用户: 遗忘的左伴随/代数模式与高阶代数

1引言

在学习$(\infty ,1)$-算畴时诸位或许已经对这一奇妙概念及其所引申出的高阶结构产生疑问: 为什么需要使用在 ${\mathsf{Fin}}_{\ast }$ 上编码的算畴结构? 这样虽然能够定义出高阶代数, 但是需要建立在 ${\mathsf{Fin}}_{\ast }$ 这一描述对称幺半的结构之上, 这会导致一些不方便: 比如我们想描述结合算畴时, 使用 ${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}$ 无疑比 ${\mathsf{Fin}}_{\ast }$ 更为合适, 但是我们在定义它时却需要迂回的使用以下定义:

定义 1.1 (带点有限集范畴). 令 ${\mathsf{Fin}}_{\ast }$ 为带点有限集范畴, 其对象为 $(I,\ast )$, 其中 $I$ 为有限集, 而 $\ast \in I$; 态射为保持 $\ast$ 的映射. 记 $⟨n⟩=\{\ast ,1,2,\dots ,n\}\in {\mathsf{Fin}}_{\ast }$, 显然 ${\mathsf{Fin}}_{\ast }$ 与所有 $⟨n⟩$ 生成的全子范畴等价.

令 $f:I\to J$ 为 ${\mathsf{Fin}}_{\ast }$ 中的态射. 若对任意 $x\in J\setminus \{\ast \}$, $f^{-1}(x)$ 都为单点集, 就说 $f$ 是惰性态射.

对任意 $n$, 记 ${\rho }^i:⟨n⟩\to ⟨1⟩$ 为 ${\rho }^i(i)=1,{\rho }^i(j)=\ast$ 决定的态射.

定义 1.2 (结合算畴). 结合 $\infty$-算畴 ${\mathsf{Assoc}}^{\otimes }$ 是范畴 $\mathsf{Assoc}$ 的脉, 范畴 $\mathsf{Assoc}$ 定义如下:

•	对象为 ${\mathsf{Fin}}_{\ast }$ 中的对象.
•	从 $⟨m⟩\to ⟨n⟩$ 的态射为二元组 $(\alpha ,\{{⪯}_i{\}}_{1\le i\le n})$. 其中 $\alpha :⟨n⟩\to ⟨m⟩$ 为带点有限集之间的态射, 而对于 $1\le i\le n$, ${⪯}_i$ 为 ${\alpha }^{-1}(\{i\})\subseteq ⟨m⟩$.
•	态射$$(f,\{{⪯}_i{\}}_{1\le i\le n}):⟨m⟩\to ⟨n⟩,(g,\{{⪯}_j^{\prime }{\}}_{1\le j\le p}):⟨n⟩\to ⟨p⟩$$的复合定义为二元组 $(g\circ f,\{{⪯}_k^{\prime \prime }{\}}_{1\le k\le p}$ 其中 ${⪯}_k^{\prime \prime }$ 为由以下信息给出的字典序: 对于使得 $(g\circ f)(a)=(g\circ f)(b)=j$ 的 $a,b\in {⟨m⟩}^{\circ }$, 有 $a{⪯}_k^{\prime \prime }b$ 当且仅当 $f(a)=f(b)=i$ 时 $f(a){⪯}_k^{\prime }f(b)$ 且 $a{⪯}_{i}b$.

我们当然知道这是为了将交换性抹除, 但是这实在太过繁琐野蛮, 是否可以通过一种更加简便的方式来定义它们呢? ¹答案是有, 并且可以将 $\infty$-算畴概念进行推广. 这便是本节将要介绍的代数模式.

2代数模式

本节来介绍由 Rune Haugseng 以及 Hongyi Chu 在 [Chu–Haugseng 2021] 提出的代数模式概念, 这一 $\infty$-范畴上的概念可以很轻松的处理 Cartesius 环境下的高阶代数概念. 它的想法是将 $\infty$-范畴中的态射分解为惰性态射与活性态射的复合 (即给出一个分解系统)

定义 2.1 (分解系统). $\infty$-范畴 $\mathcal{C}$ 的分解系统是指其一对宽子对象 $({\mathcal{C}}^L,{\mathcal{C}}^R)$, 使得对于任意 $\mathcal{C}$ 中的态射 $f:x\to y$, 空间$$\{(g:x\to z,h:z\to y):g\in {\mathcal{C}}^L,h\in {\mathcal{C}}^R,h\circ g=f\}$$为可缩生象.

