用户: Estwald/C*代数及其表示

本文有诸多不足, 例如记号选取不一定恰当 (如我们基本上把所有范数都记成了 $\Vert \cdot \Vert$, 但它们的含义可能各不相同).

我们承认选择公理. 我们对文档中数学内容的原创性没有任何贡献.

1Banach 代数和 C*代数: 基本定义

定义 1.1 (Banach 代数). 一个 Banach 代数是一个 Banach 空间 $(B,\Vert \cdot \Vert ),$ 带有 $\mathbb{C}$-代数的结构, 满足对任何 $x,y\in B,$ $\Vert xy\Vert \le \Vert x\Vert \cdot \Vert y\Vert .$

如果 Banach 代数 $B$ 带有乘法单位 $1_B,$ 则称其为含幺 Banach 代数. 这时我们要求 $\Vert 1_B\Vert =1$. 这无关宏旨, 因为对于任何含幺 Banach 代数, 我们总可以取一个范数使得 $\Vert 1_B\Vert =1$.

如果 Banach 代数 $B$ 的乘法是交换的, 则称其为交换 Banach 代数.

定义 1.2 (对合). 设 $B$ 是一个 Banach 代数. 连续映射 ${}^{\ast }:B\to B$ 称为 $B$ 上的一个对合, 如果

1.	$(x+y{)}^{\ast }=x^{\ast }+y^{\ast },\forall x,y\in B;$
2.	$(\lambda x{)}^{\ast }=\overline{\lambda }{x}^{\ast },\forall \lambda \in \mathbb{C},x\in B;$
3.	$(xy{)}^{\ast }=y^{\ast }{x}^{\ast },\forall x,y\in B;$
4.	$(x^{\ast }{)}^{\ast }=x,\forall x\in B.$

如果 $x\in B$ 满足 $x^{\ast }=x,$ 则称 $x$ 为自伴的.

定义 1.3 (C*代数). 一个 C*代数是一个带有对合 ${}^{\ast }$ 的 Banach 代数 $B,$ 满足对任何 $x\in B,$ $\Vert x^{\ast }x\Vert ={\Vert x\Vert }^2.$

C*代数是局部紧群 ¹ 的表示理论的重要工具, 同样出现在量子力学的代数表述中.

例 1.4. 设 $X$ 是紧拓扑空间, $(C(X),{\Vert \cdot \Vert }_{\infty })$ 构成 C*代数, 其中 ${\Vert \cdot \Vert }_{\infty }$ 是最大值范数, $f^{\ast }(x)=\overline{f(x)}.$

在之后的 Gelfand 变换中, 我们会看出, 所有交换 C*代数都形如此.

例 1.5. 设 $H$ 是 Hilbert 空间, $\mathcal{L}(H)$ 为 $H$ 上有界线性算子构成的空间, 则其为 C*代数:

模为通常的算子模, 对合为线性算子的伴随 (adjoint).

之后我们会研究 C*代数的表示论, 上述例子也是 “典型” 的 C*代数.

定义 1.6. 设 $B^1,B^2$ 是两个 C*代数. $\varphi :B^1\to B^2$ 称为 ${}^{\ast }$-同态, 如果 $\varphi$ 是 $\mathbb{C}$-代数同态, 并且对任何 $x\in B^1,\varphi (x^{\ast })=\varphi (x{)}^{\ast }.$ 注意这里的 ${}^{\ast }$ 分别是 $B^1$ 和 $B^2$ 中的对合.

定义 1.7. 设 $B$ 是一个 C*代数, 称二元组 $(\pi ,H)$ 为 $B$ 的一个 ${}^{\ast }$-表示, 其中 $H$ 是一个 Hilbert 空间, $\pi :B\to \mathcal{L}(H)$ 是一个 ${}^{\ast }$-同态. 称 ${}^{\ast }$-表示 $(\pi ,H)$ 为非退化的, 如果 $\pi (B)H$ 在 $H$ 中稠密.

定义 1.8. 设 $C$ 是一个 C*代数, 则 $C$ 的全体 ${}^{\ast }-$ 表示能够构成一个范畴 $\mathsf{R}\mathsf{e}\mathsf{p}(C),$ 其对象为 $C$ 的全体 ${}^{\ast }$-表示, 而两个 ${}^{\ast }$-表示 $({\pi }^1,H^1),({\pi }^2,H^2)$ 之间的一个态射, 指的是一个连续线性算子 $T:H^1\to H^2,$ 满足对任何 $x\in C,T\circ {\pi }^1(x)={\pi }^2(x)\circ T.$

2含幺 Banach 代数: 谱

在本节中, 固定 $B$ 是一个含幺 Banach 代数. 记 $B^0$ 为 $B$ 中全体可逆元.

