用户: 遗忘的左伴随/代数几何/六函子预备知识

本节是为 [SixFunctors] 以及 [Ma22], [LZ12a] 所讲述的抽象 6-函子理论准备的前置知识, 大致包含一些必要的 $\infty$-范畴, 已经熟知 $\infty$-范畴的读者大可略过.

1$\infty$-范畴

$\infty$-范畴定义

我们将不再回顾单纯集理论, 可以参考我的无穷范畴笔记中已经写了的部分, 见 overleaf, 在不引起歧义的情况下单纯集 $X_{\bullet }$ 写作 $X$, 并且只讲述部分必要的无穷范畴, 本文的 $\infty$-范畴是指$(\infty ,1)$-范畴且模型选定为拟范畴, 本文内容显然不能当做正常的 $\infty$-范畴学习资料, 具体内容可以参见 [HTT],[Kerodon] 以及 [Land], 本文主要参考 [Land] 以及相关网课 [Münster]. 初学者入门推荐阅读 [卜辰璟]

定义 1.1 ($\infty$-范畴). 称单纯集 $\mathcal{C}$ 为 $\infty$-范畴, 若其满足以下条件:

•	(内尖角延拓性质) 对任意 $0<i<n$, 及任意映射$$f:{\Lambda }_i^n⟶\mathcal{C},$$存在映射 $\tilde{f}:{\Delta }^n\to \mathcal{C}$, 使得下述图表交换: $${\Lambda }_i^n\mathcal{C}{\Delta }^n\text{ .}f\tilde{f}$$

此时, 我们称 $X$ 的 $0$ 维单形为 $\infty$-范畴的对象, $n$ 维单形为 $\infty$-范畴的 $\mathbf{n}$-态射.

注 1.2. 若对外尖角 (即 $i=0,n$ 时) 亦可延拓, 则称得到的单纯集为 Kan 复形.

不像经典的范畴论一般, 在无穷范畴中一般不存在复合规则, 相反, 给定 $\mathcal{C}$ 中的态射 $f:X\to Y$ 以及 $g:Y\to Z$, 不难发现其构成一个内尖角 ${\Lambda }_1^2\to \mathcal{C}$, $\infty$-范畴的定义告诉我们存在 $\sigma \in {\mathcal{C}}_2$ 对应于以下图表我们称 $\sigma$ 视为 $h:X\to Z$ 同伦于 $f$ 与 $g$ 的复合的依据 (或直接称为复合, 但是复合在同伦意义下唯一), 经常直接写作 $h\simeq g\circ f$. 在 $Y=Z$ 且 $g=\mathrm{id}$ 时可以得到同构 $f\simeq h$.

定义 1.3 (同伦范畴). 令 $X$ 为单纯集, 定义范畴 $hX$ 为以下资料:

•	对象:$X_0$ 中的元素.
•	态射:$X_1$ 所生成的态射, 对于任意 1-单形 $f:{\Delta }^1\to X$, 它都被视为从 $d_1(f)$ 到 $d_0(f)$ 的态射.
•	复合: 态射箭的自由复合记为 $f\star g$, 商去以下关系 1. 1-单形 $s_0(x)$ 是 $x$ 的恒等态射. 2. 对于每个 $2$-单形 $\sigma :{\Delta }^2\to X$ 且边界为三元组 $(f,g,h)$, 则 $h=g\star f$/ 3. 若 $f\sim f^{\prime }$ 则 $f\star g\sim f^{\prime }\star g$ 且 $g^{\prime }\star f\sim g^{\prime }\star f^{\prime }$.

称其为 $X$ 的同伦范畴.

并且同伦范畴与脉有以下伴随关系

命题 1.4. 具有伴随对 $h⊣N$ $$h:\mathrm{sSet}\leftrightarrows \mathrm{Cat}:N$$其中 $N$ 为范畴的脉. 且有 $h(N(\mathcal{C}))\simeq \mathcal{C}$.

证明. [Land]Proposition 1.2.18. 其中 $h(N(\mathcal{C}))\simeq \mathcal{C}$ 读者自证不难.

$\square$

若 $X=\mathcal{C}$ 为无穷范畴, 则可通过同伦范畴来描述其内一些箭头的性质.