不难发现, 分解系统其实可以构成全子范畴

定义 2.2. 记 $\mathsf{Fact}$ 为 $\mathrm{Fun}({\Lambda }_1^2,{\mathsf{Cat}}_{\infty })$ 的全子范畴, 它由描述分解系统的余对应$${\mathcal{C}}^L\to \mathcal{C}\leftarrow {\mathcal{C}}^R$$给出, 考虑拉回有 ${\mathrm{Fun}}_{L,R}({\Delta }^2,\mathcal{C})\to \mathrm{Fun}({\Delta }^{\{0,2\}},\mathcal{C})$ 为等价.

定义 2.3 (代数模式). 代数模式是指 $\infty$-范畴 $\mathcal{O}$ 配备上分解系统 $({\mathcal{O}}^{\text{惰}},{\mathcal{O}}^{\text{活}})$ 以及 ${\mathcal{O}}^{\text{惰}}$ 的全子范畴 ${\mathcal{O}}^{\text{初}}$, ${\mathcal{O}}^{\text{惰}}$ 和 ${\mathcal{O}}^{\text{活}}$ 的态射分别称为惰性态射和活性映射, ${\mathcal{O}}^{\text{初}}$ 中的对象称为初等对象. 对于代数模式 $\mathcal{O}$ 和 $\mathcal{P}$, 从 $\mathcal{O}$ 到 $\mathcal{P}$ 的代数模式之间的态射是指保持活性和惰性态射以及初等对象的函子 $f:\mathcal{O}\to \mathcal{P}$.

定义 2.4. 代数模式构成的 $\infty$-范畴 $\mathsf{AlgPatt}$ 是指$$\mathsf{Fact}\underset{{\mathsf{Cat}}_{\infty }}{\times }\mathrm{Fun}({\Delta }^1,{\mathsf{Cat}}_{\infty })$$中包含$${\mathcal{C}}^{\prime }\to {\mathcal{C}}^L\to \mathcal{C}\leftarrow {\mathcal{C}}^R$$的全子范畴, 其中 ${\mathcal{C}}^{\prime }\hookrightarrow {\mathcal{C}}^L$ 为全子范畴的嵌入.

记号 2.5. 记惰性态射为 $X\rightarrowtail Y$, 活性态射为 $X⇝Y$. 这只是为了记号的方便.

对于 $X\in \mathcal{O}$, 记$${\mathcal{O}}_{X/}^{\text{初}}:={\mathcal{O}}^{\text{初}}\underset{{\mathcal{O}}^{\text{惰}}}{\times }{\mathcal{O}}_{X/}^{\text{惰}}$$为惰性态射 $X\rightarrowtail E$ 所构成的 $\infty$-范畴, 其对象为惰性态射 $X\rightarrowtail E$, 而态射为使得以下图表交换的惰性态射 $E\rightarrowtail E^{\prime }$ 介绍代数模式的主要原因在于它可以通过 Segal 条件来刻画代数结构, 称为 Segal 对象.

定义 2.6 (Segal 对象). 设 $\mathcal{O}$ 为代数模式, $\mathcal{C}$ 为 $\infty$-范畴. 则 $\mathcal{C}$ 中的 Segal $\mathcal{O}$-对象是指函子 $X:\mathcal{O}\to \mathcal{C}$, 满足对于任意 $o\in \mathcal{O}$, $X$ 将图表 $o\to {\mathcal{O}}_{o/}^{\text{初}}$ 打为极限图表. 若对于任意 $o\in \mathcal{O}$ , $\mathcal{C}$ 中由 ${\mathcal{O}}_{o/}^{\text{初}}$ 所给出的极限均存在, 则称 $\mathcal{C}$ 是 $\mathcal{O}$-完备的. 此时有等价$$X(o)\simeq \underset{e\in {\mathcal{O}}_{o/}^{\text{初}}}{\lim }X(e).$$

记号 2.7. 称 $\mathsf{Ani}$ 中的 Segal $\mathcal{O}$-对象为 Segal $\mathcal{O}$-生象, 而 ${\mathsf{Cat}}_{\infty }$ 中的 Segal $\mathcal{O}$-对象为 Segal $\mathcal{O}$-范畴. 记 ${\mathsf{Seg}}_{\mathcal{O}}(\mathcal{C})$ 为由 Segal $\mathcal{O}$-对象所张成的 $\mathrm{Fun}(\mathcal{O},\mathcal{C})$ 的全子范畴.

