用户: Cybcat/百题大过关/2018 P 几何

1.	假设 $M$ 为 $n$ 维光滑流形, 证明切丛 $TM$ 为 $2n$ 维光滑流形.
2.	假设 $M$ 是可定向带边流形, 证明 $\partial M$ 是可定向流形.
3.	假设 $M$ 为黎曼流形, $N\subset M$ 为子流形. 写出 $N$ 与 $M$ 的 Levi-Civita 联络的关系并证明.
4.	假设 $M$ 为黎曼流形, $N\subset M$ 为紧子流形, 证明 $N$ 在 $M$ 中存在半径 $\epsilon >0$ 的管状邻域, 其中 $\epsilon >0$ 充分小.
5.	假设 $M$ 为紧黎曼流形且 ${\pi }_1(M)\ne 0$, 证明 $M$ 上存在非平凡闭测地线.

第一题.

第一题. 参看切丛.

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第二题.

第二题. 设嵌入 $\iota :\partial M\to M$, 考虑切丛拉回丛 $B={\iota }^{\ast }{T}_M$, 我们很容易用单位分解构造 $\partial M$ 上朝向 $M$ 的 $B$ 的截面 (切向量场). 然后对一个 $M$ 上处处非零的 top form, 带入前述 $B$ 中截面就得到了 $\partial M$ 上处处非零的 top form.

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第三题.

第三题. 一个直观是, 这个联络应该是原本联络的正规投影, 我们选取 $p\in N$, 设 $\mathbf{p}:T_{p}M\to T_{p}N$ 为 Riemann 度量下的正交投影, 我们定义联络 (容易依照定义检查它是联络) ${\tilde{\nabla }}_{X}Y:=\mathbf{p}({\nabla }_{X}Y)$, 这里 $Y$ 需要任意从 $p\in N$ 的邻域延拓到 $p\in M$ 的邻域. 它的良定义性: 因为如果 $Y{|}_N=0$, 则对任意 $Z$, $g(\mathbf{p}({\nabla }_{X}Y),Z)=g({\nabla }_{X}Y,\mathbf{p}(Z))$, 所以可以设 $Z{|}_N$ 沿着 $N$, 现在在 $p$ 处根据相容性, $g({\nabla }_{X}Y,Z)=X(g(Y,Z))-g(Y,{\nabla }_{X}Z)=0$, 因为 $g(Y,Z){|}_N=0$ 而 $X$ 沿着 $N$ 的方向.

注意到 LC 联络是唯一的在切丛上的无挠, 和度量相容的联络. 下面关于 $\tilde{\nabla }$ 检查这两件事, 首先是无挠性, ${\tilde{\nabla }}_{X}Y-{\tilde{\nabla }}_{Y}X=p({\nabla }_{X}Y-{\nabla }_{Y}X)=p([X,Y])=[X,Y]$ 因为 $X,Y$ 限制在 $N$ 都沿着 $N$. 然后是相容性, 结合 $\mathbf{p}(Y)=Y,\mathbf{p}(Z)=Z$ 计算得到: $$\begin{array}{rl}X(g(Y,Z))=& g({\nabla }_{X}Y,Z)+g(Y,{\nabla }_{X}Z)\\ =& g({\nabla }_{X}Y,\mathbf{p}(Z))+g(\mathbf{p}(Y),{\nabla }_{X}Z)\\ =& g(\mathbf{p}({\nabla }_{X}Y),Z)+g(Y,\mathbf{p}({\nabla }_{X}Z)).\end{array}$$至此我们得知 $\tilde{\nabla }$ 也和度量相容.

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第四题.

第四题. 一个偷懒的办法是, 可以考虑 Nash 嵌入将 $N\subset M$ 嵌入欧氏空间, 然后使用 $N$ 的欧氏管状邻域定理, 然后限制在 $M$ 上就得到我们想要的邻域. 我们指出, 具体的管状邻域的证明也能直接应用在 $M$ 上, 而无需嵌入. 以下的距离均指 $\mathbf{M}$ 中的测地距离.