定义 1.5 (等价). $\infty$-范畴 $\mathcal{C}$ 中的态射 $f$ 若其在 $h\mathcal{C}$ 的像为同构, 则称其为等价.

此外, 我们可以引入 $\infty$-群胚.

定义 1.6. 设 $\mathcal{C}$ 为 $\infty$-范畴, 若其内所有态射皆为等价, 则称其为 $\infty$-群胚.

我们可以在 $\infty$-范畴内部去定义其子 $\infty$-群胚.

定义 1.7. 在一般范畴中极大子群胚由其内所有同构所构成的子范畴, 并且记为 ${\mathcal{C}}^{\simeq }\subset \mathcal{C}$. 对于 $\infty$-范畴 $\mathcal{C}$, 可以类似定义其极大子 $\infty$-群胚为单纯集的拉回

注 1.8. 对于一般范畴 $\mathcal{C}$ 有 $N(\mathcal{C}{)}^{\simeq }=N({\mathcal{C}}^{\simeq }$ 这只需要考虑以下交换图由命题 1.4 可知同构.

不难看出 $\infty$-范畴中 $n$-单形在极大子 $\infty$-群胚中当且仅当其所有边均为等价.

命题 1.9. $\infty$-范畴中的极大子 $\infty$-群胚确实是一个 $\infty$-群胚, 并且是 $\infty$-范畴所包含的最大 $\infty$-群胚.

证明.

证明. 设 $\mathcal{C}$ 为 $\infty$-范畴, 首先证明 ${\mathcal{C}}^{\simeq }$ 为一个 $\infty$-范畴. 这需要证明其满足内尖角填充性质. 因此考虑图表其中 $0<j<n$. 由于 $\mathcal{C}$ 为 $\infty$-范畴, 因此该提升问题在 $\mathcal{C}$ 中必然有解, 只需要证明解落在 ${\mathcal{C}}^{\simeq }$ 中即可, 根据 ${\mathcal{C}}^{\simeq }$ 的定义, 这相当于要证明 ${\Delta }^n\to \mathcal{C}$ 诱导态射$${\Lambda }_j^n\to {\Delta }^n\to \mathcal{C}\to N(h\mathcal{C})$$并且其像包含在 $N(h{\mathcal{C}}^{\simeq })$ 内. 回忆到范畴的脉中 $n$-单形由其限制在脉的脊上所决定而每一个内尖角都包含脊, 从而断言成立. 这也说明 ${\mathcal{C}}^{\simeq }$ 包含 $\mathcal{C}$ 中所有的等价. 特别地, 可以得到 $h({\mathcal{C}}^{\simeq })=(h\mathcal{C}{)}^{\simeq }$, 因此 ${\mathcal{C}}^{\simeq }$ 是 $\infty$-范畴, 而且蕴含极大性.

$\square$

定理 1.10 (Joyal). 设 $\mathcal{C}$ 为 $\infty$-范畴. 则 $\mathcal{C}$ 为 Kan 复形当且仅当 $h\mathcal{C}$ 为群胚.

证明. 见 [JOYAL2002207].

$\square$

单纯范畴

令 $\mathrm{Top}$ 表示拓扑空间范畴. 根据定义,$\mathrm{Top}$ 中态射均为连续函数. 在同伦论中, 我们并不关心函数自身, 而是关心它们之间的同伦: 即, 连续函数 $h:[0,1]\times X\to Y$. 更一般地, 对于每个 $n\ge 0$ 我们可以考虑$${\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Top}}(X,Y{)}_n=\{\text{连续函数}\sigma :|{\Delta }^n|\times X\to Y\}$$此处 $|{\Delta }^n|$ 为几何实现. 集合 $\{{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Top}}(X,Y{)}_n{\}}_n$ 可以被嵌入到单纯集 ${\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Top}}(X,Y{)}_{\bullet }$ 中, 并且 $(X,Y)\mapsto {\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Top}}(X,Y{)}_{\bullet }$ 赋予 $\mathrm{Top}$ 一个 ${\mathrm{Cat}}_{\mathrm{sSet}}$-充实结构 (当然我们后面会简写为 ${\mathrm{Cat}}_{\Delta }$), 我们称其为单纯范畴. 正如奇异单纯集 ${\mathrm{Sing}}_{\bullet }(X)={\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Top}}(\ast ,X{)}_{\bullet }$ 可以被视为拓扑空间 $X$ 的同伦型的组合编码一般.$\mathrm{Top}$ 的单纯充实化从同伦论角度对于拓扑空间进行的组合编码.

