用户: Estwald/零调模型定理

零调模型定理是 Samuel Eilenberg 和 Saunders MacLane 在上世纪五十年代提出的一个定理, 它包含两个陈述, 可以用来建立奇异同调等理论, 在代数拓扑, 尤其是同调理论里有重要应用.

本文陈述的定理和他们原始论文中的陈述不完全相同, 但本质等价.

约定. 在本文中,

• 我们暂时只讨论 $\mathbb{Z}$-模 (即交换群) 构成的链复形, 尽管其中大部分 (或者所有) 结论都可以推广到一个一般的 PID 上.
• 因为我不懂集合论, 所以我们固定 Grothendieck 宇宙, 之后所有的操作都是集合层面的.

本文的记号与翻译不是通用的.

设 $\mathcal{C}$ 是一个范畴, $F:\mathcal{C}\to \mathsf{A}\mathsf{b}$ 是一个函子. 选取集合 $\mathcal{M}\subset \mathrm{Ob}(\mathcal{C})$. 对每个 $M\in \mathcal{M}$, 选取子集 $U_M\subset F(M)$, 并记 $U=\{U_M:M\in \mathcal{M}\}$.

定义函子 ${\tilde{F}}^U:\mathcal{C}\to \mathsf{A}\mathsf{b}$, 在对象层面, ${\tilde{F}}^U(X)$ 定义为由集合 $\{(\varphi ,u):[\varphi :M\to X]\in \mathcal{C},u\in U_M,M\in \mathcal{M}\}$ 生成的自由 Abel 群. 在态射层面, 有

$$\left[X\underset{\mathcal{C}}{\overset{f}{\to }}Y\right]\mapsto \left[{\tilde{F}}^U(X)\underset{\mathsf{A}\mathsf{b}}{\overset{{\tilde{F}}^U(f)}{\to }}Y,(\varphi ,u)\mapsto (f\circ \varphi ,u)\right]$$

在函子 ${\tilde{F}}^U$ 和 $F$ 间, 我们有自然变换 $\pi$:$${\tilde{F}}^U(X)\stackrel{\pi (X)}{\to }F(X),(\varphi ,u)\mapsto F(\varphi )u$$

定义 0.1. 称函子 $F$ 是弱 $U$-可表的, 如果存在自然变换 $F\stackrel{\tau }{\Rightarrow }{\tilde{F}}^U$ 使得 $\pi \circ \tau ={\mathrm{id}}_F$. 若 $\pi$ 还是自然等价, 则称 $F$ 为 $U$-可表的.

注 0.2. 我们将对 $\pi$ 弱 $U$-可表的情形证明零调模型定理, 但是在代数拓扑的大部分应用场合, $\pi$ 都是 $U$-可表的. 另外, 在有些应用场合, 我们没有足够好的正合性, 但仔细检查证明仍然行得通.

定理 0.3 (对应链映射). 设我们有 $\mathcal{C}$ 到 $\mathsf{A}\mathsf{b}$ 的函子 $K_k,K_{k-1},K_{k-2},K_k^{\prime },K_{k-1}^{\prime },K_{k-2}^{\prime }$ 以及自然变换 ${\partial }_k,{\partial }_{k-1},{\partial }_k^{\prime },{\partial }_{k-1}^{\prime },f_{k-1},f_{k-2}$ 满足交换图表且 ${\partial }_{k-1}\circ {\partial }_k=0,{\partial }_{k-1}^{\prime }\circ {\partial }_k^{\prime }=0$.

进一步假定 $K_k$ 是弱 $U$-可表的, 并且对每个 $M\in \mathcal{M}$, 序列$$K_k^{\prime }(M)\stackrel{{\partial }_k^{\prime }(M)}{\to }{K}_{k-1}^{\prime }(M)\stackrel{{\partial }_{k-1}^{\prime }(M)}{\to }{K}_{k-2}^{\prime }(M)$$正合, 那么存在自然变换 $f_k$ 使得我们有交换图

证明. 我们将证明分为几步.