考虑 Riemann 度量实现的法丛 $N_{M/N}\to N$ (这个记号不大文明), 它是 $\dim M$ 维的流形, 每个点 $p\in N$ 处的纤维是 $T_{p}N\le T_{p}M$ 的正交补空间. 现在构造 $\exp$ 映射为 $\exp :N_{M/N}\to M$, 在 $p\in N$ 的纤维沿着测地线行走. 首先根据常微分方程的解关于初值和参数的光滑性, 我们得知 $\exp$ 是一个光滑映射. 再者, 对测地线求导的结果保证了在任意 $p\in N_{M/N}$ 附近的切映射 $d\exp :T{N}_{M/N}\to TM$ 是同构.

因此, 利用 $N$ 的紧性, 存在 $\epsilon >0$ 使得 $N_{M/N}$ 中到 $N$ 距离 $\epsilon$ 以内的点构成的子流形有 $\exp$ 是一个到像同构, 这样一来这像集就是 $N$ 中符合条件的管状邻域, 论证如下: $\epsilon$ 充分小时, Jacobian 非退化, 因此每个点附近都是单射, 为了保证没有 “相隔很远的点的邻域意外相交” 的情况发生, 我们采取以下策略选取 $\epsilon$: 首先我们选取 ${\epsilon }_0$ 使得对每个点 $p\in N$, 在 $N$ 中附近 ${\epsilon }_0$ 内的点具有的 ${\epsilon }_0$-管状邻域到像是单射. 再取 $\epsilon ={\epsilon }_0/2$, 此时如果 $p,q$ 具有相交的 $\epsilon$-管状邻域, 说明它们间的距离本就小于 $2\epsilon ={\epsilon }_0$, 但这就与 ${\epsilon }_0$ 的选取相矛盾.

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第五题.

第五题. (1) 注意到可以找一个 $M$ 的强测地凸邻域覆盖, 由紧性还可要求是有限覆盖, 进而证明这样一个引理: 存在仅与 $M$ 有关的常数 $\epsilon >0$, 使得对任意 $p\in M$, 到 $p$ 测地距离小于 $\epsilon$ 的点构成一个同胚于球的强测地凸邻域, 进而单连通.

(2) 现在我们打算取 [$M$ 上不可缩的 ${\mathbb{S}}^1$ 分段光滑的像中, 长度取到最小值] 者. 很显然其长度不能小于 $\epsilon$, 否则其可缩, 所以其长度具有非零下界. 然后先随意取一个这样的 (未必最短的)${\mathbb{S}}^1$, 设它的长度为 $B$, 我们只是用它作为一个界. 于是令 $N$ 为一个足够大的正整数使得 $B/N<\epsilon /2$. 现在我们考虑 $M$ 上 $N$ 个点 $a_0,a_1,\cdots ,a_N=a_0$ 满足 $d(a_i,a_{i+1})\le \epsilon$ 且分段测地道路 $a_0{a}_1\cdots a_N$ 不可缩的模空间 $\mathcal{M}$, 这是 $M^N$ 的一个闭子集 (不可缩性在微扰下不变) 所以是紧的. 现在 ${\sum }_{i=1}^{N}d(a_i,a_{i+1})$ 是 $l:\mathcal{M}\to [\epsilon ,B]$ 的连续函数.

(3) 上述紧集 $\mathcal{M}$ 上的连续函数 $l$ 存在最小值, 这就是前一节我们所希望找寻的对象. 这是因为, 对于这样一个 ${\mathbb{S}}^1$ 的像, 任意 $a_{i+1}$ 处必须也是测地的, 否则 $a_i{a}_{i+2}$ 间的测地线会更短 (测地线等价于局部上长度最小). 对于取全局最小值的这闭曲线, 它必须是测地线, 而且依定义它不可缩, 因此它就是符合条件的闭测地线.

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