Levi-Civita 联络

Levi-Civita 联络是 Riemann 流形的切丛上 “最自然” 的联络, 也就是对向量场求导的方式. 这种求导方式称为向量场的协变导数.

Riemann 流形上的 Levi-Civita 联络存在且唯一, 这一结论称为 Riemann 几何基本定理 (定理 2.1).

1定义

定义 1.1 (Levi-Civita 联络). 设 $(M,g)$ 为 Riemann 流形. 切丛 $\mathrm{T}M$ 上的 Levi-Civita 联络是满足如下条件的联络 $\nabla$:

•	(与度量相容) 度量张量 $g$ 的协变导数为 $0$: $$\nabla g=0.$$等价地说, 对任何光滑向量场 $X,Y,Z$, 都有 Leibniz 法则$$X⟨Y,Z⟩=⟨{\nabla }_{X}Y,Z⟩+⟨Y,{\nabla }_{X}Z⟩.$$
•	(无挠) $\nabla$ 的挠率为 $0$. 等价地说, 对任何光滑向量场 $X,Y$, 都有$${\nabla }_{X}Y-{\nabla }_{Y}X=[X,Y],$$其中 $[X,Y]$ 是向量场的 Lie 括号.

2性质

存在唯一性

定理 2.1 (Riemann 几何基本定理). 任何 Riemann 流形 $(M,g)$ 上存在唯一的 Levi-Civita 联络 $\nabla$, 它由以下公式唯一确定: 对 $M$ 上光滑向量场 $X,Y,Z$, 有$$⟨{\nabla }_{X}Y,Z⟩=\frac{1}{2}(X⟨Y,Z⟩+Y⟨Z,X⟩-Z⟨X,Y⟩-⟨[Y,X],Z⟩-⟨[X,Z],Y⟩-⟨[Y,Z],X⟩).$$

证明. 假设 Levi-Civita 联络 $\nabla$ 存在, 则对任何光滑向量场 $X,Y,Z$, 有$$\begin{array}{rl}& X⟨Y,Z⟩+Y⟨Z,X⟩-Z⟨X,Y⟩\\ =& ⟨{\nabla }_{X}Y,Z⟩+⟨Y,{\nabla }_{X}Z⟩+⟨{\nabla }_{Y}Z,X⟩+⟨Z,{\nabla }_{Y}X⟩-⟨{\nabla }_{Z}X,Y⟩-⟨X,{\nabla }_{Z}Y⟩\\ =& ⟨{\nabla }_{X}Y,Z⟩+⟨Z,{\nabla }_{Y}X⟩+⟨Y,{\nabla }_{X}Z⟩-⟨{\nabla }_{Z}X,Y⟩+⟨{\nabla }_{Y}Z,X⟩-⟨X,{\nabla }_{Z}Y⟩\\ =& 2⟨{\nabla }_{X}Y,Z⟩+⟨[Y,X],Z⟩+⟨[X,Z],Y⟩+⟨[Y,Z],X⟩,\end{array}$$即定理所述的公式.

(存在性...)

$\square$

坐标表示

在局部坐标系中, Levi-Civita 联络可以由 Christoffel 符号描述. 我们以 $(x^1,\dots ,x^n)$ 表示该局部坐标系, 记 $e_i=\partial /\partial x^i$ 为沿坐标轴的单位向量场.

定义 2.2 (Christoffel 符号). Christoffel 符号定义为$${\Gamma }_{ij}^k=⟨{\nabla }_{e_i}{e}_j,e_k⟩,$$其中 $i,j,k\in \{1,\dots ,n\}$.

注 2.3. Christoffel 符号并不构成张量, 因为它不符合张量的坐标变换法则. 坐标无关地看, 这就是说映射 $(X,Y)\mapsto {\nabla }_{X}Y$ 不构成 $(2,1)$-张量.

命题 2.4. Levi-Civita 联络的 Christoffel 符号由以下公式给出: $${\Gamma }_{ij}^k=\frac{1}{2}{g}^{kl}({\partial }_i{g}_{jl}+{\partial }_j{g}_{il}-{\partial }_l{g}_{ij}),$$其中 $g^{kl}$ 表示对偶度量张量, 也就是矩阵 $(g_{ij})$ 的逆矩阵的元素.

证明. 由定理 2.1, 有$$⟨{\nabla }_{e_i}{e}_j,e_l⟩=\frac{1}{2}(e_i⟨e_j,e_l⟩+e_j⟨e_l,e_i⟩-e_l⟨e_i,e_j⟩),$$即$${\Gamma }_{ij}^k{g}_{kl}=\frac{1}{2}({\partial }_i{g}_{jl}+{\partial }_j{g}_{il}-{\partial }_l{g}_{ij}).$$$\square$

3相关概念

术语翻译

Levi-Civita 联络 • 英文 Levi-Civita connection • 德文 Levi-Civita-Zusammenhang (m) • 法文 connexion de Levi-Civita (f)