单纯范畴定义

符号说明. 令 $\mathcal{V}$ 为幺半范畴, 则 ${\mathrm{Cat}}_{\mathcal{V}}$ 表示 $\mathcal{V}$-充实范畴所构成的范畴, 即其对象为 $\mathcal{V}$-充实范畴而态射为 $\mathcal{V}$-充实函子.

首先需要一些必要的幺半范畴引理

引理 1.11. 若 $\Phi :\mathcal{V}\to {\mathcal{V}}^{\prime }$ 为幺半范畴之间的右松幺半函子, 则将 $\Phi$ 应用在 $\mathcal{H}\mathrm{om}$-对象上即可得到函子 ${\Phi }_{\ast }:{\mathrm{Cat}}_{\mathcal{V}}\to {\mathrm{Cat}}_{{\mathcal{V}}^{\prime }}$. 事实上, 这种结构定义出$$\mathrm{MonCat}\to \mathrm{Cat}$$这样一个从 (小) 幺半范畴构成的 2-范畴 (0-态射: 幺半范畴,1-态射: 右松幺半函子,2-态射: 幺半自然变换) 到由 (小) 范畴构成的 2-范畴 (0-态射: 范畴,1-态射: 函子,2-态射: 自然变换) 的 2-函子. 特别地,$\mathcal{V}$ 与 ${\mathcal{V}}^{\prime }$ 的幺半伴随决定了充实范畴的幺半伴随.

证明. 见 [Land]Lemma 1.2.37.

$\square$

通过上述引理, 就可以将充实范畴对应回一般的范畴, 称为底范畴.

定义 1.12. 令 $\mathcal{V}$ 为幺半范畴, 且 $\mathcal{C}$ 为一个 $\mathcal{V}$-充实范畴. 则其底范畴 $u\mathcal{C}$ 由松幺半函子$$\mathrm{Hom}(\mathrm{id},-):\mathcal{V}\to \mathrm{Set}$$形式化的写出即为$$u\mathcal{C}={\mathrm{Hom}}_{\mathcal{V}}(\mathrm{id},-{)}_{\ast }(\mathcal{C})\in {\mathrm{Cat}}_{\mathrm{Set}}=\mathrm{Cat}$$

接下来介绍单纯范畴

定义 1.13 (单纯范畴). 我们把充实于单纯集范畴的范畴称为单纯范畴. 此处单纯集范畴 $\mathrm{sSet}$ 通过积结构可以视为幺半范畴. 本节将全体单纯范畴所构成的范畴简写为 ${\mathrm{Cat}}_{\Delta }$.

注 1.14. 通常来说单纯范畴指代的是范畴中的一个单纯对象, 即一个函子 ${\Delta }^{\mathrm{op}}\to \mathrm{Cat}$. 这似乎与单纯范畴的定义冲突, 以下引理将对其进行解释.

定义 1.15 (局部 Kan). 设 $\mathcal{C}$ 为单纯范畴, 若对每一对对象 $X,Y\in \mathcal{C}$ 都有 ${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(X,Y{)}_{\bullet }$ 是 Kan 复形, 则称 $\mathcal{C}$ 是局部 Kan 的.

引理 1.16. ${\mathrm{Cat}}_{\Delta }$ 可以通过 $({\mathrm{ev}}_n{)}_{\ast }:{\mathrm{Cat}}_{\Delta }\to \mathrm{Cat}$ 得到全忠实嵌入 ${\mathrm{Cat}}_{\Delta }\to \mathrm{Fct}({\Delta }^{\mathrm{op}},\mathrm{Cat})$. 事实上可以得到以下拉回

可以利用 $\mathrm{Cat}$ 是完备且余完备的来说明 ${\mathrm{Cat}}_{\Delta }$ 是完备且余完备的. 进一步, 可以不局限于单纯集范畴, 可以推广为任意小范畴 $\mathcal{C}$ 的预层范畴 ${\mathcal{C}}^{\wedge }$, 接下来我们讲述函子 ${\pi }_0^{\Delta }$

