射流

射流是微分几何中的概念, 直观地说, 流形上函数在一点处的第 $r$ 射流就是在此函数的前 $r$ 次 Taylor 展开. 这个概念也可以推广到 “扭曲” 的函数上, 即浸没的局部截面.

许多微分几何的性质, 例如浸入、浸没等都可以使用射流的语言表述.

1定义

作为直观, 我们先定义函数的射流.

定义 1.1 (函数的射流). 设 $X$ 是光滑流形, $x\in X$ 是其中一点, 固定自然数 $r$, 定义 $X$ 上的所有光滑函数 $C^{\infty }(X)$ 上的等价关系为: 两个函数等价当且仅当它在 $x$ 处的所有前 $r$ 阶偏导数相等, 则光滑函数 $f$ 在 $x$ 处的 $r$ 阶射流为在此关系下的等价类, 记作 $j_x^{r}f$. 在 $x$ 点处所有射流构成的集合称为射流空间.

我们也可以谈论所谓 “扭曲的函数”, 即纤维丛 (更一般地, 浸没) 的局部截面的射流. 首先我们回顾如下事实:

命题 1.2. 设 $\pi :Y\to X$ 是浸没 (如纤维丛, 向量丛), 取 $y\in Y$, $x=\pi (y)\in X$, 则存在 $y$, $x$ 附近的局部坐标 $(x^{\mu },y^a)$, $(x^{\mu })$, 使得 $\pi$ 的局部表达式为 $\pi :(x^{\mu },y^a)\to x^{\mu }$. 由此 $\pi$ 的一个局部截面可写为 $\alpha :x^{\mu }\mapsto y^a(x^{\mu })$.

定义 1.3 (局部截面的射流). 对浸没 $Y\to X$, 固定自然数 $r$, 定义 $x$ 附近局部截面的等价关系为: 两个局部截面等价当且仅当它们在取定局部坐标后相应的函数在 $x$ 处的前 $r$ 阶偏导数等价. 则局部截面 $\alpha$ 的 $r$ 阶射流为它在此等价关系下的等价类. 所有射流构成的集合称为射流空间.

可以证明, 此等价关系与局部坐标的选取无关.

取 $Y=X\times \mathbb{R}$ 即得到一开始定义的函数情形.

正如切丛将所有点的切空间组合在一起成为一个大的流形, 也可以将所有点的射流组合在一起, 称为射流形.

定义 1.4 (射流形). 对浸没 $Y\to X$, $r$ 阶射流形 (也称射流丛) $J^r(Y)$ 为集合$$\{(x,f)\mid x\in X,f是x处r阶射流\}.$$$J^r(Y)$ 可赋予流形结构, 其局部坐标由直到第 $r$ 阶导数的信息给出. 即$$j_x^r\alpha \mapsto (x^{\mu },y^a(x^{\mu }),{\partial }^{\nu }{y}^a(x^{\mu }){)}_{|\nu |\le r}.$$

由此, 任何局部截面 $X\to Y$ 自然给出了局部截面 $X\to J^r(Y)$.

还可以发现, 如果 $Y\to X$ 是向量丛, $J^r(Y)\to X$ 也可以赋予一个向量丛结构.

2性质

对于函数 (更一般地, 向量丛), 射流可以用代数的语言来描述. 具体地说有如下两个命题:

命题 2.1. 对光滑流形 $X$, 记它上面所有光滑函数构成的空间为 $C^{\infty }(X)$; 所有在 $x$ 点处取值为 $0$ 的函数构成的空间为 ${\mathfrak{m}}_x$ (它是环 $C^{\infty }(X)$ 的极大理想), 则对于函数, 在点 $x$ 处的 $r$ 阶射流空间同构于 $C^{\infty }(X)/{\mathfrak{m}}_x^{r+1}$.

命题 2.2. 对光滑流形 $X$ 上的向量丛 $E\to X$, 记它的所有截面构成的空间为 $\mathcal{E}$ (它是环 $C^{\infty }(X)$ 上的模), 则对于此丛, $r$ 次射流空间为 $\mathcal{E}/{\mathfrak{m}}_x^{r+1}\mathcal{E}$.

不同阶的射流空间 (以及射流形) 间有自然的投影映射:

命题 2.3. 设 $Y\to X$ 是浸没, 存在投影映射 ${\pi }_r:J^r(Y)\to X$ 与 ${\pi }_{r,s}:J^r(Y)\to J^s(Y),$ $j_x^r\alpha \mapsto j_x^s\alpha$, 满足交换图

此时投影 ${\pi }_r:J^r(Y)\to Y$ ($r\ge 1$) 是仿射丛, 从而 $J^r(Y)\to X$ 也是浸没.

3例子

•	对浸没 $Y\to X$, $x$ 点处的零阶射流空间为此点的逆像, 零阶射流形即为 $Y$.
•	对于函数, 一阶射流形满足向量丛间的正合列: $$0\to {\mathrm{T}}^{\ast }X\to J^1(X)\to \mathbb{R}\to 0.$$其中 ${\mathrm{T}}^{\ast }(X)$ 是余切丛, $\mathbb{R}$ 是取值为 $\mathbb{R}$ 的平凡丛. 对于一般的向量丛 $E\to X$, 则有正合列$$0\to E\otimes {\mathrm{T}}^{\ast }X\to J^1(E)\to E\to 0.$$
•	对平凡丛 $Y=X\times F\to X$, 其一阶射流丛为 $Y$ 上的向量丛 ${\mathrm{T}}^{\ast }X⊠\mathrm{T}F$.

4相关概念

•	Taylor 定理
•	浸没
•	余切丛
•	偏微分关系

术语翻译

射流 • 英文 jet • 法文 jet (m)

射流形 • 英文 jet manifold • 法文 variété des jets

射流丛 • 英文 jet bundle • 法文 fibré des jets