用户: 遗忘的左伴随/伸展范畴与高阶代数/题外话:代数模式

注 0.1. 本章不在 Cnossen 的正课中出现, 本章的目的为介绍代数模式的概念, 并且更加详细的比较 $\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})$-算畴与 ${\mathsf{Fin}}_{\ast }$-算畴.

1代数模式

在上一节中, 我们给出了看待惰性态射以及活性态射的方式. 即:

•	惰性态射记录算畴的乘积;
•	活性态射记录算畴的结构.

事实上, 可以基于这一观点, 给出一种算畴结构的推广, 称为代数模式. 使用代数模式, 我们可以给出更广的算畴构造, 以此给出看待高阶代数的全新观点.

定义 1.1 (分解系统). 范畴 $\mathcal{C}$ 的分解系统指其一对宽子范畴 $({\mathcal{C}}^L,{\mathcal{C}}^R)$, 且对 $\mathcal{C}$ 中任意态射 $f:x\to y$, 空间$$\{(g:x\to z,h:z\to y)\mid g\in {\mathcal{C}}^L,h\in {\mathcal{C}}^R,h\circ g=f\}$$为可缩.

定义 1.2 (代数模式). 代数模式指范畴 $\mathcal{O}$ 附带分解系统 $({\mathcal{O}}^{惰},{\mathcal{O}}^{活})$ 以及 ${\mathcal{O}}^{惰}$ 的全子范畴 ${\mathcal{O}}^{初}$. ${\mathcal{O}}^{惰}$、${\mathcal{O}}^{活}$ 中的映射分别称为惰性映射、活性映射, ${\mathcal{O}}^{初}$ 中的对象称为初等对象.

不难看出, 代数模式是一种强调分解系统的产物, 接下来我们给出一些代数模式的例子.

例 1.3. 令 ${\mathsf{Fin}}_{\ast }$ 为带点有限集范畴, 其内对象形如 $I_{+}:=(\{I,0\},0)$, 即有限集 $I$ 的带点化, 方便期间, 考虑其骨架范畴, 即对象为 ${⟨n⟩}_{+}$ 的情况. 则 ${\mathsf{Fin}}_{\ast }$ 可通过以下两种方式变为代数模式:

•	${\mathsf{Fin}}_{\ast }$ 中的惰性态射是 “缩减定义域” 的态射 $\phi :{⟨n⟩}_{+}\to {⟨m⟩}_{+}$, 即 $\phi$ 限制在 ${⟨n⟩}_{+}\setminus {\phi }^{-1}(0)$ 上为同构;
•	${\mathsf{Fin}}_{\ast }$ 中的活性态射是 “定义域为全部” 的态射 $\phi :{⟨n⟩}_{+}\to {⟨m⟩}_{+}$, 即 ${\phi }^{-1}(0)=\{0\}$;
•	${\mathsf{Fin}}_{\ast }$ 中的初等对象为单点集 $(\{0\},0)$(将该代数模式记为 ${\mathsf{Fin}}_{\ast }^{♭}$), 或取为 $(\{0\},0)$ 和 $(\{0,1\},0)$(将对应代数模式记为 ${\mathsf{Fin}}_{\ast }^{♮}$).

例 1.4. 给定饱和三元组 $(\mathcal{C},{\mathcal{C}}_L,{\mathcal{C}}_R)$ 以及全子范畴 ${\mathcal{C}}_0\subset {\mathcal{C}}_L$, 则将 ${\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C})$ 可通过以下方式变为代数模式:

•	${\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C})$ 中的惰性态射由后向态射类 ${\mathcal{C}}_L$ 给出;
•	${\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C})$ 中的活性态射由前向态射类 ${\mathcal{C}}_R$ 给出;
•	${\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C})$ 中的初等对象定义为 ${\mathcal{C}}_0$.

由于初等对象是任选的, 因此将该代数模式记为 ${\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C},{\mathcal{C}}_0)$.

从而可在 $\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})$ 上定义代数模式, 只需将初等对象定义为 $⟨1⟩$ 即可.

注 1.5. 以下将说明 ${\mathsf{Fin}}_{\ast }^{♭}$ 与 $\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})$ 所表现出的信息是一致的.

例 1.6. 考虑单形范畴的反范畴 ${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}$, 它可以通过以下两种方式变为代数模式:

•	${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}$ 中的惰性态射是 “区间含入” 态射的反态射, 即全序集 $I$ 到全序集 $J$ 的惰性映射为 $J$ 到 $I$ 的保序单射, 满足对 $I$ 中元素 $i^{\prime }\le i\le i^{\prime \prime }$, 只要 $i^{\prime }$ 和 $i^{\prime \prime }$ 在 $J$ 的像中, $i$ 就也在 $J$ 的像中; 若 $i^{\prime }$ 和 $i^{\prime \prime }$ 在 $[n]$ 的像中, 则 $i$ 也在 $[n]$ 的像中;
•	${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}$ 中的活性态射是 “保持端点” 态射的反态射, 即全序集 $I$ 到全序集 $J$ 的活性映射为 $J$ 到 $I$ 的保序映射, 把 $\min J$ 和 $\max J$ 映到 $\min I$ 和 $\max I$;
•	${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}$ 中的初等对象为二元集 $[1]$(将该代数模式记为 ${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op},♭}$) 或取为 $[0]$ 和 $[1]$(将该代数模式记为 ${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op},♮}$).

“代数模式” 一词的由来实际上是因为其通过惰性态射与初等对象记录了 Segal 条件,

2参考资料, 脚注及翻译

参考资料

•	Hongyi Chu, Rune Haugseng (2021). “Homotopy-coherent algebra via Segal conditions”. Advances in Mathematics 385, 107733. (doi) (web)
•	Shaul Barkan, Rune Haugseng, Jan Steinebrunner (2022). “Envelopes for Algebraic Patterns”. arXiv: 2208.07183 [math.CT]. 脚注 翻译 术语翻译 代数模式 • 英文 algebraic pattern