(c)\overline{⟨\hat{c},c⟩}d{\mu }_C\\ =& {\int }_C{\int }_{A}f(a+c)\overline{⟨\hat{c},c⟩}d{\mu }_{A}d{\mu }_C\\ =& {\int }_{B}f(b)\overline{⟨\hat{c},b⟩}d{\mu }_B\\ =& \hat{f}(\hat{c}).\end{array}$$由 Fourier 逆变换公式, 有$$F(c)={\int }_{\hat{C}}\hat{F}(\hat{c})⟨\hat{c},c⟩d{\mu }_{\hat{C}}={\int }_{\hat{C}}\hat{f}(\hat{c})⟨\hat{c},c⟩d{\mu }_{\hat{C}}$$代入 $c=0$ 即证.

$\square$

注 1.3. 上述定理中取 $A=\mathbb{Z}$, $B=\mathbb{R}$, $C=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$, 则转化为 $\mathbb{R}$ 上函数的情形.

2应用

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3相关概念

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4参考文献

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术语翻译

Poisson 求和公式 • 英文 Poisson summation formula • 德文 Poissonsche Summenformel • 法文 formule de sommation de Poisson