•	首先注意到, 若能找到自然变换 $\widetilde{f_k}$ 使得如下图表交换由于 $K_k$ 是弱 $U$-可表的, $\pi$ 有右逆 $\tau$, 令 $f_k=\widetilde{f_k}\circ \tau$ 即可. 因此只要寻找这样的 $\widetilde{f_k}$.
•	对 $M\in \mathcal{M},{\mathrm{id}}_M:M\stackrel{\mathcal{C}}{\to }M,u\in U_M\subset K_k(M)$, 我们希望定义 ${\xi }_u=\widetilde{f_k}(M)({\mathrm{id}}_M,u)\in K_k^{\prime }(M)$. 为了使下图左侧五边形交换, ${\xi }_u$ 应当满足 ${\partial }_k^{\prime }(M){\xi }_u=f_{k-1}(M){\partial }_k(M)\pi (M)({\mathrm{id}}_M,u)$. 利用序列$$K_k^{\prime }(M)\stackrel{{\partial }_k^{\prime }(M)}{\to }{K}_{k-1}^{\prime }(M)\stackrel{{\partial }_{k-1}^{\prime }(M)}{\to }{K}_{k-2}^{\prime }(M)$$的正合性, 只要证明 ${\partial }_{k-1}^{\prime }(M)f_{k-1}(M){\partial }_k(M)\pi (M)({\mathrm{id}}_M,u)=0$. 利用右边方块的交换性, $${\partial }_{k-1}^{\prime }(M)f_{k-1}(M){\partial }_k(M)\pi (M)({\mathrm{id}}_M,u)=f_{k-2}(M){\partial }_{k-1}(M){\partial }_k(M)\pi (M)({\mathrm{id}}_M,u)=0$$故我们可找到这样的 ${\xi }_u$.
•	因为我们要找的 $\widetilde{f_k}$ 是自然变换, 对任意 $X\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C}),\varphi :M\stackrel{\mathcal{C}}{\to }X,u\in U_M,M\in \mathcal{M}$, 至少有交换图因此对 ${\widetilde{K_k}}^U(X)$ 的自由生成元 $(\varphi ,u)$, 必须有$$\widetilde{f_k}(X)(\varphi ,u)=\widetilde{f_k}(X){\widetilde{K_k}}^U(\varphi )({\mathrm{id}}_M,u)=K_k^{\prime }(\varphi )\widetilde{f_k}(M)({\mathrm{id}}_M,u)=K_k^{\prime }(\varphi ){\xi }_u$$由自由 Abel 群的泛性质, 至此我们已经完全确定 $\widetilde{f_k}(X)$.
•	我们说明, 按前一款定义的 $\widetilde{f_k}$ 确实是一个自然变换. 任意考虑 $\left[X\underset{\mathcal{C}}{\overset{f}{\to }}Y\right]\in \mathcal{C}$, 需要验证如下图表交换只需在自由生成元 $(\varphi ,u)$ 处验证, 其中 $\varphi :M\to X,u\in U_M,M\in \mathcal{M}$. 考虑如下图表 由 ${\widetilde{K_k}}^U$ 和 $K_k^{\prime }$ 的函子性, 上面的三角和下面的三角分别交换. 另外根据上一款的构造, 在 ${\widetilde{K_k}}^U(M)$ 中带入 $({\mathrm{id}}_M,u)$ 时, 左侧方块与整个大圆均交换, 由此得到右侧方块在 ${\widetilde{K_k}}^U(X)$ 中代入 $(\varphi ,u)$ 时的交换性.
•	最终我们确证 $\widetilde{f_k}$ 即为所求, 即验证如下图表交换

同样只用在自由生成元 $(\varphi ,u)$ 处验证, 其中 $\varphi :M\to X,u\in U_M,M\in \mathcal{M}$. 我们考察一个五棱柱由自然变换的性质可知所有的侧面均交换. 另外, 由第二款中的构造知当背面在 ${\widetilde{K_k}}^U(M)$ 中带入 $({\mathrm{id}}_M,u)$ 时五边形图表交换, 因此在正面的 ${\widetilde{K_k}}^U(X)$ 中代入 $(\varphi ,u)$ 时正面的五边形图表交换, 结论得证.

$\square$

定理 0.4 (对应链同伦). 设我们有 $\mathcal{C}$ 到 $\mathsf{A}\mathsf{b}$ 的函子 $K_k,K_{k-1},K_{k-2},K_{k+1}^{\prime },K_k^{\prime },K_{k-1}^{\prime }$ 以及自然变换 ${\partial }_k,{\partial }_{k-1},{\partial }_{k+1}^{\prime },{\partial }_k^{\prime },f_k,f_{k-1}$ 满足交换图表且 ${\partial }_{k-1}\circ {\partial }_k=0,{\partial }_{k-1}^{\prime }\circ {\partial }_k^{\prime }=0$.

同时设存在自然变换 $h_{k-1}:K_{k-1}\to K_k^{\prime },h_{k-2}:K_{k-2}\to K_{k-1}^{\prime }$ 使得 $f_{k-1}={\partial }_k^{\prime }\circ h_{k-1}+h_{k-2}\circ {\partial }_{k-1}$.

