用户: 水晶球/Howard怪球

Howard 怪球源自平面三体问题中对坍缩特例的研究. 平面三体问题的周期解可视为映射 $S^1\times S^1\times S^1\to {\mathbb{R}}^2$. 3 维环面 $T^3$ 的 2 维与 1 维胞腔的粘合给出自然商映射: $S^1\times S^1\times S^1\to S^3$. 若一个三体运动的相空间可以从 $T^3$ 约化到 $S^3$, 则将其称为 Howard 怪球. 编入射流的信息后, $S^3$ 可视为局部紧赋范线性空间的一个欧氏球面.

简单来说, Howard 怪球是研究天体问题在临界点附近时出现的拓扑异常现象.

1经典理论

定义 1.1 (Howard 怪球). 设 $V$ 是一个局部紧赋范线性空间, $N$ 是 $V$ 的闭子集, 且其具有有限维球面 $S^n$ 的同伦型. 若空间 $V-N$ 的基本群非平凡而一阶同调群有限生成, 则称 $N$ 是 $V$ 的一个 n-Howard 怪球.

定理 1.2. 如果 $N$ 的 Hausdoff 测度有限, 那么 $N$ 同胚于欧氏球面.

推论 1.3 (特殊情况下的 Poincare 猜想). 如果紧流形 $M$ 同伦等价于球面 $S^n$, 且 $M$ 具有单的和乐群, 那么 $M$ 同胚于 $S^n$.

例 1.4 (警察抓小偷问题). 平面上不共线的三个点处各有一位警察, 三点的凸包内有一个小偷, 警察和小偷的速度相同, 则存在策略使得警察一定能抓到小偷.

证明. 小偷的运动轨迹可视为平面上 ${\mathbb{R}}^2$ 中的一条曲线, 记作 $\gamma$. 考虑另一条曲线 $\bar{\gamma }(t):=\frac{\gamma }{t}$. $\bar{\gamma }$ 可视为映射 $S^1={\mathbb{RP}}^1\to {\mathbb{R}}^2$.

考虑警察所有策略的策略空间 $\mathcal{N}$, $\bar{\gamma }$ 是 $\mathcal{N}$ 中的子 $S^1$, 其是一个 1-Howard 怪球. 根据定理 1.2, 小偷的路径必然同胚于 $S^1$, 记 $f:S^1\to S^1$ 是小偷的沿时映射. 由于小偷初始位置在警察内部, 所以 $f$ 可以沿拓为单位圆盘 $D^2\to D^2$ 的映射. 根据 Brouwer 不动点定理, $f$ 在 $D^2$ 上有不动点.

$f$ 的不动点是 $\mathcal{N}$ 中的点, 其对应的策略就是警察一定能抓到小偷的策略.

$\square$

2离散理论

离散情况下也可以定义 Howard 怪球, 其在代数几何和数论等领域中都有应用.

定义 2.1 (离散 Howard 怪球). 给定离散群 $G$ 的正交表示 $\rho :G\to SO(n)$. 设 $V$ 是仿射代数簇, $N$ 是 $V$ 的闭子集, 且 $G$ 在 $N$ 上有自由作用. 若局部纤维 ${\rho }_G$ 在 $N$ 的邻域上自由, 那么称 $N$ 是 $V$ 的 $G$-Howard 怪球.

与连续的情况平行, 离散情况下也有对应定理.

定理 2.2. 若 $N$ 没有扭点, 那么 $N$ 是一个射影子簇.

注 2.3. 与例 1.4 平行, 离散的 Howard 怪球理论能解决在图 $G$ 上警察与小偷轮流移动的问题.

注 2.4. 离散的 Howard 怪球的发现过程与连续 Howard 怪球相对独立, 是学派对引入丢番图几何的一次尝试.