命题 2.8. 令 $\mathcal{C}$ 为 Segal $\mathcal{O}$-完备的 $\infty$-范畴, 则 $X:\mathcal{O}\to \mathcal{C}$ 为 Segal 对象当且仅当 $X{\mid }_{{\mathcal{O}}^{\text{惰}}}$ 为 $X{\mid }_{{\mathcal{O}}^{\text{初}}}$ 的右 Kan 延拓.

证明. 由于 $\mathcal{C}$ 为 Segal $\mathcal{O}$-完备的 $\infty$-范畴, 因此 $X{\mid }_{{\mathcal{O}}^{\text{初}}}$ 沿 ${\mathcal{O}}^{\text{初}}\hookrightarrow {\mathcal{O}}^{\text{惰}}$ 的右 Kan 延拓存在当且仅当对于任意 $o\in {\mathcal{O}}^{\text{惰}}$ 都有等价$$X(o)\stackrel{\sim }{\to }\underset{e\in {\mathcal{O}}_{o/}^{\text{初}}}{\lim }X(e).$$并且右 Kan 延拓即为上述极限, 即为 $X{\mid }_{{\mathcal{O}}^{\text{惰}}}$.

$\square$

我们还需要给出 Segal 对象的相对版本.

定义 2.9 (相对 Segal 对象). 令 $\mathcal{O}$ 为代数模式且 $\mathcal{C}$ 为 $\mathcal{O}$-完备的 $\infty$-范畴, $X:\mathcal{O}\to \mathcal{C}$ 为 Segal $\mathcal{O}$-对象. $\mathcal{C}$ 的 $\mathbf{X}$-相对 Segal 对象是指 $\mathrm{Fun}(\mathcal{O},\mathcal{C})$ 中的态射 $\pi :Y\to X$ 使得对于任意 $o\in \mathcal{O}$ 都有自然的拉回图表记 ${\mathsf{Seg}}_{\mathcal{O}}^{/X}(\mathcal{C})\subseteq \mathrm{Fun}(\mathcal{O},\mathcal{C}{)}_{/X}$ 为由 $X$-相对 Segal $\mathcal{O}$-对象所张成的全子范畴.

若 $Y\to X$ 使得 $Y$ 为 $X$-相对 Segal $\mathcal{O}$-对象, 则根据拉回的传递性可知 $Z\to Y$ 使得 $Z$ 为 $Y$-相对 Segal $\mathcal{O}$-对象当且仅当其复合上 $Y\to X$ 使其为 $X$-相对 Segal $\mathcal{O}$-对象. 此外, 态射 $X\to \ast$ 为相对 Segal $\mathcal{O}$-对象当且仅当 $X$ 为 $\mathcal{C}$ 中的 Segal $\mathcal{O}$-对象. 由上述两点观察可知若 $X$ 为 Segal $\mathcal{O}$-对象, 则 $X$-相对 Segal $\mathcal{O}$-对象不过是复合上 $X\to \ast$ 为 Segal $\mathcal{O}$ 对象的 $Y\to X$, 即有$${\mathsf{Seg}}_{\mathcal{O}}^{/X}(\mathcal{C})\simeq {\mathsf{Seg}}_{\mathcal{O}}(\mathcal{C}{)}_{/X}$$

引理 2.10. 若 $X\to Y$ 为 $\mathcal{C}$ 中的相对 Segal $\mathcal{O}$-对象. 则对于任意态射 $\eta :Y^{\prime }\to Y$, 拉回 $X^{\prime }:=X\underset{Y}{\times }{Y}^{\prime }\to Y^{\prime }$ 也为 Segal $\mathcal{O}$-对象. 换句话说, 沿着 $\eta$ 的拉回给出函子 ${\eta }^{\ast }:{\mathsf{Seg}}_{\mathcal{O}}^{/Y}\to {\mathsf{Seg}}_{\mathcal{O}}^{/Y^{\prime }}(\mathcal{C})$.

