Grothendieck 宇宙

在集合论中, Grothendieck 宇宙是一类集合, 该集合包含的集合全体满足 ZFC 集合论的所有公理, 从而常规数学中的任何操作都可限制在该宇宙中进行. 这一工具可以用来规避 Russell 悖论及范畴论等中常出现的类似集合论问题. 常将 Grothendieck 宇宙视为一个小型的 ZFC 集合论, 此时该集合论中的真类可表示为可能在该宇宙之外的集合. 例如, 宇宙本身, 即宇宙中所有集合的集合, 即是该宇宙之外的集合.

在通常的 ZFC 集合论中, 不能直接证明存在 Grothendieck 宇宙. 事实上, Grothendieck 宇宙的存在性等价于不可达基数的存在性, 因此可将其视为施加于 ZFC 集合论之上的另一条公理.

1定义

定义 1.1. 如果某个集合 $U$ 满足以下要求, 就称其为 Grothendieck 宇宙.

•	传递性: 如果集合 $x\in U$, 那么 $x$ 的元素也属于 $U$.

•	二元集: 如果 $x,y\in U$, 那么 $\{x,y\}\in U$.

•	幂集: 如果 $x\in U$, 那么 $\mathcal{P}(x)\in U$.

•	并集: 如果 $I\in U$, 并且有以 $I$ 为指标集的集合族 $\{x_i\in U\}$, 那么 ${\bigcup }_{i\in I}{x}_i\in U$.

也称 $U$ 的元素为 $U$-小集合, 无歧义时简称小集合.

比较小的平凡情况包括 $U=\varnothing ,\mathbb{N}$. 有时也在定义中要求 $\mathbb{N}\in U$, 以排除这些情况.

2性质

集合论

定理 2.1. 如果 Grothendieck 宇宙 $U$ 满足 $\mathbb{N}\in U$, 那么 $(U,\in )$ 构成 ZFC 集合论的模型.

根据 Gödel 不完备性定理, ZFC 集合论本身无法证明存在这样的集合, 除非它有矛盾. 可以证明 Grothendieck 宇宙存在等价于存在不可达基数.

范畴论

在范畴论中, 我们往往不关心集合的具体元素, 而只考虑它们在同构意义下的性质. 因此, Grothendieck 宇宙也有范畴语言的版本.

定义 2.2. 给定初等意象 $\mathcal{E}$, Grothendieck 宇宙是一个映射 $p:\dot{U}\to U$, 满足以下性质. 如果 $f:E\to B$ 可以写成 $p$ 沿着某个映射拉回, 就说 $f$ 是 (本质) 小的. 如果 $X\to 1$ 本质小, 也可以说成 $X$ 本质小.

•

单射都是小的.

•	小映射 $f,g$ 的复合 $f\circ g$ 也小.

•	小映射 $f,g$ 的前推 ${\Pi }_{f}g$ 也小.

•	子对象分类子 $\Omega$ 本质小.

直观上, 定义中的映射 $f:E\to B$ 可以看作一族集合 $\{x_b{\}}_{b\in B}$, 定义为 $x_b=f^{-1}(\{b\})$. 本质小映射意味着每个 $x_b$ 都与某个小集合有双射.

定理 2.3. 给定集合意义下的 Grothendieck 宇宙 $U$, 定义 $\dot{U}=\{(X,x)\mid X\in U,x\in x\}$ 为全体 $U$-小带点集合的集合, 则投影映射 $p:\dot{U}\to U$ 构成范畴意义下 $\mathsf{Set}$ 的 Grothendieck 宇宙.

定义中的要求也可以有所取舍. 例如可以要求自然数对象 $\mathbb{N}$ 是本质小的. 在类型论的语境下, 往往不要求单射或者子对象分类子本质小, 因为类型论中往往不讨论严格满足泛性质的命题宇宙.

以下的条件可以视作一种下降:

•	如果 $g$ 是满射, $f$ 沿着 $g$ 的拉回 $f^{\ast }g$ 本质小, 那么 $f$ 也本质小.

术语翻译

Grothendieck 宇宙 • 英文 Grothendieck universe