定义 1.17 (连通分支). 令 $X$ 为单纯集. 考虑在 $0$-单形构成的 $X_0$ 上的关系 $R$: 对于顶点 $x,y\in X_0$, $xRy$ 当且仅当存在 1-单形 $f\in X_1$ 使得 $d_0(f)=x$ 且 $d_1(f)=y$(这种关系自反但是一般来说既不传递也不对称), 我们考虑由其生成的等价关系 $\sim$. 而后定义 ${\pi }_0^{\Delta }(X)$ 为$${\pi }_0^{\Delta }(X)=X_0/\sim$$

我们可以验证常值函子与 ${\pi }_0,{\mathrm{ev}}_0$ 都是典范幺半的.

引理 1.18. 函子 $c:\mathrm{Set}\to \mathrm{sSet}$ 以及 ${\pi }_0,{\mathrm{ev}}_0:\mathrm{sSet}\to \mathrm{Set}$ 均为典范幺半的.

证明.

证明. 断言每个函子 $F:(\mathcal{V},\times ,\ast )\to (\mathcal{W},\times ,\ast )$ 都是典范左松幺半的. 左松幺半结构态射给定如下

1.

$F(\ast )\to \ast$, 即唯一一个到 $\mathcal{W}$ 的终对象的态射, 且

2.

$F(X\times Y)\to F(X)\times F(Y)$, 它由 $F$ 作用在两个投影$$X\leftarrow X\times Y\to Y$$所给出. 因此只需要检查我们所给出的函子确实具有左松幺半结构即可, 即左松幺半结构所对应的态射在前文的函子中是同构. 对于 $c$ 以及 ${\mathrm{ev}}_0$, 由定义即知具有左松幺半结构. 而 ${\pi }_0$ 函子需要一些额外的论证. 需要检查态射$${\pi }_0(X\times Y)\to {\pi }_0(X)\times {\pi }_0(Y)$$是双射. 根据定义可知 ${\pi }_0$ 作用后的单纯集具有以下交换图表由于顶部水平态射是双射, 因此给出左松幺半结构为满射. 由于 ${\pi }_0(X\times Y)$ 中对应关系的生成元可以被提升到 $(X\times Y{)}_0$, ${\pi }_0(X)$ 和 ${\pi }_0(Y)$ 亦是如此, 并且 ${\mathrm{ev}}_1$ 也具有幺半结构, 因此得知双射. 并且不难验证 ${\pi }_0(\ast )\to \ast$ 是同构.

$\square$

定义 1.19.

1.	$c=c_{\ast }:\mathrm{Cat}\to {\mathrm{Cat}}_{\Delta }$, 将一个范畴送到常值单纯集填充的充实范畴.
2.	$h=({\pi }_0{)}_{\ast }:$, 称为单纯范畴的同伦范畴, 以及
3.	$u=({\mathrm{ev}}_0{)}_{\ast }:{\mathrm{Cat}}_{\Delta }\to \mathrm{Cat}$, 称为底范畴, 在不会造成歧义时也直接写作 ${\mathcal{C}}_0$.

注意到 ${\mathrm{ev}}_0={\mathrm{Hom}}_{\mathrm{sSet}}({\Delta }^0,-)$, 因此它与定义 1.12 是相容的.

定义 1.20. 单纯范畴之间的单纯函子 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$.

1.	若对每一对对象 $X,Y\in \mathrm{Ob}\mathcal{C}$,$F$ 所诱导的单纯集间的态射 ${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(X,Y)\to {\mathrm{Hom}}_{\mathcal{D}}(F(X),F(Y))$ 是单纯集的弱同伦等价 (将在后文定义, 心急的读者可以先去 [Kerodon][00UA] 一探究竟).
2.	若 $F$ 诱导的同伦范畴之间的函子 $hF:h\mathcal{C}\to h\mathcal{D}$ 为本质满 (即 $\mathcal{D}$ 中每个对象都同伦等价于 $X\in \mathrm{Ob}\mathcal{C}$ 中的 $FX$).
3.	若 $F$ 既是弱全忠实又是弱本质满, 则称 $F$ 是单纯范畴之间的弱等价.

注 1.21. [Land] 中完全没有提到弱等价的定义, 差评.