证明.

证明. 对于 $o\in \mathcal{O}$, 考虑交换图表由定义可知左右前三个面均为拉回, 因此背面也为拉回.

$\square$

定义 2.11. 令 $\mathcal{O}$ 为代数模式. 对于 $o\in \mathcal{O}$, 记 $h(o{)}_{\mathsf{Seg}}=\underset{e\in ({\mathcal{O}}_{o/}^{\text{初}}{)}^{\mathrm{op}}}{\mathrm{colim}}{h}_{\mathcal{O}}(e)$ , 其中 $h_{\mathcal{O}}:{\mathcal{O}}^{\mathrm{op}}\to \mathrm{Fun}(\mathcal{O},\mathsf{Ani})$ 表示 Yoneda 嵌入. 若 $\mathcal{C}$ 为余完备的 $\infty$-范畴, 即在 $\mathsf{Ani}$ 上是张量的, 则可以考虑 $C\otimes h_{\mathcal{O}}(o)$ 和 $C\otimes h(o{)}_{\mathsf{Seg}}$, 其中 $C\in \mathcal{C}$.

引理 2.12. 任意一个可表现 $\infty$-范畴 $\mathcal{C}$ 的全子范畴$${\mathsf{Seg}}_{\mathcal{O}}^{/X}(\mathcal{C})\subseteq \mathrm{Fun}(\mathcal{O},\mathcal{C}{)}_{/X}$$为自反局部化. 特别地, 其为可表现 $\infty$-范畴.

证明.

证明. 考虑 $\mathrm{Fun}(\mathcal{O},\mathcal{C})$ 中以下态射. $$S={\left\{C\otimes h(o{)}_{\mathsf{Seg}}\to C\otimes h_{\mathcal{O}}(o)\right\}}_{o\in \mathcal{O},C\in K}$$此处 $K$ 为 $\mathcal{C}$ 的紧生成元所构成的集合. 根据 Yoneda 引理以及 $\mathsf{Ani}$-张量性质可知 ${\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Fun}(\mathcal{O},\mathcal{C})}(C\otimes h_{\mathcal{O}}(o),Y)\simeq {\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Fun}(\mathcal{O},\mathsf{Ani})}(h_{\mathcal{O}}(o),{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(C,Y))\simeq {\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(C,Y(o))$. 同理, 再配合上余极限和极限的泛性质可知. $$\begin{array}{rl}{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Fun}(\mathcal{O},\mathcal{C})}(C\otimes h(o{)}_{\mathsf{Seg}},Y)& \simeq \underset{e\in {\mathcal{O}}_{o/}^{\text{初}}}{\lim }{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Fun}(\mathcal{O},\mathsf{Ani})}(h_{\mathcal{O}}(e),{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(C,Y))\\ & \simeq {\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(C,\underset{e\in {\mathcal{O}}_{o/}^{\text{初}}}{\lim }Y(e)).\end{array}$$根据定义 2.9 可知 $Y$ 为 $X$ 相对 Segal $\mathcal{O}$-对象当且仅当对于全体 $f\in S$ 均为拉回图表. 不难发现这相当于说 $\pi :Y\to X$ 关于 $S$ 具有右提升性质. 或者说 $Y$ 为 $X$ 相对 Segal $\mathcal{O}$-对象是指其在 $\mathrm{Fun}(\mathcal{O},\mathcal{C}{)}_{/X}$ 上为以下集合的局部对象根据 [Lurie 2009, Proposition 5.5.4.15.] 可知全体 $X$ 相对 Segal $\mathcal{O}$-对象所张成的全子范畴 ${\mathsf{Seg}}_{\mathcal{O}}^{/X}(\mathcal{C})$ 是自反局部化, 并且是可表现的.

