代数簇

代数簇 (简称簇) 是代数几何的主要研究对象之一. 正如流形由 Euclid 空间沿光滑映射粘合而成, 代数簇由仿射代数簇沿多项式映射粘合而成.

最简单的仿射代数簇是仿射空间, 这包括我们熟悉的直线、平面、三维空间等. 在仿射空间中, 由多项式所刻画出的集合也是仿射代数簇. 例如, 在平面上由方程 $x^2+y^2=1$ 定义的圆周就是一例.

一般而言, 代数簇就是由若干个这样的多项式的零点集粘起来得到的形状. 这里, 我们也要求沿着多项式映射来粘合. 例如, 射影空间就是一个非仿射的代数簇, 它可以由若干个仿射空间粘出来.

1定义

我们给出两种定义代数簇的方式. 前一种是现代的代数几何中通常使用的定义 (除去一些细节差别). 后一种定义更加直接, 但由于损失了概形带有的丰富信息, 实际操作起来有诸多不便.

现代定义

定义 1.1 (代数簇). 设 $k$ 是域, $X$ 是 $k$-概形. 称 $X$ 为 $k$ 上的代数簇, 如果满足以下条件:

•

$X$ 分离.

•

$X$ 有限型.

代数簇间的态射就是相应概形间的态射.

注 1.2. 一些文献中会在上述代数簇的定义中加入额外条件, 例如要求代数簇不可约、既约. 这里采取最一般的定义.

定义 1.3. 域 $k$ 上所有代数簇以及它们之间的态射构成一范畴, 称为代数簇范畴, 记为 $\mathsf{Va}{\mathsf{r}}_{\mathsf{k}}$.

定义 1.4. 设 $X$ 是域 $k$ 上的代数簇.

•	称 $X$ 为仿射代数簇, 如果 $X$ 同时是仿射概形.

•	称 $X$ 为射影代数簇, 如果 $X$ 同时是 $k$ 上的射影概形, 即 $k$ 上射影空间的闭子概形.

•	称 $X$ 为拟射影代数簇, 如果 $X$ 是 $k$ 上射影空间的子概形.

古典定义

下面给出古典意义下的代数簇概念.

定义 1.5. 设 $k$ 是代数闭域. $k$ 上的仿射代数簇是形如下式的仿射空间子集: $$\{x=(x_1,x_2,\dots ,x_n)\in {\mathbb{A}}_k^n\mid f_1(x)=\cdots =f_m(x)=0\}$$其中 $f_1,\dots ,f_m\in k[x_1,\dots ,x_n]$ 为 $n$ 元多项式.

定义 1.6. 设 $k$ 是代数闭域, $k$ 上的射影代数簇是形如下式的射影空间子集: $$\{x=[x_0:x_1:\cdots :x_n]\in {\mathbb{P}}_k^n\mid f_1(x)=\cdots =f_m(x)=0\}$$其中 $f_1,\dots ,f_m\in k[x_0,\dots ,x_n]$ 为 $n+1$ 元齐次多项式.

定义 1.7 (Zariski 拓扑). 在代数闭域 $k$ 上, 仿射空间、射影空间的 Zariski 拓扑定义为由以下性质确定的拓扑:

•	仿射空间中, 所有闭集恰为所有仿射代数簇.

•	射影空间中, 所有闭集恰为所有射影代数簇.

由此, 仿射代数簇、射影代数簇可以视为仿射空间、射影空间的子空间, 故而带有子空间拓扑, 称为这些代数簇上的 Zariski 拓扑.

定义 1.8. 射影代数簇的非空开集被称为拟射影代数簇, 简称代数簇. 仿射代数簇的非空开集被称为拟仿射代数簇.

注 1.9. 由于射影空间 ${\mathbb{P}}_k^n$ 由 $n+1$ 个仿射空间 ${\mathbb{A}}_k^n$ 粘成 (分别由 $x_i\ne 0,i=0,\dots ,n$ 定义). 仿射代数簇可以视为射影代数簇的开集, 射影代数簇可以视为仿射代数簇的粘合.

定义 1.10. 从 ${\mathbb{A}}_k^n$ 中拟仿射代数簇到 ${\mathbb{P}}_k^m$ 中代数簇的正则映射为相应集合间的映射 $f$, 使其形如$$f(x)=[f_0(x):\cdots :f_m(x)],f_0,\dots ,f_m\in k[x_1,\dots ,x_n]$$从 ${\mathbb{P}}_k^n$ 中代数簇到 ${\mathbb{P}}_k^m$ 中代数簇的正则映射为相应集合间的映射, 使其在每个形如 $x_i\ne 0,i=0,\dots ,n$ 的开集上的限制均为上述定义的拟仿射代数簇到代数簇的正则映射.

定义 1.11. 代数闭域 $k$ 上所有代数簇以及它们之间的正则映射射构成一范畴, 称为 (古典意义下) 代数簇范畴.

2性质

命题 2.1. 对代数闭域 $k$, 存在全忠实的函子, 从古典意义下的代数簇范畴到现代意义下的代数簇范畴. 其本质像为现代意义下的 $k$ 上既约拟射影代数簇.

由此现代代数几何完全覆盖了古典代数几何.

3例子

•	仿射空间
•	射影空间
•	代数曲线
•	超曲面

4相关概念

•	概形
•	流形

术语翻译

代数簇 • 英文 algebraic variety • 德文 algebraische Varität • 法文 variété algébrique • 拉丁文 varietas algebraica • 古希腊文 μεταριθμικὴ ποικιλία

簇 • 英文 variety • 德文 Varität • 法文 variété • 拉丁文 varietas • 古希腊文 ποικιλία