引理 1.22. 以积作为幺半结构的幺半范畴之间的函子都是典范左松幺半的. 每两个这样的函子之间的自然变换也都是典范左松的. 特别地, 伴随对 $({\pi }_0,c)$ 以及 $(c,{\mathrm{ev}}_0)$ 均为幺半伴随.

证明.

证明. 在引理 1.18 中已然说明了每个函子 $F:(\mathcal{V},\times ,\ast )\to (\mathcal{W},\times ,\ast )$ 都带有典范左松幺半结构. 因此令 $\tau :F\to G$ 为自然变换. 只需要证明图表的交换性即可. 为此, 在引理 1.18 已经说明结构态射为 $X\leftarrow X\times Y\to Y$, 因此只需要考察图表的交换性即足, 这是 $\tau$ 的自然性的直接体现.
现在需要说明左松幺半函子之间的左松幺半变换是幺半变换, 注意到在上述图表中, 若纵向箭头为同构, 则箭头倒转图表仍然交换.

$\square$

推论 1.23. 具有两个伴随对 $h⊣c$ 以及 $c⊣u$.

不难看出这个伴随给出单纯范畴的典范函子 $\mathcal{C}\to ch\mathcal{C}$. 由于我们可以定义出单纯范畴的同伦范畴和底范畴, 因此可以类似给出单纯范畴中态射以及态射等价.

定义 1.24. 给定单纯范畴 $\mathcal{C}$ 以及两个对象 $X,Y\in \mathcal{C}$, 我们称一个从 $X$ 到 $Y$ 的态射为其在底范畴 $u\mathcal{C}$ 上的态射. 换句话说, 是 ${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(X,Y)$ 中的 $0$-单形. 若其在同伦范畴 $h(\mathcal{C})$ 为同构, 则称其为等价.

同伦脉

就像在一般范畴与单纯集间进行转换一样, 为了在 $\infty$-范畴与单纯范畴之间进行转换, 我们将定义出一对伴随函子为此, 我们需要引入偏序集的道路 2-范畴.

定义 1.25. 令 $(Q,\le )$ 为偏序集. 定义严格 $2$-范畴 ${\mathrm{Path}}_{(2)}[Q]$ 如下

•	${\mathrm{Path}}_{(2)}[Q]$ 以 $Q$ 中的元素作为对象.
•	给定 $x,y\in Q$, 令 $\mathcal{H}{\mathrm{om}}_{{\mathrm{Path}}_{(2)}[Q]}(x,y)$ 为所有以 $x$ 为最小元以及 $y$ 为最大元的有限全序子集$$S=\{x=x_0<x_1<\cdots <x_n=y\}\subset Q$$视偏序集 $\mathcal{H}{\mathrm{om}}_{{\mathrm{Path}}_{(2)}[Q]}(x,y)$ 为一个范畴, 若 $S\subset T$ 则存在唯一的态射 $S\Rightarrow T$, 不难发现这是一个偏序集, 并且以反向包含作为偏序.
•	对于每个元素 $x\in Q$, 恒等 1-态射 ${\mathrm{id}}_x\in \mathcal{H}{\mathrm{om}}_{\mathrm{Path}[Q{]}_{(2)}}(x,x)$ 由单点 $\{x\}$ 给出 (可以视为以 $x$ 为最大元和最小元的全序子集).
•	对于元素 $x,y,z\in Q$, 可以定义复合$$\begin{array}{rl}\circ :\mathcal{H}{\mathrm{om}}_{{\mathrm{Path}}_{(2)}[Q]}(y,z)\times \mathcal{H}{\mathrm{om}}_{{\mathrm{Path}}_{(2)}[Q]}(x,y)& \to \mathcal{H}{\mathrm{om}}_{{\mathrm{Path}}_{(2)}[Q]}(x,z)\\ (S,T)& \mapsto S\cup T\end{array}$$称 ${\mathrm{Path}}_{(2)}[Q]$ 为 $Q$ 的道路 $2$-范畴.