命题 2.1. 对 $x\in B,$ 若 $\Vert x\Vert <1,$ 则 $1_B-x\in B^0.$

证明. “幂级数”$\sum _{i=0}^{\infty }{x}^i$ 收敛.

$\square$

命题 2.2. $B^0$ 是 $B$ 中开集.

证明. 对 $x\in B^0,$ 由命题 2.1 知以 $x$ 为中心, 以 $\Vert x\Vert$ 为半径的开球也落在 $B^0$ 中.

$\square$

命题 2.3. 取逆映射 $B^0\to B^0,x\mapsto x^{-1}$ 是连续的.

证明. 由群结构, 只用考虑 $1_B$ 附近. 利用 “幂级数” 展开 $(1_B-x{)}^{-1}=\sum _{i=0}^{\infty }{x}^i$ 即可.

$\square$

定义 2.4. 对 $x\in B,$ 定义 ${\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}}_B(x)=\{\lambda \in \mathbb{C}:\lambda 1_B-x\notin B^0\},$ 称为 $x$ 的谱.

直观上说, 谱是有限维线性空间中算子特征值的推广.

定义 2.5. 对 $\lambda \notin {\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}}_B(x),$ 定义 $x$ 的预解算子为 $R(\lambda )=(\lambda 1_B-x{)}^{-1}.$

命题 2.6. $R(\lambda ):\mathbb{C}\backslash {\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}}_B(x)\to B$ 在 $\mathbb{C}\backslash {\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}}_B(x)$ 上解析, 即对任何 $\varphi \in B^{\prime },\varphi \circ R:\mathbb{C}\backslash {\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}}_B(x)\to \mathbb{C}$ 解析.

证明. $R^{\prime }=-R^2.$

$\square$

引理 2.7. 对任何 $x\in B,{\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}}_B(x)\ne \varnothing .$

证明. 若 ${\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}}_B(x)=\varnothing ,$ 则 $R$ 是整函数. 当 $|\lambda |\to \infty$ 时,$\Vert R(\lambda )\Vert =|\lambda {|}^{-1}{\Vert 1_B-{\lambda }^{-1}x\Vert }^{-1}\to 0.$ 对任何 $\varphi \in B^{\prime },\varphi \circ R$ 是 $\mathbb{C}$ 上整函数, 并且当 $|\lambda |\to \infty$ 时, $\varphi (R(\lambda ))\to 0.$ 由 Liouville 定理知 $\varphi \circ R=0,$ 不可能总成立.

$\square$

定义 2.8. 对 $x\in B,$ 定义 $x$ 的谱半径为 $\rho (x)=\sup \{|\lambda |:\lambda \in {\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}}_B(x)\}.$

由命题 2.1 能够观察到 $\rho (x)\le \Vert x\Vert .$

定理 2.9 (Gelfand). 谱半径有如下计算方式: $\rho (x)=\underset{n\to \infty }{\lim }{\Vert x^n\Vert }^{\frac{1}{n}}.$

证明. 一方面, 注意到因式分解 ${\lambda }^n{1}_B-x^n=(\lambda 1_B-x)(\cdots ),$ 故 $\left[\lambda \in {\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}}_B(x)\Rightarrow {\lambda }^n\in {\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}}_B(x^n)\right],$ 因此 $\rho (x{)}^n\le \rho (x^n)\le \Vert x^n\Vert ,$ 即 $\rho (x)\le {\Vert x^n\Vert }^{\frac{1}{n}},$ 故 $\rho (x)\le \underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}{\Vert x^n\Vert }^{\frac{1}{n}}.$

另一方面, 我们证明 $\rho (x)\ge \underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}{\Vert x^n\Vert }^{\frac{1}{n}}.$ 考虑预解算子 $R({\lambda }^{-1})=({\lambda }^{-1}{1}_B-x{)}^{-1}=\lambda \sum _{n=0}^{\infty }{x}^n{\lambda }^n,$ 其收敛半径为 ${\left(\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}{\Vert x^n\Vert }^{\frac{1}{n}}\right)}^{-1},$ 故 ${\left(\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}{\Vert x^n\Vert }^{\frac{1}{n}}\right)}^{-1}\ge \rho (x{)}^{-1},$ 即 $\rho (x)\ge \underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}{\Vert x^n\Vert }^{\frac{1}{n}}.$