$\square$

接下来给出一些常见的例子

定义 2.13 (${\mathbb{F}}_{\ast }$ 上的代数模式). 将由 $⟨n⟩$ 在 ${\mathsf{Fin}}_{\ast }$ 中生成的全子范畴记为 ${\mathbb{F}}_{\ast }$, 称 ${\mathbb{F}}_{\ast }$ 中的态射 $\phi :⟨n⟩\to ⟨m⟩$ 为

•	活性: 指 ${\phi }^{-1}(0)=\{0\}$
•	惰性: 指 $\phi {\mid }_{⟨n⟩\setminus {\phi }^{-1}(0)}:⟨n⟩\setminus {\phi }^{-1}(0)\stackrel{\sim }{\to }⟨m⟩\setminus \{0\}$ 为同构 (这与定义 1.1 中惰性态射是一致的).

则惰性态射和活性态射所张成的宽子对象构成 ${\mathbb{F}}_{\ast }$ 上的分解系统, 当选取 $⟨1⟩$ 为初等对象时, 就得到了一个代数模式 ${\mathbb{F}}^{♭}$. 此外, 可以将 $({\mathbb{F}}_{\ast }{)}_{⟨n⟩/}^{\text{初}}$ 表为集合 $\{{\rho }^i:⟨n⟩\to ⟨e⟩\}$, 其中 ${\rho }^i$ 为由$${\rho }^i(j)=\{\begin{array}{ll}\ast ,& j\ne i,\\ 1,& j=i.\end{array}$$所确定的惰性态射 ${\rho }^i:⟨n⟩\to ⟨1⟩$(不难发现这与定义 1.1 中的 ${\rho }^i$ 一致. 函子 $X:{\mathbb{F}}_{\ast }\to \mathcal{C}$ 为 Segal ${\mathbb{F}}_{\ast }$-对象是指对于任意 $n$ 都有由 ${\rho }_i$ 所诱导的映射$$X(⟨n⟩)\to \prod _{i=1}^{n}X(⟨1⟩)$$不难发现其为交换代数.

定义 2.14 (${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}$ 上的代数模式). 在单形范畴 ${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}$ 上可以给出分解系统, 称 $f:[m]\to [n]$ 为:

•	活性: 指 $f$ 保持最大值, 最小值, 即 $f(0)=0$, $f(m)=n$.
•	惰性: 指 $f$ 为区间含入, 即对 $0\le k<m$, $f(k+1)=f(k)+1$.

在 ${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}$ 上也称对应态射为活性, 惰性. ${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}$ 上可以定义两种代数模式, 一种为取初等对象为 $[0]$ 和 $[1]$, 此时得到的代数模式记为 ${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op},♮}$. 或者取初等对象为 $[1]$, 此时得到的代数模式记为 ${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op},♭}$.

现在我们可以重新给出结合代数的定义

定义 2.15.

•	Segal ${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op},♮}$-生象即为 Segal 生象.
•	$\mathcal{C}$ 中的 Segal ${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op},♭}$-对象为 ${\mathbb{A}}_{\infty }$-代数 (即结合代数).

注意到此时 ${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op},♭}$ 称为结合模式或者 ${\mathbb{A}}_{\infty }$-模式更加恰当, 简记为 ${\mathbb{A}}_{\infty }$. 更进一步, 我们可以考虑 $\mathbb{\Delta }$ 的截断, 这样可以给出 ${\mathbb{A}}_n$-模式.

定义 2.16 (${\mathbb{A}}_n$-模式). 对于正整数 $n$, 考虑 $n$-截断单形范畴 ${\mathbb{\Delta }}_{\le n}^{\mathrm{op}}$, 即不多于 $n+1$ 个元素的 $[i]$ 依保序映射构成的范畴的反范畴, 它是 ${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}$ 的全子范畴. ${\mathbb{A}}_{\infty }$ 在其上自然诱导出一个代数模式, 称为 ${\mathbb{A}}_{\mathbf{n}}$-模式. 不难发现有一列嵌入态射$${\mathbb{A}}_1\to {\mathbb{A}}_2\to \cdots \to {\mathbb{A}}_{\infty }={\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op},♭}$$

