用户: Cybcat/Banach 代数/第一讲

1第一讲

什么是 Banach 代数.

定义

定义 1.1. Banach 代数 $A$ 首先是一个 $\mathbb{C}$-代数, 其次上面带有 (作为 $\mathbb{C}$-线性空间) 相容的 Banach 空间的结构, 对应的 Banach 范数记 $\Vert \bullet \Vert$, 这范数满足 $\Vert xy\Vert \le \Vert x\Vert \Vert y\Vert$ 对一切 $x,y\in A$. 那么这些结构称 Banach 代数.

注 1.2. 首先从这范数的乘积式立刻得到乘法是度量连续的. 对 $a_n\to a,b_n\to b$ 不难证明 $a_n{b}_n\to ab$. 反过来如果乘法 $m:A\times A\to A$ 是度量连续的, 那么半径 $1$ 的开球 $B(1)$, 其原像包含 $B(r_1)\times B(r_2)$. 因此用等价的范数 $\Vert \bullet \Vert /(r_1{r}_2)$ 代替 $\Vert \bullet \Vert$ 就能保证 $\Vert xy\Vert \le \Vert x\Vert \Vert y\Vert$.

其次是含幺性, 我们总可以赋予 $A\times \mathbb{C}$ 一个 Banach 代数结构, 对 $x,y\in A;a,b\in \mathbb{C}$ 定义$$(x,a)+(y,b)=(x+y,a+b);(x,a)(y,b)=(xy+ay+bx,ab);\Vert (x,a){\Vert }_{A\times \mathbb{C}}=\Vert x\Vert +|a|.$$以及标准的 $\mathbb{C}$-线性结构, 不难检查此时 $A\times \mathbb{C}$ 含幺元 $e=(0,1)$. 所以 $A\subset A\times \mathbb{C}$ 是闭 Banach 子代数. 很多时候关于 $A$ 的研究可以转化到 $A\times \mathbb{C}$ 上去. 另外 $A\times \mathbb{C}$ 上符合条件的范数不一定取成上述 $\Vert \bullet {\Vert }_{A\times \mathbb{C}}$, 但是都和它等价 (等价范数定理).

现在假设 $A$ 含幺 $e$, 但是并不总有 $\Vert e\Vert =1$, 不过 $\Vert e\Vert =\Vert e\times e\Vert \le \Vert e{\Vert }^2$ 故 $\Vert e\Vert \ge 1$ 总成立, 此时可以定义 $A$ 上的新范数$$|x|:=\underset{0\ne y\in A}{\sup }\frac{\Vert xy\Vert }{\Vert y\Vert }.$$实际上这自然就是考虑左乘算子 $m_x:A\to A$ 的算子范数, 我们马上也会看到, 这使得 $A\to \mathcal{B}(A)$ 有一个自然的嵌入. 不难检查这一新范数满足 $|xy|\le |x|\cdot |y|$ 而且 $|e|=1$, 还有 $\Vert a\Vert /\Vert e\Vert \le |a|\le \Vert a\Vert$ 从而两范数等价. 所以我们总能用 $|\bullet |$ 代替 $\Vert \bullet \Vert$ 做更多事情 (至少说某些话更方便).

如无特别说明, 以后总研究含幺 Banach 代数且这幺元满足 $\Vert \mathbf{e}\Vert =1$.

注 1.3. 注意我们不要求 $A$ 作为代数交换. 如果 $A$ 交换, 自然称 $A$ 为一个交换 Banach 代数.

定义 1.4. Banach 代数之间的同态是一个 $\mathbb{C}$-代数同态, 同时要求作为 Banach 空间之间的映射是连续的.

接下来我们给出一些 Banach 代数的例子:

(1) 紧 Hausdorff 空间 $K$ 上的复值连续函数 $C(K)$, 在最大模范数下构成 Banach 代数. 特别地若 $K$ 有限, 则$$\mathbb{C}(K)\cong {\mathbb{C}}^{\#K}.$$

(2) 任意一个 Banach 空间 $X$, $\mathcal{B}(X)$ 即 $X\to X$ 的连续线性算子在算子范数下自然成为 Banach 代数. 它有幺元 ${\mathrm{id}}_X$.

(3) $L^1({\mathbb{R}}^n)$ 在 $L^1$ 范数下, 卷积乘法和普通的加法给出 Banach 代数结构. 更一般地, ${\mathbb{R}}^n$ 上的复 Borel 测度, 在全变差为乘法下构成 Banach 代数. 此时 Dirac $\delta$ 可作为幺元.

(4) 设 $U$ 为 $\mathbb{C}$ 上的有界开集, 用 $A_0(U)$ 表示 $U$ 内解析, $\overline{U}$ 上连续的函数, 在最大模范数和常规的运算下构成 Banach 代数. 我们通常比较关注 $U=\mathbb{D}$ 的情形.

