Grothendieck 宇宙

Grothendieck 宇宙是一类集合的集合, 对数学中的对集合的大部分操作都封闭. 这使得许多需要对全体集合讨论的事情可以改写为对 Grothendieck 宇宙中的元素的讨论, 以避免 Russell 悖论.

1集合论

定义 1.1. 如果某个集合 $U$ 满足以下要求, 就称其为 Grothendieck 宇宙.

•	传递性: 如果集合 $x\in U$, 那么 $x$ 的元素也属于 $U$.
•	二元集: 如果 $x,y\in U$, 那么 $\{x,y\}\in U$.
•	幂集: 如果 $x\in U$, 那么 $\mathcal{P}(x)\in U$.
•	并集: 如果 $I\in U$, 并且有以 $I$ 为指标集的集合族 $\{x_i\in U\}$, 那么 ${\bigcup }_{i\in I}{x}_i\in U$.

也称 $U$ 的元素为 $U$-小集合, 无歧义时简称小集合.

有时候, 也会要求 $\varnothing \in U$ 或者 $\mathbb{N}\in U$, 以排除比较小的平凡情况.

定理 1.2. 如果 Grothendieck 宇宙 $U$ 满足 $\mathbb{N}\in U$, 那么 $(U,\in )$ 构成 ZFC 集合论的模型.

证明.

$\square$

这说明 ZFC 集合论本身无法证明存在这样的集合, 除非它有矛盾.

2范畴论

在范畴论中, 我们往往不关心集合的具体元素, 而只考虑它们在同构意义下的性质. 因此, Grothendieck 宇宙也有范畴语言的版本.

定义 2.1. 给定初等意象 $\mathcal{E}$, Grothendieck 宇宙是一个映射 $p:\dot{U}\to U$, 满足一些性质. 如果 $f:E\to B$ 可以写成 $p$ 沿着某个映射拉回, 就说 $f$ 是 (本质) 小的. 如果 $X\to 1$ 本质小, 也可以说成 $X$ 本质小.

•	单射都是小的.
•	小映射 $f,g$ 的复合 $f\circ g$ 也小.
•	小映射 $f,g$ 的前推 ${\Pi }_{f}g$ 也小.
•	子对象分类子 $\Omega$ 本质小.

直观上, 定义中的映射 $f:E\to B$ 可以看作一族集合 $\{x_b{\}}_{b\in B}$, 定义为 $x_b=f^{-1}(\{b\})$. 本质小映射意味着每个 $x_b$ 都与某个小集合有双射.

定理 2.2. 给定集合意义下的 Grothendieck 宇宙 $U$, 定义 $\dot{U}=\{(X,x)\mid X\in U,x\in x\}$ 为全体 $U$-小带点集合的集合, 则投影映射 $p:\dot{U}\to U$ 构成范畴意义下 $\mathsf{Set}$ 的 Grothendieck 宇宙.

定义中的要求也可以有所取舍. 例如可以要求自然数对象 $\mathbb{N}$ 是本质小的. 在类型论的语境下, 往往不要求单射或者子对象分类子本质小, 因为类型论中往往不讨论严格满足泛性质的命题宇宙.

以下的条件可以视作一种下降:

•	如果 $g$ 是满射, $f$ 沿着 $g$ 的拉回 $f^{\ast }g$ 本质小, 那么 $f$ 也本质小.

术语翻译

Grothendieck 宇宙 • 英文 Grothendieck universe