奇异同调

奇异同调 (或奇异下同调) 是拓扑空间的一种同伦不变量, 它是拓扑空间中 “洞的个数” 的一种严格定义. 具体地说, 拓扑空间 $X$ 有一系列的奇异同调群, 通常记为$$H_n(X;\mathbb{Z})(n=0,1,2,\dots ),$$每个 $H_n(X;\mathbb{Z})$ 是一个 Abel 群, 它的秩就刻画了拓扑空间 $X$ 中 “$n$ 维洞的个数”. 当 $n=0$ 时, 它的秩等于 $X$ 的道路连通分支的个数. 这里的 $\mathbb{Z}$ 也可以取为一般的交换环 $R$, 而得到 $R$-系数同调.

例如, 球面 $S^n$ 有 $1$ 个道路连通分支和 $1$ 个 $n$ 维洞, 所以$$H_k(S^n;\mathbb{Z})\simeq \{\begin{array}{ll}\mathbb{Z},& k=0,n,\\ 0,& k\ne 0,n.\end{array}$$

奇异同调等于拓扑空间的奇异单纯集合的单纯同调. 因此, 拓扑空间 $X$ 的奇异同调是将 $X$ 在拓扑空间–单纯集合对应下 “等价” 的单纯集合的洞的个数.

在 Brown 可表定理的观点下, 以交换环 $R$ 为系数的奇异同调对应于 Eilenberg–MacLane 谱 $HR$: 拓扑空间 $X$ 的 $n$ 阶奇异同调同构于拓扑谱 ${\Sigma }^{\infty }{X}_{+}\wedge HR$ 的 $n$ 阶同伦群. 在高阶范畴论中, 也可以将此谱 ${\Sigma }^{\infty }{X}_{+}\wedge HR$ 直接视为 $R$ 的奇异同调, 它也是 $HR$ 在谱范畴中的 $X$-余幂 $HR\otimes X$. 相应地, 奇异上同调则是 $HR$ 在谱范畴中的 $X$-幂 $H{R}^X$.

1定义

定义 1.1 (标准 $n$-单形). 设 $n$ 是自然数. 标准 $\mathbf{n}$-单形是指 Euclid 空间 ${\mathbb{R}}^{n+1}$ 的子集$${\Delta }^n=\{(x_0,\dots ,x_n)\in {\mathbb{R}}^{n+1}\mid x_0+\cdots +x_n=1,\text{并且所有 }{x}_i\ge 0\}.$$它的边界定义为$$\partial {\Delta }^n=\{(x_0,\dots ,x_n)\in {\Delta }^n\mid x_0=0\text{或}\cdots \text{或}{x}_n=0\}.$$

例如, ${\Delta }^0$ 是一个点, ${\Delta }^1$ 是一条线段, ${\Delta }^2$ 是一个正三角形, ${\Delta }^3$ 是一个正四面体. 注意到 $\partial {\Delta }^n$ 同胚于 $S^{n-1}$ ($n\ge 1$), 以及 $\partial {\Delta }^0=\varnothing$.

定义 1.2 (奇异 $n$-单形). 设 $X$ 是拓扑空间, $n$ 是自然数. $X$ 中的一个奇异 $\mathbf{n}$-单形是指一个连续映射$$\sigma :{\Delta }^n\to X.$$

定义 1.3 (奇异 $n$-链). 设 $X$ 是拓扑空间, $n$ 是自然数, $R$ 是交换环, 称为系数环. $X$ 中的一个 $R$-系数的奇异 $\mathbf{n}$-链是指有限个奇异 $n$-单形的 $R$-系数的线性组合, 也就是形如$$\sigma =\sum _{i=1}^m{a}_i{\sigma }_i$$的表达式, 其中 $a_i\in R$, ${\sigma }_i$ 是奇异 $n$-单形. 所有这样的奇异 $n$-链构成的 $R$-模记为$$C_n(X;R)=\underset{\sigma }{⨁}R\cdot \sigma ,$$其中 $\sigma$ 取遍所有不同的奇异 $n$-单形.

对于拓扑空间中的 $n$ 维洞, 我们能够用一些奇异 $n$-单形粘起来, 得到一个奇异 $n$-链, 来把这个洞围住; 这样的奇异 $n$-链没有边界, 也不能写成另一个奇异 $n$-链的边界. 满足这一性质的奇异 $n$-链对应了空间的 $n$ 维洞.

(这里有插图会更好些?)

定义 1.4 (奇异 $n$-链的边界). 设 $\sigma$ 是 $X$ 中的一个奇异 $n$-单形, 其中 $n\ge 1$. 它的边界是指奇异 $(n-1)$-链$$\partial \sigma =\sum _{i=0}^n(-1{)}^i\sigma {|}_{{\partial }_i{\Delta }^n},$$其中 ${\partial }_i{\Delta }^n$ 是 $\partial {\Delta }^n$ 中 $x_i=0$ 的部分, 通过忽视第 $i$ 个坐标与 ${\Delta }^{n-1}$ 等同起来.

将 $\partial$ 线性延拓到所有 $n$-链, 我们得到映射$$\partial :C_n(X;R)\to C_{n-1}(X;R).$$可以验证, $(C_{\bullet }(X;R),\partial )$ 构成一个链复形.

定义 1.5 (奇异 $n$-圈, 奇异 $n$-边界, 奇异同调). 设 $X$ 是拓扑空间, $n$ 是自然数, $R$ 是交换环.

•	$X$ 中 $R$-系数的奇异 $\mathbf{n}$-圈是指边界为 $0$ 的奇异 $n$-链, 它们构成的 $R$-模是$$Z_n(X;R)=\ker (\partial :C_n(X;R)\to C_{n-1}(X;R)).$$
•	$X$ 中 $R$-系数的奇异 $\mathbf{n}$-边界是指一个奇异 $n$-链, 它能写成一个奇异 $(n+1)$-链的边界. 它们构成的 $R$-模是$$B_n(X;R)=\mathrm{im}(\partial :C_{n+1}(X;R)\to C_n(X;R)).$$
•	$X$ 的 $R$-系数 $\mathbf{n}$ 阶奇异同调是 $R$-模$$H_n(X;R)=Z_n(X;R)/B_n(X;R).$$

2性质

函子性

(...)

同伦不变性

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胞腔同调

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Künneth 公式

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3相关概念

术语翻译

奇异同调 • 英文 singular homology • 德文 singuläre Homologie • 法文 homologie singulière

奇异 $n$-单形 • 英文 singular $n$-simplex • 德文 singulärer Simplex • 法文 $n$-simplexe singulier

奇异 $n$-链 • 英文 singular $n$-chain • 德文 singuläre $n$-Kette • 法文 $n$-chaîne singulière

奇异 $n$-圈 • 英文 singular $n$-cycle • 德文 singulärer $n$-Zykel • 法文 $n$-cycle singulier

奇异 $n$-边界 • 英文 singular $n$-boundary • 德文 singulärer $n$-Rand • 法文 $n$-bord singulier