注 1.26 (与道路范畴的对比). 令 $(Q,\le )$ 为偏序集, 令 $\mathrm{Path}[Q]$ 为严格 $2$-范畴 ${\mathrm{Path}}_{(2)}[Q]$ 的底范畴, 它可以被具体写为

•	$\mathrm{Path}[Q]$ 以 $Q$ 中的元素作为对象.
•	若 $x$ 和 $y$ 是 $Q$ 中的元素, 则 $\mathrm{Path}[Q]$ 中从 $x$ 到 $y$ 的态射为一个以 $x$ 为最小元以及 $y$ 为最大元的有限全序子集$$S=\{x=x_0<x_1<\cdots <x_n=y\}\subset Q$$

严格 $2$-范畴可以视为单纯范畴

例 1.27. 令 $\mathcal{C}$ 为严格 $2$-范畴. 则可以将 $\mathcal{C}$ 转化为单纯范畴 ${\mathcal{C}}_{\Delta }$

•	${\mathcal{C}}_{\Delta }$ 的对象为 $\mathcal{C}$ 的对象.
•	对于每一对对象 $X,Y\in \mathrm{Ob}{\mathcal{C}}_{\Delta }=\mathrm{Ob}\mathcal{C}$, 单纯集 ${\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{C}}_{\Delta }}(X,Y{)}_{\bullet }$ 定义为范畴 $\mathcal{H}\mathrm{om}(X,Y)$ 的脉.
•	对于三元组 $X,Y,Z\in \mathrm{Ob}{\mathcal{C}}_{\Delta }=\mathrm{Ob}\mathcal{C}$, 定义复合$${\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{C}}_{\Delta }}(Y,Z{)}_{\bullet }\times {\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{C}}_{\Delta }}(X,Y{)}_{\bullet }\to {\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{C}}_{\Delta }}(X,Z{)}_{\bullet }$$由 2-范畴中复合的脉给出.

接下来给出单纯道路范畴.

定义 1.28 (单纯道路范畴). 令 $(Q,\le )$ 为偏序集, ${\mathrm{Path}}_{(2)}[Q]$ 为其对应的道路 $2$-范畴. 令 $\mathrm{Path}[Q{]}_{\Delta }$ 为从 ${\mathrm{Path}}_{(2)}[Q]$ 中所得到的单纯范畴. 在不引起歧义的情况下简写为 $\mathrm{Path}[Q]$, 特别地, 当 $Q=[n]$ 时所得到的 $\mathrm{Path}[[n]]$ 简写为 $\mathrm{Path}[n]$.

注 1.29. 令 $Q$ 为偏序集. 单纯范畴 $\mathrm{Path}[Q]$ 其实可以视为 $Q$ 的一个 “加粗版本”. 对于每一对 $x,y\in Q$, 单纯集 ${\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Path}[Q]}(x,y{)}_{\bullet }$ 在 $x\nleqq y$ 时为空. 若 $x\le y$(由于此时 ${\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Path}[Q]}(x,y{)}_{\bullet }$ 为偏序集的脉, 并且偏序集具有极大元 $\{x,y\}$) 是弱可缩的 (将在后文定义). 特别地, 我们有单纯函子 $\pi :\mathrm{Path}[Q]\to cQ$, 在对象是恒等态射.

定义 1.30 (同伦脉). 令 $\mathcal{C}$ 为单纯范畴. 令 $N^{\mathrm{hc}}(\mathcal{C})$ 为如下构造的单纯集$$([n]\in {\Delta }^{\mathrm{op}})\mapsto {\mathrm{Hom}}_{{\mathrm{Cat}}_{\Delta }}(\mathrm{Path}[n],\mathcal{C})=\{\text{单纯函子}\mathrm{Path}[n]\to \mathcal{C}\}$$称 $N^{\mathrm{hc}}\mathcal{C}$ 为同伦脉 (或单纯脉).

不难发现同伦脉给出了一个从 ${\mathrm{Cat}}_{\Delta }$ 到单纯集 $\mathrm{sSet}$ 的函子.

注 1.31 (同伦脉与脉的对比). 令 $\mathcal{C}$ 为单纯范畴, 且 ${\mathcal{C}}_0$ 表示底范畴. 对于每个偏序集 $Q$, 则注记 1.29 中 $\pi :\mathrm{Path}[Q]\to Q$ 诱导了一个单射$$\{\text{一般函子}Q\to {\mathcal{C}}_0\}\hookrightarrow \{\text{单纯函子}\mathrm{Path}[Q]\to \mathcal{C}\}$$将这一构造限制在 $Q=[n]$ 的情况, 得到单射 $N{\mathcal{C}}_0\to N^{\mathrm{hc}}\mathcal{C}$.