$\square$

定理 2.10 (Gelfand–Mazur). 若 $B^0=B\backslash \{0\},$ 则有 Banach 代数同构 $B\simeq \mathbb{C}.$

证明. 只要证明 $B=\mathbb{C}{1}_B.$ 若存在 $x\notin \mathbb{C}{1}_B,$ 则对任何 $\lambda \in \mathbb{C},\lambda 1_B-x\in B\backslash \{0\}=B^0,$ 因此 ${\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}}_B(x)=\varnothing ,$ 与引理 2.7 矛盾.

$\square$

3含幺交换 C*代数: Gelfand 变换

记 $\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{m}\mathsf{p}$ 为全体紧拓扑空间构成的范畴, $\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{m}\mathsf{m}{\mathsf{C}}^{\ast }\mathsf{A}\mathsf{l}\mathsf{g}$ 为全体含幺交换 C*代数构成的范畴. 本节的目的在于构造范畴 $\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{m}\mathsf{p}$ 与范畴 $\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{m}\mathsf{m}{\mathsf{C}}^{\ast }\mathsf{A}\mathsf{l}\mathsf{g}$ 之间的对偶 (Gelfand 变换).

暂时固定 $B$ 是一个含幺交换 Banach 代数.

定义 3.1. 定义 $B$ 的谱为全体 $B$ 到 $\mathbb{C}$ 的 $\mathbb{C}$-代数同态构成的集合, 记为 $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(B).$

如下命题展示了 “谱” 这个名字的由来.

命题 3.2. 考虑 $x\in B$.

1.	对 $\lambda \in \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(B),$ $\lambda (x)\in {\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}}_B(x).$
2.	对任何 $\mu \in {\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}}_B(x),$ 存在 ${\lambda }^{\prime }\in \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(B)$ 使得 ${\lambda }^{\prime }(x)=\mu .$

证明.

1.	$\lambda (\lambda (x)1_B-x)=0,$ 因此 $\lambda (x)1_B-x$ 不可能可逆.
2.	由于 $\mu 1_B-x\notin B^0,$ 根据交换代数事实知存在 $B$ 中极大理想 $\mathfrak{m}$ 使得 $\mu 1_B-x\in \mathfrak{m}.$ 由极大性, $\mathfrak{m}$ 在 $B$ 中闭, 因此 $B/\mathfrak{m}$ 仍然是含幺交换 Banach 代数. 由定理 2.10 知有 Banach 代数同构 $B/\mathfrak{m}\simeq \mathbb{C}.$ 因此, 典范投影 $B\twoheadrightarrow B/\mathfrak{m}$ 可表示成 $\mathbb{C}$-代数同态 ${\lambda }^{\prime }:B\to \mathbb{C},$ 此 ${\lambda }^{\prime }$ 即为所求.

$\square$

推论 3.3. 对 $\lambda \in \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(B),x\in B,|\lambda (x)|\le \Vert x\Vert .$ 特别地, $\lambda$ 是 $B$ 上连续线性泛函.

记 $B^{\prime }$ 为 $B$ 上全体连续线性泛函, 带有弱*拓扑. 定义 $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(B)$ 上的拓扑为其作为 $B^{\prime }$ 子空间的子空间拓扑.

命题 3.4. $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(B)$ 是紧的.

证明. 见 Banach–Alaoglu 定理.

$\square$

定义 3.5. 定义 Gelfand 变换为 $B\to C(\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(B)),x\mapsto \left[\hat{x}:\lambda \to \lambda (x)\right].$

命题 3.6. Gelfand 变换为连续的 $\mathbb{C}-$ 代数同态.

证明. 循规蹈矩地验证其为 $\mathbb{C}$-代数同态. 由推论 3.3 知 $|\hat{x}(\lambda )|=|\lambda (x)|\le \Vert x\Vert ,$ 故 $\Vert \hat{x}\Vert \le \Vert x\Vert ,$ 连续性得证.

$\square$

定理 3.7 (Stone–Weierstraß). 设 $X$ 是紧拓扑空间, $A$ 是 $C(X)$ 的子代数, 满足

1.	若 $f\in A,$ 则 $f^{\ast }=\overline{f}\in A;$
2.	对 $X$ 中任意不同的两点 $x,y,$ 存在 $f\in A$ 使得 $f(x)\ne f(y).$

则 $A$ 在 $C(X)$ 中稠密.