几个计算引理

在证明一些重要理论前, 我们做一点准备, 完成几个需要计算得到的结论.

定义 1.5. 对含幺代数 $A$, 用 $A^{\times }$ 记 $A$ 的全体乘法可逆元在乘法下构成的群.

引理 1.6. 设 $A$ 是含幺 Banach 代数, 则对 $x\in A$ 满足 $\Vert x\Vert <1$, $e-x\in A^{\times }$ 且$$\Vert (e-x{)}^{-1}-e-x\Vert \le \frac{\Vert x{\Vert }^2}{1-\Vert x\Vert }.$$

证明. 我们首先给出逆, 注意到 $\Vert x\Vert <1$, 立刻有 $\Vert x^n\Vert \le \Vert x{\Vert }^n$ 从而$$s_n:=e+x+x^2+\cdots +x^n$$收敛, 我们声称它收敛到 $e-x$ 的逆, 只需注意随 $n\to +\infty$: $$s_n(e-x)=e-x^{n+1}=(e-x)s_n\to e.$$最后设 $s_n\to s$, 那么误差估计也是立刻的$$\Vert s-e-x\Vert =\Vert x^2+x^3+\cdots \Vert \le \sum _{n=2}^{\infty }\Vert x{\Vert }^n=\frac{\Vert x{\Vert }^2}{1-\Vert x\Vert }.$$引理得证.

$\square$

引理 1.7. 若 $\phi :A\to \mathbb{C}$ 是含幺 Banach 代数间的非平凡同态, 则 $\phi$ 连续. 更具体地, 若 $\Vert x\Vert <1$ 则 $|\phi (x)|<1$.

证明. 这是因为 $\lambda e-x$ 对 $|\lambda |\ge 1$ 都是可逆的, 由于 $\phi$ 非平凡, 这表明 $\phi (\lambda e-x)$ 对 $|\lambda |\ge 1$ 也是可逆的. 由于 $\phi (e)=1$, 因此 $\lambda -\phi (x)$ 对 $|\lambda |\ge 1$ 非零, 即得知 $|\phi (x)|<1$. 这表明 $\phi$ 的算子范数不超过 $1$, 从而连续.

$\square$

引理 1.8. 若 $A$ 是 Banach 代数, $x\in A^{\times }$, 则对 $h\in A$ 若 $\Vert h\Vert <\Vert x^{-1}{\Vert }^{-1}/2$ 则 $x+h\in A^{\times }$, 且$$\Vert (x+h{)}^{-1}-x^{-1}+x^{-1}h{x}^{-1}\Vert \le 2\Vert x^{-1}{\Vert }^3\Vert h{\Vert }^2.$$特别地, $A^{\times }\subset A$ 是开集.

证明. 注意到 $x+h=x(e+x^{-1}h)$ 以及 $\Vert x^{-1}h\Vert <1/2$ 故 $x+h$ 可逆, 然后注意到$$(x+h{)}^{-1}-x^{-1}+x^{-1}h{x}^{-1}=((e+x^{-1}h{)}^{-1}-e+x^{-1}h)x^{-1},$$由前面的引理, 它的模长至多是 $2\Vert x^{-1}{\Vert }^3\Vert h{\Vert }^2$, 命题得证.

$\square$

谱理论初步

定义 1.9. 设 $A$ 为含幺 $e$ 的 Banach 代数, 则对 $x\in A$, 用 $\sigma (x)$ 记使得 $\lambda e-x\in A^{\times }$ 的 $\lambda \in \mathbb{C}$ 构成的集合, 称为 $x$ 的谱集或简称 $x$ 的谱. 而 $x$ 的谱半径 $\rho (x)$ 定义为: $$\rho (x)=\sup \{|\lambda |:\lambda \in \sigma (x)\}.$$

引理 1.10 (多项式演算). 对 $x\in A$, $p\in \mathbb{C}[t]$ 我们有 $\sigma (p(x))=p(\sigma (x))$.

证明. 考虑命题 $\lambda e-p(x)$ 可逆, 它当然等价于 $\lambda \notin \sigma (p(x))$. 代数基本定理允许我们设 $\lambda -p(t)=c\prod ({\lambda }_i-t)$ 其中 $c\ne 0$, 这样上述命题等价于全体 ${\lambda }_{i}e-x$ 可逆, 因为 $\lambda$ 在 $p$ 下的全体原像即 ${\lambda }_i$, 从而命题 $\lambda e-p(x)$ 可逆等价于 $\lambda \notin p(\sigma (x))$, 原命题立刻得证.

$\square$

从上述定义出发, 我们给出谱理论核心的定理:

定理 1.11. 对 Banach 代数 $A$ 以及任意 $x\in A$, 我们有

(a) 谱集 $\sigma (x)$ 紧而且非空. 特别地, $\rho (x)\le \Vert x\Vert$.

