用户: Cybcat/Banach 代数/第九讲

1第九讲

现实生活中, 我们会接触很多无界但是稠定 (稠密定义域) 的算子, 例如微分算子等. 但是对于它们来说, 我们仍有一套合理的理论研究. 本小节的算子 $\mathbf{T}:\mathbf{X}\to \mathbf{Y}$, 定义域可能只是 $\mathbf{X}$ 的一个子集, 记作 $\mathbf{D}(\mathbf{T})$. 这虽然是糟糕的记号, 但是它至少说明了 $T$ 定义域和值域可能取的范围.

本节的内容初学时比较抽象, 因为不知道这些算子会在什么理论中得到应用, 这也是正常的, 因为理论的建立往往和实际研究从相反的方向进行, 实际上等到后面介绍一系列与偏微分方程有关的结论后, 回头再看就会觉得对这些算子提的要求是比较自然的.

图模和闭算子

既然定义域也不确定, 那我们须要先对算子的运算给出定义域的说明:

算子可以数乘, 加与复合, 自然地就是限制在定义域上做事, 自然地, 应该有$$D(S+T)=D(S)\cap D(T),D(ST)=\{x\in D(T):Tx\in D(S)\}.$$

然后就是利用算子的图给出一些定义:

定义 1.1. 设 $X,Y$ 是 Banach 空间, 则它们的乘积空间 $X\times Y$ 也是 Banach 空间, 带有范数 $\Vert (x,y)\Vert :=\Vert x{\Vert }_X+\Vert y{\Vert }_Y$. 若 $T:X\to Y$ 定义域只有 $D(T)$, 则 $\Gamma (T):=\{(x,Tx)\in X\times Y\}$ 称 $T$ 的图, $D(T)$ 上带有 $\Gamma (T)\subset X\times Y$ 诱导的范数, 又称为图模. 若图在 $X\times Y$ 闭 (等价于 $D(T)$ 在图模下完备), 则称 $T$ 为一个闭算子.

闭算子的传统 (也是等价的) 定义是若 $X,Y$ 中分别有收敛序列 $x_n\to x,y_n:=T(x_n)\to y$, 则推出 $Tx=y$.

另外标准的闭图像定理我们也放在这里:

定理 1.2. Banach 空间的线性映射 $T:X\to Y$ 是有界的当且仅当 $D(T)=X$ 而且 $T$ 闭.

定义 1.3. 对两个算子 $T_1,T_2:X\to Y$, 若 $\Gamma (T_1)\subset \Gamma (T_2)$ 则记 $T_1\subset T_2$, 并称 $T_2$ 为 $T_1$ 的扩张 (或延拓). 这个包含记号构成了算子间的偏序关系.

这定义等价于说定义域具有包含关系, 且在小的定义域内函数具有一样的值.

定义 1.4. 若对 $T:X\to Y$, 存在 $S:X\to Y$ 使 $\overline{\Gamma (T)}=\Gamma (S)$ 则称 $T$ 为可闭化的. 此时记 $\overline{T}:=S$, 实际上 $\overline{T}$ 是满足 $S$ 闭算子且 $T\subset S$ 这一关系中最小的元素.

注意到不是每个算子都可闭化, 我们对可闭化有这样的判据:

引理 1.5. $T$ 可闭化当且仅当 $\overline{\Gamma (T)}\cap (0\times Y)=0$.

伴随算子

定义 1.6. 设 $T:X\to Y$ 是稠定算子 (也就是说, 定义域是 $X$ 中稠密集. 通常来说, 我们总能通过考虑 $\overline{D(T)}$ 代替 $X$ 来做这假设), 那么我们能定义 $T$ 的伴随算子 $T^{\ast }:Y^{\ast }\to X^{\ast }$ 如下:

首先 $D(T^{\ast })$ 为这样的 $y\in Y^{\ast }$ 构成的集合: 存在 $x^{\ast }\in X^{\ast }$ 使任意 $x\in D(T)$ 都有 $y^{\ast }(Tx)=x^{\ast }(x)$.

因为 $D(T)$ 稠密, 不难检查上面的 $x^{\ast }$ 存在就会唯一, 自然地定义了线性算子 $T^{\ast }:y^{\ast }\mapsto x^{\ast }$.

当然, 这个定义不会与有界算子的伴随概念产生冲突.