定理 3.8 (Gelfand–Naimark). 设 $B$ 是含幺交换 C*代数, 则 Gelfand 变换 $B\to C(\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(B))$ 是等距的 ${}^{\ast }$-同构.

证明. 在命题 3.6 中已经证明 Gelfand 变换是连续的 $\mathbb{C}$-代数同态. 连续性同样表明了 Gelfand 变换是单的.

${}^{\ast }$-同态: 首先考虑 $B$ 中元素 $x$ 满足 $x^{\ast }=x.$ 此时我们证明, 对任何 $\lambda \in \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(B),\lambda (x)\in \mathbb{R}.$ 为此, 引入 “形式幂级数”$$e^{itz}=\sum _{n\ge 0}\frac{(itz{)}^n}{n!},t\in \mathbb{R},z\in B.$$由于 $B$ 是 Banach 代数, 易验证其为良定的, 并且有性质

1.	$e^{it{0}_B}=1_B;$
2.	${\left(e^{itz}\right)}^{\ast }=e^{-it{z}^{\ast }};$
3.	若 $zw=wz,$ 则 $e^{itz}{e}^{itw}=e^{it(z+w)}.$

故此 $(e^{itx}{)}^{\ast }{e}^{itx}=e^{-it{x}^{\ast }}{e}^{itx}=e^{-itx}{e}^{itx}=1_B.$ 进而 $1=\Vert 1_B\Vert =\Vert (e^{itx}{)}^{\ast }{e}^{itx}\Vert ={\Vert e^{itx}\Vert }^2,$ 即 $\Vert e^{itx}\Vert =1.$ 根据 $\lambda$ 的连续性可知 $\lambda (e^{itx})=e^{it\lambda (x)}.$ 又根据推论 3.3 知$$|e^{it\lambda (x)}|=|\lambda (e^{itx})|\le \Vert e^{itx}\Vert =1.$$此式对任何 $t\in \mathbb{R}$ 成立表明 $\lambda (x)\in \mathbb{R}.$ 故此$${\hat{x}}^{\ast }(\lambda )=\overline{\hat{x}(\lambda )}=\overline{\lambda (x)}=\lambda (x)=\lambda (x^{\ast })=\widehat{x^{\ast }}(\lambda ),$$即 ${\hat{x}}^{\ast }=\widehat{x^{\ast }}.$

对一般的 $x\in B,$ 我们有分解 $x=\left(\frac{x+x^{\ast }}{2}\right)+\left(\frac{x-x^{\ast }}{2i}\right)i,$ 其中 $\left(\frac{x+x^{\ast }}{2}\right)$ 和 $\left(\frac{x-x^{\ast }}{2i}\right)$ 都是自伴的. 利用前述讨论即知 ${\hat{x}}^{\ast }=\widehat{x^{\ast }}.$

等距性: 首先, 由命题 3.2 知对 $x\in B,$ $$\Vert \hat{x}\Vert =\sup \{|\hat{x}(\lambda )|:\lambda \in \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(B)\}=\sup \{|\lambda (x)|:\lambda \in \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(B)\}=\sup \{|\mu |:\mu \in {\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}}_B(x)\}=\rho (x).$$

对 $x\in B$ 满足 $x^{\ast }=x,x^n$ 也自伴. 注意到 ${\Vert x\Vert }^2=\Vert x^{\ast }x\Vert =\Vert x^2\Vert ,$ 重复利用此式知对任何 $n\in {\mathbb{Z}}_{+},{\Vert x\Vert }^{2^n}=\Vert x^{2^n}\Vert .$ 进而由定理  2.9 知$$\Vert \hat{x}\Vert =\rho (x)=\underset{n\to \infty }{\lim }{\Vert x^{2^n}\Vert }^{\frac{1}{2^n}}=\Vert x\Vert .$$

对一般的 $x\in B,x^{\ast }x$ 是自伴的, 因此$${\Vert x\Vert }^2=\Vert x^{\ast }x\Vert =\Vert \widehat{x^{\ast }x}\Vert =\Vert \widehat{x^{\ast }}\hat{x}\Vert =\Vert {\hat{x}}^{\ast }\hat{x}\Vert ={\Vert \hat{x}\Vert }^2,$$即 $\Vert x\Vert =\Vert \hat{x}\Vert .$

最后, 我们证明满性. 这只要证明 Gelfand 变换的像在 $C(\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(B))$ 中稠密. 任取 $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(B)$ 中不同的两点 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,$ 则存在 $x\in B$ 使得 ${\lambda }_1(x)\ne {\lambda }_2(x),$ 这表明 $\hat{x}({\lambda }_1)\ne \hat{x}({\lambda }_2),$ 进而结合命题 3.4 及定理 3.7 知结论成立.

