闭图像定理

在泛函分析中, 闭图像定理是对 Banach 空间的完备性的一种刻画, 是 Baire 纲定理的直接推论之一. 该定理表明, Banach 空间之间的闭算子都是连续的.

1陈述

定理 1.1. 设 $X,Y$ 是 Banach 空间, $T:X\to Y$ 是线性算子, 它的图像定义为 $X\times Y$ 的子空间$$G(T):=\{(x,y)\in X\times Y\mid y=Tx\},$$其中 $X\times Y$ 上的范数取$$\Vert (x,y){\Vert }_{X\times Y}:=\Vert x{\Vert }_X+\Vert y{\Vert }_Y.$$那么 $T$ 连续当且仅当 $T$ 是闭算子, 亦即 $G(T)$ 是闭的.

证明. 由定义连续算子必然是闭的. 反之, 我们假设 $T$ 是一个闭算子. 由于 $X\times Y$ 是 Banach 空间, 它的闭子空间 $G(T)$ 也是 Banach 空间, 从而我们可以考虑映射 $(x,y)\mapsto x$. 显然它是一个由 $G(T)$ 到 $X$ 的连续双射, 由 Banach 逆算子定理可以知道它的逆也连续. 这意味着对 $\forall x\in X$ $$\Vert Tx{\Vert }_Y\le \Vert (x,Tx){\Vert }_{X\times Y}\le C\Vert x{\Vert }_X.$$

$\square$

注 1.2. 此时的闭性也可以表述为对于任意的序列 $x_n\to x$, $T{x}_n\to y$, 我们都有 $y=Tx$. 这在闭性的验证中非常常见.

注 1.3. 此处 $Y$ 完备性是无关紧要的, 因为我们总可以对它做完备化, 但是 $X$ 的完备性是至关重要的. 考虑求导算子 $\frac{\text{d}}{\text{d}x}:(H^1(\mathbb{R}),\Vert \cdot {\Vert }_{L^2})\to L^2(\mathbb{R})$, 它作为一个原空间不完备的闭算子是不连续的.

2应用

作为该定理的一个直接推论, Hellinger–Toeplitz 定理指出 Hilbert 空间中处处有定义的对称线性算子是有界的:

定理 2.1 (Hellinger–Toeplitz). 设 $T$ 是 Hilbert 空间 $X$ 到自身的对称线性算子. 这里的对称性是指它满足如下关系: $$\forall x,y\in X,⟨Tx,y⟩=⟨x,Ty⟩.$$那么 $T$ 有界.

证明. 由闭图像定理, 只需要验证 $T$ 的闭性. 考虑序列 $x_n\to x$, $T{x}_n\to y$, 对于任意的 $w\in X$ 我们有$$⟨w,y⟩=\underset{n\to \infty }{\lim }⟨w,T{x}_n⟩=\underset{n\to \infty }{\lim }⟨Tw,x_n⟩=⟨Tw,x⟩=⟨w,Tx⟩.$$从而有 $y=Tx$.

$\square$

该定理告诉我们我们无法在 Hilbert 空间中讨论处处有定义的无界算子. 但 Hilbert 空间与无界算子在物理中是极其重要的对象: 在量子力学中, 波函数定义为 Hilbert 空间中的元素, 而动量算子、Hamilton 量算子等物理对象都是无界的. 因此如果希望在 Hilbert 空间中讨论无界算子, 我们必须缩小它们的定义域. 而在定义域发生改变后, 对称条件就不再蕴含自伴, 加大了我们讨论算子谱时的难度.

3相关概念

术语翻译

闭图像定理 • 英文 closed graph theorem • 德文 Satz vom abgeschlossenen Graphen • 法文 théorème du graphe fermé