接下来探索同伦脉的若干性质, 首先引入一些定义.

定义 1.32. 令 $X$ 是单纯集, $\mathcal{C}$ 是单纯范畴. 考虑单纯集之间的态射 $u:X\to N^{\mathrm{hc}}\mathcal{C}$, 若对于任意单纯范畴 $\mathcal{D}$, $u$ 都能诱导一个双射$$\{\text{单纯函子}F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}\}\stackrel{1:1}{\leftrightarrow }{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{sSet}}(X,N^{\mathrm{hc}}\mathcal{D})$$则称 $u$ 将 $\mathcal{C}$ 表示为 $X$ 的道路范畴.

符号说明. 令 $X$ 为单纯集. 由定义立刻得知若存在 $u:S\to N^{\mathrm{hc}}\mathcal{C}$ 使得 $\mathcal{C}$ 表示为 $X$ 的道路范畴, 则单纯范畴 $\mathcal{C}$(以及态射 $u$) 在同构意义以及函子性上依赖于 $X$. 为了强调这种依赖性, 我们使用 $\mathrm{Path}[X]$ 来代替 $\mathcal{C}$, 并且称 $\mathrm{Path}[X]$ 为单纯集 $X$ 的路径范畴.

命题 1.33. 令 $X$ 为单纯集. 则存在单纯范畴 $\mathcal{C}$ 以及单纯集之间的态射 $u:X\to N^{\mathrm{hc}}\mathcal{C}$ 将 $\mathcal{C}$ 表为 $X$ 的路径范畴.

证明.

证明. 对于每个单纯集 $X$, 考虑其广义几何实现$$|X{|}^{\mathrm{Path}[-]}=\underset{{\Delta }^n\to X}{\mathrm{colim}}\mathrm{Path}[n]$$此处 $\mathrm{Path}[-]$ 表示由定义 1.28 所给出的 ${\mathrm{Cat}}_{\Delta }$ 的余单纯对象, 由于 ${\mathrm{Cat}}_{\Delta }$ 是余完备的, 因此自然存在.

$\square$

推论 1.34. 上文定义的 $\mathrm{Path}[-{]}_{\bullet }$ 为 $N^{\mathrm{hc}}:{\mathrm{Cat}}_{\Delta }\to \mathrm{sSet}$ 的右伴随, 即有伴随对

例 1.35. 取 $\mathrm{Path}[n]$ 为 $[n]$ 所对应的单纯道路范畴, 对于任意单纯范畴 $\mathcal{C}$ 我们有典范双射$${\mathrm{Hom}}_{{\mathrm{Cat}}_{\Delta }}(\mathrm{Path}[n],\mathcal{C})\simeq N_n^{\mathrm{hc}}(\mathcal{C})\simeq {\mathrm{Hom}}_{\mathrm{sSet}}({\Delta }^n,N^{\mathrm{hc}}\mathcal{C})$$这说明 $\mathrm{Path}[n]$ 就是 ${\Delta }^n$ 对应的道路范畴.

定理 1.36. 令 $\mathcal{C}$ 为单纯范畴, 若它是局部 Kan 的, 则它的同伦脉 $N^{\mathrm{hc}}$ 为 $\infty$-范畴.

证明. 见 [Kerodon] [00LH]

$\square$

定义 1.37 (空间的 $\infty$-范畴). 考虑以所有 CW 复形作为对象, $\mathcal{H}\mathrm{om}$-单纯集设置为映射空间的奇异单形集 (注意到有伴随 $|-|⊣\mathrm{Sing}(-)$, 因此由伴随函子性质可知 $\mathrm{Sing}(-)$ 与积可交换). 该范畴的同伦脉是一个 $\infty$-范畴, 称其为空间的 $\infty$-范畴, 记为 $\mathrm{Spc}$.

不难观察到 $\mathrm{Spc}$ 的对象也为 CW-复形, 并且态射为映射空间 ${\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Top}}(X,Y)$ 中的元素, 即为从 $X$ 到 $Y$ 的连续映射. 同伦范畴即为范畴关于同伦等价类的商.

