Banach 空间

Banach 空间是带有完备范数的向量空间. 换言之, Banach 空间是一个向量空间, 其中的向量都具有长度, 并且 Cauchy 列都收敛.

有限维向量空间上的范数总是完备的. 因此, 带有范数的有限维向量空间都是 Banach 空间. 但这种情形太简单, 人们更感兴趣的是无限维的 Banach 空间.

一类典型的 Banach 空间是 $L^p$ 空间. 大致地说, $L^p$ 空间是某个测度空间 (例如 ${\mathbb{R}}^n$ 中的可测集) $X$ 上所有函数的空间, 其范数定义为$$\Vert f{\Vert }_p={\left({\int }_X|f(x){|}^{p}dx\right)}^{1/p},$$其中 $p\in [1,\infty )$.

1定义

定义 1.1 (范数). 设 $\mathbb{k}$ 是一个赋范域 (例如 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$), 设 $X$ 是 $\mathbb{k}$-向量空间. 则 $X$ 上的一个范数是指一个映射$$\Vert \cdot \Vert :X\to {\mathbb{R}}_{\ge 0},$$满足以下性质:

•	(数乘) 对任意 $c\in \mathbb{k}$ 和 $x\in X$, 有$$\Vert cx\Vert =|c|\Vert x\Vert .$$
•	(三角不等式) 对任意 $x,y\in X$, 有$$\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert .$$
•	(正性) 如果 $x\in X$ 满足 $\Vert x\Vert =0$, 那么 $x=0$.

定义 1.2 (范数诱导的拓扑). 设 $\mathbb{k}$ 是一个赋范域 (例如 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$), 设 $X$ 是 $\mathbb{k}$-向量空间, 设 $\Vert \cdot \Vert$ 是 $X$ 上的一个范数 (定义 1.1). 则范数 $\Vert \cdot \Vert$ 诱导的 $X$ 上的拓扑是由距离函数$$d(x,y)=\Vert x-y\Vert (x,y\in X)$$诱导的拓扑.

定义 1.3 (完备性). 设 $\mathbb{k}$ 是一个赋范域 (例如 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$), 设 $X$ 是 $\mathbb{k}$-向量空间, 设 $\Vert \cdot \Vert$ 是 $X$ 上的一个范数 (定义 1.1). $X$ 称为关于范数 $\Vert \cdot \Vert$ 完备, 如果

•	对任意 Cauchy 序列 $x_1,x_2,\dots \in X$, 存在 $x\in X$, 使得序列 $\{x_n\}$ 收敛到 $x$.

定义 1.4 (Banach 空间). 设 $\mathbb{k}$ 是一个赋范域 (例如 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$). 一个 $\mathbb{k}$ 上的 Banach 空间是一个二元组 $(X,\Vert \cdot \Vert )$, 其中

•	$X$ 是一个 $\mathbb{k}$-向量空间;
•	$\Vert \cdot \Vert$ 是 $X$ 上的范数 (定义 1.1),

使得

•	$X$ 关于范数 $\Vert \cdot \Vert$ 完备 (定义 1.3).

在无歧义时, 我们也直接称 $X$ 为一个 Banach 空间.

定义 1.5 (连续算子). 设 $X,Y$ 是两个 Banach 空间 (定义 1.4). 它们之间的一个连续算子, 或称有界算子, 是指一个线性映射 $f:X\to Y$, 使得它关于 $X,Y$ 各自的范数诱导的拓扑 (定义 1.2) 是连续映射.

注 1.6 (连续算子等价于有界算子). Banach 空间之间的线性映射 $f:X\to Y$ 是连续算子, 当且仅当存在常数 $C>0$, 使得对任意 $x\in X$, 有$$\Vert f(x){\Vert }_Y\le C\Vert x{\Vert }_X.$$

定义 1.7 (Banach 空间范畴). 设 $\mathbb{k}$ 是一个赋范域. 则 $\mathbb{k}$ 上所有 Banach 空间 (定义 1.4) 和它们之间的连续算子 (定义 1.5) 构成一个范畴, 称为 Banach 空间范畴, 记为 ${\mathsf{Ban}}_{\mathbb{k}}$, 无歧义时也可以记为 $\mathsf{Ban}$.

注 1.8. Banach 空间范畴是拓扑向量空间范畴的满子范畴.

注 1.9 (Banach 空间的同构). 两个 Banach 空间在 Banach 空间范畴中同构, 并不意味着它们具有相同的范数. 事实上, Banach 空间同构当且仅当它们作为拓扑向量空间是同构的.

具体地说, Banach 空间之间的线性映射 $f:X\to Y$ 是同构, 当且仅当存在常数 $C_1,C_2>0$, 使得对任意 $x\in X$, 有$$\Vert f(x){\Vert }_Y\le C_1\Vert x{\Vert }_X,\Vert x{\Vert }_X\le C_2\Vert f(x){\Vert }_Y.$$此时, 也说 $X,Y$ 具有等价范数.

2例子

•	$L^p$ 空间
•	${\ell }^p$ 空间
•	Sobolev 空间

术语翻译

Banach 空间 • 英文 Banach space • 德文 Banachraum, banachscher Raum • 法文 espace de Banach

范数 • 英文 norm • 德文 Norm (f) • 法文 norme (f) • 拉丁文 norma (f) • 古希腊文 γνώμων (m)

赋范 (形容词) • 英文 normed • 德文 normiert • 法文 normé • 拉丁文 normatus • 古希腊文 ἐγνωμονμένος

算子 • 英文 operator • 德文 Operator (m) • 法文 operateur (m) • 拉丁文 operator (m) • 古希腊文 τελεστής (m)