(b) 谱半径 $\rho (x)$ 满足如下公式: $$\rho (x)=\underset{n\to +\infty }{\lim }\Vert x^n{\Vert }^{1/n}=\underset{n\ge 1}{\inf }\Vert x^n{\Vert }^{1/n}.$$注意到, 极限存在也是结论的一部分.

证明. (1) 首先证明 $\sigma (x)$ 有界, 注意到对 $|\lambda |>\Vert x\Vert \ge 0$, $e-{\lambda }^{-1}x\in A^{\times }$ 于是 $\lambda e-x\in A^{\times }$, 由此 $\sigma (x)$ 含于半径 $\Vert x\Vert$ 的闭球. 使用 1.8 的结论 $A^{\times }$ 开, 因此 $\sigma (x)$ 的补集开. 于是 $\sigma (x)$ 有界闭从而紧.

接下来证明 $\sigma (x)$ 非空. 让我们考虑对 $A$ 上的任意有界泛函 $f\in A^{\ast }:=\mathcal{L}(A,\mathbb{C})$, 我们考虑函数 $g:\mathbb{C}\backslash \sigma (x)\to \mathbb{C}$ 为 $f((\lambda e-x{)}^{-1})$, 假设 $\sigma (x)$ 为空集, 这个函数就能在 $\mathbb{C}$ 良定. 现在我们来证明 $g$ 是全纯函数, 由前面的引理让我们来计算导函数$$g^{\prime }(\lambda )=\underset{|h|\to 0}{\lim }\frac{g(\lambda +h)-g(\lambda )}{h}=\underset{|h|\to 0}{\lim }f\left(-(\lambda e-x{)}^{-2}+O(|h|)\right)=-f((\lambda e-x{)}^{-2}).$$然后注意到对 $\Vert x\Vert <1$, 总有$$\Vert (e-x{)}^{-1}\Vert \le 1+\Vert x\Vert +\Vert x{\Vert }^2+\cdots =\frac{1}{1-\Vert x\Vert }.$$这表明对 $\Vert x\Vert <|\lambda |$ 我们有$$\Vert (\lambda e-x{)}^{-1}\Vert \le \frac{1}{|\lambda |(1-\Vert x/\lambda \Vert )}=\frac{1}{|\lambda |-\Vert x\Vert }.$$于是 $g(\lambda )$ 是有界全纯函数, 故它是常数, 但随着 $|\lambda |\to +\infty$ 它的极限是 $0$ 故 $g(\lambda )=0$ 成立. 由于 $f$ 的任意性, Hahn–Banach 定理告诉我们 $(\lambda e-x{)}^{-1}=0$ 从而矛盾.

(2) 现在让我们来估计谱半径. 首先指出 $\rho (x)\le \Vert x^n{\Vert }^{1/n}$, 由多项式演算 $\sigma (x^n)=\sigma (x{)}^n$, 取最大模得到 $\rho (x^n)=\rho (x{)}^n$, 于是问题变为 $\rho (x^n)\le \Vert x^n\Vert$, 结论得证.

接下来我们只需证明 $\rho (x)\ge \mathrm{limsup}\Vert x^n{\Vert }^{1/n}$. 为此仍是取 $f\in A^{\ast }$ 并考虑 $g(\lambda ):=f((\lambda e-x{)}^{-1})$. 注意到两个事实, 其一是 $g$ 在 $|\lambda |>\rho (x)$ 解析, 第二是对 $|\lambda |>\Vert x\Vert$ 我们有 $(\lambda e-x{)}^{-1}=\sum x^n/{\lambda }^{n+1}$. 故此时 $g(\lambda )$ 可写出 Laurent 展开为 $g(\lambda )=\sum f(x^n)/{\lambda }^{n+1}$.

对解析函数来说, $g(\lambda )$ 在 $|\lambda |>\rho (x)$ 写出的 Laurent 级数与在 $|\lambda |>\Vert x\Vert$ 写出者相等. 故 Laurent 展开式的收敛半径必须达到 $|\lambda |>\rho (x)$, 这表明对任意 $ϵ>0$ 都有$$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{(\rho (x)+ϵ{)}^{n+1}}|f(x^n)|<+\infty .$$这表明 $|f(x^n/(\rho (x)+ϵ{)}^{n+1})|$ 一致有界, 因此由共鸣定理 $|x^n/(\rho (x)+ϵ{)}^{n+1}|$ 一致有界从而 $\mathrm{limsup}\Vert x^n{\Vert }^{1/n}\le \rho (x)+ϵ$. 由 $ϵ$ 的任意性, 结论得证.

$\square$

至此我们建立了 Banach 代数最基本的理论.