我们稍稍从图上观察 $T^{\ast },T$ 的关系, $X\times Y$ 的对偶可以被看作 $X^{\ast }\times Y^{\ast }$, 通过特定配对 $(x^{\ast },y^{\ast })(x,y):=x^{\ast }(x)-y^{\ast }(y)$ 来决定 (一般来说用加法, 但是不难检查这里也是合理的). 这样来看, $(x^{\ast },y^{\ast })\in \Gamma (T^{\ast })$ 当且仅当 $(x^{\ast },y^{\ast })(Tx,x)=0$ 对一切 $x\in D(T)$. 换而言之 $\Gamma (T^{\ast })=\Gamma (T{)}^{\perp }$, 由此可知稠定 $\mathbf{T}$ 的共轭 ${\mathbf{T}}^{\ast }$ 总是闭的. 而且 ${\mathbf{T}}_1\subset {\mathbf{T}}_2$ 推出 ${\mathbf{T}}_2^{\ast }\subset {\mathbf{T}}_1^{\ast }$.

命题 1.7. 若 $T:X\to Y,S:Y\to Z$ 以及 $ST:X\to Z$ 是稠定算子, 那么 $T^{\ast }{S}^{\ast }\subset (ST{)}^{\ast }$, 特别地若 $S$ 连续则 $T^{\ast }{S}^{\ast }=(ST{)}^{\ast }$ 取等.

证明. 假设 $x\in D(ST),z^{\ast }\in D(T^{\ast }{S}^{\ast })$. 那么我们实则有 $x\in D(T),S^{\ast }{z}^{\ast }\in D(T^{\ast }),Tx\in D(S),z^{\ast }\in D(S^{\ast })$, 故$$z^{\ast }(STx)=(S^{\ast }{z}^{\ast })(Tx)=(T^{\ast }{S}^{\ast }{z}^{\ast })(x).$$特别地若 $S$ 连续, 则 $S^{\ast }$ 连续, 因此 $D(S)=Y,D(S^{\ast })=Z$, 所以对任意 $x\in D(ST)=D(T)$, $z^{\ast }\in D((ST{)}^{\ast })$, 我们有$$(S^{\ast }{z}^{\ast })(Tx)=z^{\ast }(STx)=((ST{)}^{\ast }{z}^{\ast })(x).$$故 $S^{\ast }{z}^{\ast }\in D(T^{\ast })$ 总成立, 也就是说 $z^{\ast }\in D((ST{)}^{\ast })$ 推出 $z^{\ast }\in D(T^{\ast }{S}^{\ast })$ 成立.

$\square$

命题 1.8. 设 Banach 空间 $X,Y$. 若 $Y$ 自反, $T:X\to Y$ 稠定. 证明 $T$ 可闭化的充要条件是 $T^{\ast }$ 稠定, 再令 $J_X:X\to X^{\ast \ast },J_Y:Y\to Y^{\ast \ast }$ 为自然投影. 证明 $T$ 可闭化时 $\overline{T}=J_Y^{-1}{T}^{\ast \ast }{J}_X$.

证明. $Y$ 自反即 $J_Y$ 同构. $X\times Y$ 的对偶可以被看作 $X^{\ast }\times Y^{\ast }$, 通过 $(x^{\ast },y^{\ast })(x,y):=x^{\ast }(x)-y^{\ast }(y)$ 给出; $X^{\ast }\times Y^{\ast }$ 的对偶可以被看作 $X^{\ast \ast }\times Y^{\ast \ast }$, 通过 $(x^{\ast \ast },y^{\ast \ast })(x^{\ast },y^{\ast }):=x^{\ast \ast }(x^{\ast })-y^{\ast \ast }(y^{\ast })$ 给出. 依我们的定义 $(x^{\ast },y^{\ast })(x,y)=(J_X(x),J_Y(y))(x^{\ast },y^{\ast })$. 注意到传统的泛函技术 (完备性, Hahn-Banach 定理以及 $J_X,J_Y$ 是等距等) 能得出$$\Gamma (T^{\ast }{)}^{\perp }=\Gamma (T{)}^{\perp \perp }=\overline{(J_X,J_Y)\Gamma (T)}=(J_X,J_Y)\overline{\Gamma (T)}.$$

"$\Rightarrow$": 假设 $T^{\ast }$ 稠定, 则 $T^{\ast \ast }$ 良定义, 这样 $\Gamma (T^{\ast \ast })=\Gamma (T^{\ast }{)}^{\perp }=(J_X,J_Y)\overline{\Gamma (T)}$. 由图的定义以及 $J_Y$ 是同构, $J_X$ 是嵌入可得: $F=J_Y^{-1}{T}^{\ast \ast }{J}_X$ 的图在 $(J_X,J_Y)$ 下正是 $\Gamma (T^{\ast \ast })$, 于是 $(J_X,J_Y)\Gamma (F)=(J_X,J_Y)\overline{\Gamma (T)}$ 推出 $\Gamma (F)=\overline{\Gamma (T)}$, 故 $T$ 可闭化.

