切丛

本文介绍的是微分几何中的切丛. 关于代数几何中的切丛, 请参见 “切丛 (代数几何)”.

光滑流形 $X$ 的切丛 $\mathrm{T}X\to X$ 是将 $X$ 每个点处的切空间拼起来, 而得到的 $X$ 上的光滑向量丛.

1定义

定义 1.1 (切丛). 设 $X$ 是光滑流形. 对每个 $x\in X$, 记 ${\mathrm{T}}_{x}X$ 为 $X$ 在 $x$ 处的切空间.

作为集合, 我们定义$$\mathrm{T}X=\coprod _{x\in X}{\mathrm{T}}_{x}X.$$我们赋予 $\mathrm{T}X$ 如下的光滑结构: 对每个坐标卡 $\phi :{\mathbb{R}}^n\to X$, 相应地定义 $\mathrm{T}X$ 的一个坐标卡$$\begin{array}{rl}\tilde{\phi }:{\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^n& \to \mathrm{T}X,\\ (x,v)& \mapsto (\phi (x),{\phi }_{\ast }(v)),\end{array}$$其中 ${\phi }_{\ast }$ 是切映射, 记号 $(\phi (x),{\phi }_{\ast }(v))$ 的含义是 ${\mathrm{T}}_{\phi (x)}X$ 中的向量 ${\phi }_{\ast }(v)$. 这使得 $\mathrm{T}X$ 具有了光滑流形的结构. 最后, 我们有一个投影映射$$\mathrm{T}X\to X,$$它将每个 ${\mathrm{T}}_{x}X$ 映到 $x$. 这使得 $\mathrm{T}X$ 成为 $X$ 上的光滑向量丛, 称为 $X$ 的切丛. 它的秩与 $X$ 的维数相同.

定义 1.2 (向量场). 设 $X$ 是光滑流形. 则 $X$ 上的向量场是指切丛 $\mathrm{T}X$ 的光滑截面.

2例子

•	Euclid 空间 ${\mathbb{R}}^n$ 的切丛是平凡丛 ${\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^n$; 圆周 $S^1$ 的切丛也是平凡丛 $S^1\times \mathbb{R}$.
•	毛球定理说明, 球面 $S^2$ 的切丛不是平凡丛. 事实上, 具有平凡切丛的球面只有 $S^0$、$S^1$、$S^3$、$S^7$, 它们切丛的平凡化分别由 $\mathbb{R}$、$\mathbb{C}$、$\mathbb{H}$、$\mathbb{O}$ 中单位球面上的乘法给出.

3性质

命题 3.1. 设 $X$ 是复流形. 则 $X$ 的切丛可以看作一个复向量丛.

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4相关概念

•	切微丛
•	切锥

术语翻译

切丛 • 英文 tangent bundle • 德文 Tangentialbündel (n) • 法文 fibré tangent (m)