注 1.38. 一般来说会给空间的 $\infty$-范畴一个 “纯粹单纯” 的模型 (这话听上来略显荒唐, 但是它其实来自于我们希望将 Kan 复形/空间视为 $\infty$-群胚, 而后又希望将空间与 $\infty$-范畴至于同等地位的想法), 即直接构造一个对象为 Kan 复形的单纯范畴. 出于这一目的, 我们需要说明对于单纯集 $X$ 以及 Kan 复形 $K$, 映射构成的单纯集 $\underline{\mathrm{Hom}}(X,K)$ 是一个 Kan 复形, 这也需要说明 $\infty$-群胚是 Kan 复形.

引理 1.39. $\infty$-范畴的乘积以及余积均为 $\infty$-范畴.

$\infty$-范畴间的函子

接下来就可以把很多一般范畴论中的东西推广到无穷范畴上.

命题 1.40. 给定单纯集 $X,S$ 考虑所有单纯集间的态射 $S\to X$ 所构成的单纯集 $\underline{\mathrm{Hom}}(S,X)$, 若 $X$ 是一个 $\infty$-范畴则 $\mathrm{Hom}(S,X)$ 也是一个无穷范畴, 若 $X$ 是一个 Kan 复形, 则 $\mathrm{Hom}(S,X)$ 也是一个 Kan 复形.

注 1.41. 此处的 $\underline{\mathrm{Hom}}$ 就是与乘积相伴随的内 Hom 函子, 读者应当知晓.

证明. 若只关注无穷范畴情况的证明可参见 [Kerodon][0066],[HTT]Proposition 1.2.7.3.
若关注整个命题的证明可参见 [Land]Theorem 1.3.37. 本命题实为该定理的推论.

$\square$

取 $X=\mathcal{C}$ 为无穷范畴时, 记 $\mathrm{Hom}(S,\mathcal{C})$ 为 $\mathrm{Fct}(S,\mathcal{C})$ 称作从 $S$ 到 $\mathcal{C}$ 的全体函子构成的 $\infty$-范畴.

图表, 映射空间, 极限

定义 1.42 (图表). 令 $\mathcal{C}$ 为 $\infty$-范畴. $\mathcal{C}$ 中的图表是单纯集的映射 $f:S\to \mathcal{C}$. 也称映射 $f:S\to \mathcal{C}$ 为 $\mathcal{C}$ 中以 $S$ 为指标的图表, 或 $S$-指标图表.

注 1.43. 当 $S$ 是 $\infty$-范畴时, 对应图表就是从 $S$ 到 $\mathcal{C}$ 的函子. 这种术语的转变有利于表达立场, 如果我们将 $\mathcal{C}$ 和 $\mathcal{D}$ 视为地位平等的 $\infty$-范畴时, 我们使用函子 $\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 这一称呼, 而若我们只对于 $\infty$-范畴 $\mathcal{C}$ 感兴趣, 则使用图表 $S\to \mathcal{C}$ 这一称呼 (一般来说 $S$ 会是一个非常简单的单纯集).

接下来我们讨论 $\infty$-范畴的态射空间.

定义 1.44 (态射空间). 令 $\mathcal{C}$ 为 $\infty$-范畴, 且 $X,Y\in \mathcal{C}$, 则我们定义 $X,Y$ 之间的态射 $\infty$-范畴 (也称从 $X$ 到 $Y$ 的态射空间)${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(X,Y)$ 为拉回其中右侧纵向箭头表示来源, 目标态射 (即取值在 $0$ 和 $1$ 的态射). 也可表述为$$\{X\}\underset{\mathrm{Fct}(\{0\},\mathcal{C})}{\times }\mathrm{Fct}({\Delta }^1,\mathcal{C})\underset{\mathrm{Fct}(\{1\},\mathcal{C})}{\times }\{Y\}.$$

2稳定 $\infty$-范畴与导出 $\infty$-范畴

(待撰写)

脚注

参考文献

[SixFunctors]	Peter Scholze (2022). Six Functor Formalisms. lecture notes.
[Ma22]	Mann, L. (2022). A $p$-Adic 6-Functor Formalism in Rigid-Analytic Geometry. arXiv preprint arXiv:2206.02022.
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