进一步假定 $K_k$ 是弱 $U$-可表的, 并且对每个 $M\in \mathcal{M}$, 序列$$K_{k+1}^{\prime }(M)\stackrel{{\partial }_{k+1}^{\prime }(M)}{\to }{K}_k^{\prime }(M)\stackrel{{\partial }_k^{\prime }(M)}{\to }{K}_{k-1}^{\prime }(M)$$正合, 那么存在自然变换 $h_k:K_k\to K_{k+1}^{\prime }$ 使得 $f_k={\partial }_{k+1}^{\prime }\circ h_k+h_{k-1}\circ {\partial }_k$.

证明. 我们将证明分为几步.

•	首先注意到, 若能找到自然变换 $\widetilde{h_k}:{\widetilde{K_k}}^U\to K_{k+1}^{\prime }$ 使得 $f_k\circ \pi ={\partial }_{k+1}^{\prime }\circ \widetilde{h_k}+h_{k-1}\circ {\partial }_k\circ \pi$, 由于 $K_k$ 是弱 $U$-可表的, $\pi$ 有右逆 $\tau$, 令 $h_k=\widetilde{h_k}\circ \tau$ 即可. 因此只要寻找这样的 $\widetilde{h_k}$.
•	对 $M\in \mathcal{M},{\mathrm{id}}_M:M\stackrel{\mathcal{C}}{\to }M,u\in U_M\subset K_k(M)$, 我们希望定义 ${\xi }_u=\widetilde{h_k}({\mathrm{id}}_M,u)\in K_{k+1}^{\prime }(M)$. 这样的 ${\xi }_u$ 应满足 ${\partial }_{k+1}^{\prime }(M){\xi }_u=f_k(M)\pi (M)({\mathrm{id}}_M,u)-h_{k-1}(M){\partial }_k(M)\pi (M)({\mathrm{id}}_M,u)$. 利用序列$$K_{k+1}^{\prime }(M)\stackrel{{\partial }_{k+1}^{\prime }(M)}{\to }{K}_k^{\prime }(M)\stackrel{{\partial }_k^{\prime }(M)}{\to }{K}_{k-1}^{\prime }(M)$$的正合性, 只要证明 ${\partial }_k^{\prime }(M)\left(f_k(M)\pi (M)({\mathrm{id}}_M,u)-h_{k-1}(M){\partial }_k(M)\pi (M)({\mathrm{id}}_M,u)\right)=0$. 事实上, $${\partial }_k^{\prime }(M)\left(f_k(M)\pi (M)({\mathrm{id}}_M,u)-h_{k-1}(M){\partial }_k(M)\pi (M)({\mathrm{id}}_M,u)\right)=\left(f_{k-1}(M)-{\partial }_k^{\prime }(M)h_{k-1}(M)\right){\partial }_k(M)\pi (M)({\mathrm{id}}_M,u)=h_{k-2}(M){\partial }_{k-1}(M){\partial }_k(M)\pi (M)({\mathrm{id}}_M,u)=0$$故我们能找到这样的 ${\xi }_u$.
•	因为我们要找的 $\widetilde{h_k}$ 是自然变换, 对任意 $X\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C}),\varphi :M\stackrel{\mathcal{C}}{\to }X,u\in U_M,M\in \mathcal{M}$, 至少有交换图因此对 ${\widetilde{K_k}}^U(X)$ 的自由生成元 $(\varphi ,u)$, 必须有$$\widetilde{h_k}(X)(\varphi ,u)=\widetilde{h_k}(X){\widetilde{K_k}}^U(\varphi )({\mathrm{id}}_M,u)=K_{k+1}^{\prime }(\varphi )\widetilde{h_k}(M)({\mathrm{id}}_M,u)=K_{k+1}^{\prime }(\varphi ){\xi }_u$$由自由 Abel 群的泛性质, 至此我们已经完全确定 $\widetilde{h_k}(X)$.
•	我们说明, 按前一款定义的 $\widetilde{h_k}$ 确实是一个自然变换. 任意考虑 $\left[X\underset{\mathcal{C}}{\overset{f}{\to }}Y\right]\in \mathcal{C}$, 需要验证如下图表交换只需在自由生成元 $(\varphi ,u)$ 处验证, 其中 $\varphi :M\to X,u\in U_M,M\in \mathcal{M}$. 考虑如下图表 由 ${\widetilde{K_k}}^U$ 和 $K_{k+1}^{\prime }$ 的函子性, 上面的三角和下面的三角分别交换. 另外根据上一款的构造, 在 ${\widetilde{K_k}}^U(M)$ 中带入 $({\mathrm{id}}_M,u)$ 时, 左侧方块与整个大圆均交换, 由此得到右侧方块在 ${\widetilde{K_k}}^U(X)$ 中代入 $(\varphi ,u)$ 时的交换性.
•	最终我们确证 $\widetilde{h_k}$ 即为所求, 即验证$$f_k(X)\pi (X)={\partial }_{k+1}^{\prime }(X)\widetilde{h_k}(X)+h_{k-1}(X){\partial }_k(X)\pi (X)$$同样只用在自由生成元 $(\varphi ,u)$ 处验证, 其中 $\varphi :M\to X,u\in U_M,M\in \mathcal{M}$. 我们考察一个五棱柱由自然变换的性质可知所有垂直于屏幕的方块均交换. 因此, 结合第二款的构造, 我们可以计算得$$f_k(X)\pi (X)(\varphi ,u)=f_k(X)\pi (X){\widetilde{K_k}}^U({\mathrm{id}}_M,u)=f_k(X)K_k(\varphi )\pi (M)({\mathrm{id}}_M,u)=K_k^{\prime }(\varphi )f_k(M)\pi (M)({\mathrm{id}}_M,u)=K_k^{\prime }(\varphi )\left({\partial }_{k+1}^{\prime }(M)\widetilde{h_k}(M)+h_{k-1}(M){\partial }_k(M)\pi (M)\right)({\mathrm{id}}_M,u)=\left({\partial }_{k+1}^{\prime }(X)K_{k+1}^{\prime }(\varphi )\widetilde{h_k}(M)+h_{k-1}(X)K_{k-1}(\varphi ){\partial }_k(M)\pi (M)\right)({\mathrm{id}}_M,u)=\left({\partial }_{k+1}^{\prime }(X)\widetilde{h_k}(X)+h_{k-1}(X){\partial }_k(X)\pi (X)\right){\widetilde{K_k}}^U(\varphi )({\mathrm{id}}_M,u)=\left({\partial }_{k+1}^{\prime }(X)\widetilde{h_k}(X)+h_{k-1}(X){\partial }_k(X)\pi (X)\right)(\varphi ,u)$$结论得证.