至于 ${\mathbb{A}}_n$-代数的定义我们稍后谈及. 接下来引入一种重要的代数模式: Cartesius 模式

定义 2.17 (Cartesius 模式). 令 $\mathcal{O}$ 为代数模式, 称其为 Cartesius 模式是指带有代数模式之间态射 $|-{|}_{\mathcal{O}}:\mathcal{O}\to {\mathbb{F}}_{\ast }^{♭}$ 使得对于任意 $o\in \mathcal{O}$ 都有等价$${\mathcal{O}}_{o/}^{\text{初}}\to {\mathbb{F}}_{\ast ,|O{|}_{\mathcal{O}}/}^{♭,\text{初}}$$Cartesius 模式之间的态射即为 ${\mathbb{F}}_{\ast }^{♭}$ 上的代数模式之间的态射.

定义 2.18 ($\mathcal{O}$-单子). 对于 Cartesius 模式 $\mathcal{O}$, 改称 Segal $\mathcal{O}$-对象为 $\mathcal{O}$-单子. 记为$${\mathsf{Mon}}_{\mathcal{O}}(\mathcal{C}):={\mathsf{Seg}}_{\mathcal{O}}(\mathcal{C})$$

定义 2.19 (Segal 态射). 代数模式之间的态射 $f:\mathcal{O}\to \mathcal{P}$ 被称为是 Segal 的是指其诱导的函子 $f^{\ast }:\mathrm{Fun}(\mathcal{P},\mathsf{Ani})\to \mathrm{Fun}(\mathcal{O},\mathsf{Ani})$ 限制到 ${\mathsf{Seg}}_{\mathcal{P}}(\mathsf{Ani})$ 上给出函子$$f^{\ast }:{\mathsf{Seg}}_{\mathcal{P}}(\mathsf{Ani})\to {\mathsf{Seg}}_{\mathcal{O}}(\mathsf{Ani})$$

接下来给出推出纤维化在代数模式上的类比, 称为 Segal 纤维化.1

定义 2.20 (Segal 纤维化). 令 $\mathcal{O}$ 为代数模式. Segal $\mathcal{O}$-纤维化是指推出纤维化 $\pi :\mathcal{E}\to \mathcal{O}$, 使得其对应的函子 $\mathcal{O}\to {\mathsf{Cat}}_{\infty }$ 为 Segal $\mathcal{O}$-对象.

如同推出纤维化一般, Segal 纤维化应当使得 $\mathcal{E}$ 也为代数模式, 那么首先给出 $\mathcal{E}$ 上的惰性和活性态射.

定义 2.21. 令 $\mathcal{O}$ 为代数模式, 且 $\pi :\mathcal{C}\to \mathcal{O}$ 为 Segal $\mathcal{O}$-纤维化. 则称 $\mathcal{E}$ 中的态射是:

•	惰性是指其为推出态射并且在 $\mathcal{O}$ 的惰性态射之上.
•	活性是指其在 $\mathcal{O}$ 的活性态射之上.

其为初等对象是指其在 $\mathcal{O}$ 的初等对象之上.

引理 2.22. $\mathcal{E}$ 配上上述信息构成代数模式, 且 $\mathcal{E}\to \mathcal{O}$ 为 Segal 态射.

证明.

证明. 暂时略过.

$\square$

3充实模式与代数胚

4充实的例子

注记

1.	^ 当然, 在 [Lurie 2017, $\S 4.1.3$] 中给出平面 $\infty$-算畴这一概念, 但是本文讲述的是更进一步的推广.

参考文献

•	Hongyi Chu, Rune Haugseng (2021). “Homotopy-coherent algebra via Segal conditions”. Advances in Mathematics 385, 107733. (doi) (web)

•	Shaul Barkan, Rune Haugseng, Jan Steinebrunner (2022). “Envelopes for Algebraic Patterns”. arXiv: 2208.07183 [math.CT].
•	Hongyi Chu, Rune Haugseng (2023). “Enriched homotopy-coherent structures”. arXiv: 2308.11502 [math.CT]. (web)
•	J. Lurie (2017). Higher Algebra.
•	Shaul Barkan (2023). “Arity Approximation of $\infty$-Operads”. arXiv: 2207.07200 [math.AT]. (web)
•	J. Lurie (2009). Higher Topos Theory. Academic Search Complete. Princeton University Press. ()