Segal 空间

在高阶范畴论中, Segal 空间是指空间 $(\infty ,1)$-范畴 $\mathsf{S}$ 中的内 $(\infty ,1)$-范畴. 换言之, Segal 空间像是一个 $(\infty ,1)$-范畴, 但其所有 $n$-态射不仅构成集合, 还构成空间, 例如 Kan 复形.

需要注意的是, $(\infty ,1)$-范畴本身已经具备所有的高阶同伦信息, 这些信息已经可以告诉我们应该如何将 $n$-态射的集合视为空间. 当这些信息与 Segal 空间的结构所提供的信息一致时, 该 Segal 空间就称为完备 Segal 空间. 因此, 完备 Segal 空间与 $(\infty ,1)$-范畴是等价的概念.

由于 Segal 空间和完备 Segal 空间可以不依赖 $(\infty ,1)$-范畴的理论而定义, 因此, 可以使用完备 Segal 空间来定义 $(\infty ,1)$-范畴. 在这一观点下, 进一步地, 使用 Segal 空间的推广, 即 $n$ 重完备 Segal 空间, 可以定义 $(\infty ,n)$-范畴, 这也是目前后者的最常用的定义.

1定义

通过高阶范畴论

定义 1.1. Segal 空间是空间 $(\infty ,1)$-范畴 $\mathsf{S}$ 中的内 $(\infty ,1)$-范畴.

通过同伦代数

若要使用 Segal 空间来定义 $(\infty ,1)$-范畴, 则不可使用前一种定义. 因此, 我们使用单纯集的语言将该定义重新写下来. 我们记 $\mathsf{Kan}$ 为 Kan 复形范畴.

定义 1.2. Segal 空间是指函子$$X:{\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}⟶\mathsf{Kan},$$即 Kan 复形范畴中的单纯对象, 其中 $\mathbb{\Delta }$ 是单形范畴, 使得对任意自然数 $n$, 诱导的态射$$X_n⟶\underset{n\text{ 个 }{X}_1}{\underbrace{X_1\underset{X_0}{\times }\cdots \underset{X_0}{\times }{X}_1}}$$是 Kan 复形的同伦等价, 其中 $X_n$ 代表 $X(n)$, 右边是 Kan 复形的同伦极限.

这里, 空间 $X_n$ 可以视为 Segal 空间中 $n$-态射构成的空间. 与内 $(\infty ,1)$-范畴的定义类似, 要求态射$$X_n⟶X_1\underset{X_0}{\times }\cdots \underset{X_0}{\times }{X}_1$$是等价, 是说给定 $n$ 个首尾相接的 $1$-态射, 则可以在同伦意义下唯一地将它们复合起来, 也就是通过上述态射的同伦逆, 找到一个 $n$-态射, 其 $[0,n]$ 边就是这些 $1$-态射的复合.

2相关概念

术语翻译

Segal 空间 • 英文 Segal space • 法文 espace de Segal (m)