$\square$

例 0.5 (平凡的例子, 对照 Spanier 书定理 4.2.5). 设 $C.$ 是一个自由 Abel 群组成的零调链复形且次数充分小的部分都是 $0$, 则其可缩.

证明. 考虑 $\mathcal{C}$ 为单点范畴 $\{\{\ast \},\{{\mathrm{id}}_{\ast }\}\}$, 函子 $C_k:\mathcal{C}\to \mathsf{A}\mathsf{b},\ast \mapsto C_k$ (这里稍稍滥用了记号). 考虑 ${\mathcal{M}}_k=\{\ast \}$, $U_k$ 为 $C_k$ 的一组自由生成元构成的集合, 则明显地, $C_k$ 是 $U_k$-可表的.“零调” 即意味着相应的正合性. 在次数充分小的时候, 我们把链同伦取成平凡的零映射, 则由定理 0.4 知这些链同伦可以接续到次数更高的项上.

$\square$

注 0.6. 这里的结论比 Spanier 书上弱了一些, 毕竟那里是 “硬构造” 的, 这里用的是抽象废话. 不过在代数拓扑的大部分应用场合, 这个已经够用, 例如奇异同调和单纯同调都是非负的.

例 0.7 (奇异同调). 对于拓扑空间 $X$, 构造其第 $k$ 阶奇异同调群 $S_k(X)$ 给出了函子 $S_k:\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}\to \mathsf{A}\mathsf{b}$. 考虑 ${\mathcal{M}}_k=\{{\Delta }_k\}$, $U_k=\{{\mathrm{id}}_{{\Delta }_k}\}$, 则 $S_k$ 是 $U_k$-可表的.

证明. 循规蹈矩. 对 $X\in \mathrm{Ob}(\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p})$, $S_k(X)$ 是由连续映射 $\varphi :{\Delta }_k\to X$ 生成的自由 Abel 群,“自然” 同构于 $\{(\varphi ,{\mathrm{id}}_{{\Delta }_k}):\varphi :{\Delta }_k\to X\}$ 生成的自由 Abel 群.

$\square$

例 0.8. 对 $X\in \mathrm{Ob}(\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}),$ 定义 $i_{\alpha }(X):X\to X\times I,x\mapsto (x,\alpha ),\alpha \in \{0,1\}$. 这诱导了相应链复形 $S.(X)$ 与 $S.(X\times I)$ 之间的链映射 $i_{\alpha }(X{)}_{\#}$. 事实上, ${i_{\alpha }}_{\#}$ 是函子 $S.$ 与 $S.(\cdot \times I)$ 之间的自然变换. 我们断言, 对每个 $k$, 存在 $S_k$ 到 $S_{k+1}(\cdot \times I)$ 的自然变换 $h_k$ 使得$$i_{1\#}-i_{0\#}={\partial }_{k+1}^{\prime }\circ h_k+h_{k-1}\circ {\partial }_k.$$

推论 0.9. 映射的同伦诱导相应链映射的链同伦.