"$\Leftarrow$": 反设 $T$ 是可闭化的且 $D(T^{\ast })$ 不稠, 不稠说明存在 $0\ne y^{\ast \ast }\in Y^{\ast \ast }$ 使 $y^{\ast \ast }(D(T^{\ast }))=0$, 由于 $J_Y$ 是同构设 $y=J_Y^{-1}(y^{\ast \ast })$, 于是得到 $(0,J_Y(y))\in \Gamma (T^{\ast }{)}^{\perp }$. 另一方面可闭化就有 $\overline{\Gamma (T)}\cap (0\times Y)=0$, 但是由 $\Gamma (T^{\ast }{)}^{\perp }=\Gamma (T{)}^{\perp \perp }=(J_X,J_Y)\overline{\Gamma (T)}$, 于是 $(J_X,J_Y)(0,y)\in \Gamma (T^{\ast }{)}^{\perp }$, 结合 $J_X,J_Y$ 是嵌入推出 $(0,y)\in \overline{\Gamma (T)}$ 这样将得到一个矛盾.

$\square$

然而研究一般空间很难再带来什么更多的好处了, 从现在开始直到本讲最末, 我们都假设 $\mathbf{X}=\mathbf{Y}=\mathbf{H}$ 是 Hilbert 空间, 它自反 ($H^{\ast \ast }=H$) 的事实马上就会派上用场.

定义 1.9. $H$ 上的算子 $T$ 若满足任意 $x,y\in D(T)$ 都有$$(Tx,y)=(x,Ty)$$则称 $T$ 是对称算子, 稠定算子 $T$ 对称当且仅当 $T\subset T^{\ast }$.

若稠定算子 $T=T^{\ast }$, 则称 $T$ 为自伴算子, 即是对称的基础上再满足 $D(T)=D(T^{\ast })$.

若 $T$ 可闭化且 $\overline{T}$ 自伴, 则称 $T$ 是本质自伴算子.

实际上一般地 $T$ 稠定而且 $(Tx,y)=(x,Sy)$ 对一切定义域内的 $x\in D(T),y\in D(S)$ 那么 $S\subset T^{\ast }$.

命题 1.10. 设 $T$ 是稠定对称算子. 那么:

(1) $T$ 是闭的等价于 $T=T^{\ast \ast }\subset T^{\ast }$.

(2) $T$ 是本质自伴的等价于 $T\subset T^{\ast \ast }=T^{\ast }$.

(3) $T$ 是自伴的等价于 $T=T^{\ast \ast }=T^{\ast }$.

证明. 注意到 $T$ 对称, 所以 $T\subset T^{\ast }$. 另外注意到算子的伴随总是闭算子. 另外题述三种语境下, 左右两侧都等价于 $T$ 总是可闭化的: 因为 $T^{\ast \ast }$ 可定义需要 $T^{\ast }$ 稠定, 所以 $T$ 可闭化; 反过来闭, 本质自伴和自伴都容易推出可闭化. 所以无论如何, $\overline{T}=T^{\ast \ast }$.

(1) $T$ 是闭的当且仅当 $T=\overline{T}$, 由于 $\overline{T}=T^{\ast \ast }$ 总成立即得.

(3) $T$ 是自伴的当且仅当 $T=T^{\ast }$, 取伴随就得到 $T^{\ast }=T^{\ast \ast }$.

(2) 因为取不取闭包再正交补所得相同, 所以 $T^{\ast }=(\overline{T}{)}^{\ast }$ 总成立. 那么 $T$ 是本质自伴的当且仅当 $\overline{T}$ 自伴, 当且仅当 $(\overline{T}{)}^{\ast }=\overline{T}$, 注意到 $\overline{T}=T^{\ast \ast }$ 总成立, 所以本质自伴当且仅当 $T^{\ast }=T^{\ast \ast }$.

$\square$

例子

定理 1.11. 设 $A$ 是含幺 Banach 代数, 单位元 $e$, 则对 $x,y\in A$ 有 $xy-yx\ne e$.

让我们给出 Wielandt 的证明, 这个证明甚至没有用到 $A$ 是完备的.

证明. 反证存在 $x,y$ 使 $xy-yx=e$, 我们归纳地证明对正整数 $n$ 有 $x^{n}y-y{x}^n=n{x}^{n-1}\ne 0$. $n=1$ 时已经是对的. 假设 $n$ 时是对的, $$x^{n+1}y-y{x}^{n+1}=x^n(xy-yx)+(x^{n}y-y{x}^n)x=(n+1)x^n.$$另外归纳的等式容易从 $x^n\ne 0$ 推出 $x^{n+1}\ne 0$. 这样一来$$n\Vert x^{n-1}\Vert =\Vert x^{n}y-y{x}^n\Vert \le 2\Vert x^{n-1}\Vert \cdot \Vert x\Vert \cdot \Vert y\Vert .$$由非零性, 我们得到 $n\le 2\Vert x\Vert \cdot \Vert y\Vert$ 对一切正整数 $n$, 这自然是不可能发生的.

$\square$