$\square$

推论 3.9. 设 $B$ 是一个含幺 C*代数, $x\in B$ 且 $x=x^{\ast },$ 则 ${\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}}_B(x)\in \mathbb{R}.$

引理 3.10. 设 $B$ 是含幺 C*代数, $\mathcal{C}$ 是闭的 ${}^{\ast }-$ 不变子代数, 则对 $x\in \mathcal{C},{\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}}_{\mathcal{C}}(x)={\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}}_B(x).$

命题 3.11. 设 $B$ 是含幺 $C^{\ast }$ 代数. 假设 $x\in B$ 满足 $x{x}^{\ast }=x^{\ast }x,$ 则 $D=\overline{⟨1,x,x^{\ast }⟩}$ 生成 $B$ 的含幺交换子 C*代数, 则 $\hat{x}:\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(D)\to {\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}}_D(x)$ 是一个同胚.

4不含幺的情形: 嵌入到含幺 C*代数

设 $B$ 是一个不一定含幺的 C*代数, 我们希望把 $B$ 嵌入到一个含幺 C*代数 $\tilde{B}$ 中.

引理 4.1. 对 $x\in B,x$ 可视作 $B$ 上的平移算子 $L_x:B\to B,y\mapsto xy.$ 相应地, 有算子模 $\Vert L_x\Vert ,$ 则 $\Vert x\Vert =\Vert L_x\Vert .$

作为 $\mathbb{C}$-代数, 构造 $\tilde{B}=B\oplus \mathbb{C}1.$ 在 $\tilde{B}$ 上赋予范数:$\Vert x+\lambda 1\Vert :=\Vert L_x+\lambda I\Vert .$ 在 $\tilde{B}$ 上赋予对合 ${}^{\ast }:(x+\lambda 1{)}^{\ast }=x^{\ast }+\overline{\lambda }I.$

定理 4.2. 如上构造的 $\tilde{B}$ 是含幺 C*代数, 并且有嵌入 $B\hookrightarrow \tilde{B}.$

5局部紧群的酉表示

本节的目的在于, 对每个可分的局部紧拓扑群 $G,$ 构造一个与之相伴的 C*代数 $C^{\ast }(G),$ 并建立范畴等价 $\mathsf{R}\mathsf{e}{\mathsf{p}}_{\mathsf{u}}(G)\simeq \mathsf{R}\mathsf{e}{\mathsf{p}}_{\mathsf{n}.\mathsf{d}.\mathsf{g}.}(C^{\ast }(G)),$ 其中 $\mathsf{R}\mathsf{e}{\mathsf{p}}_{\mathsf{u}}(G)$ 是 $G$ 的全体酉表示构成的范畴, $\mathsf{R}\mathsf{e}{\mathsf{p}}_{\mathsf{n}.\mathsf{d}.\mathsf{g}.}(C^{\ast }(G))$ 是 $C^{\ast }(G)$ 的全体非退化 ${}^{\ast }$-表示构成的范畴.

在本节中, 固定 $G$ 是一个可分的局部紧拓扑群, $\mu$ 是 $G$ 上左不变的 Haar 测度.

定义 5.1. 称二元组 $(\pi ,H)$ 为 $G$ 的一个酉表示, 其中 $(H,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$ 是一个 Hilbert 空间, $\pi :G\to \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(H)$ 是一个群同态, 满足

1.	映射 $G\times H\to H,(g,v)\mapsto \pi (g)v$ 连续;
2.	对任何 $g\in G,v,w\in H,⟨\pi (g)v,\pi (g)w⟩=⟨v,w⟩.$

在紧群的表示论中, 我们研究过正则表示 $L^2(G),$ 得到了 Peter-Weyl 定理, 不过在局部紧群的表示论中没有那么简洁的理论, 主要在于不能做积分.

6自伴算子的谱理论

这一节的内容主要都是泛函分析.

7Schur 引理: C*代数版本

本节的目的是证明 C*代数版本的 Schur 引理.

在本节中, 固定 $C$ 是一个 C*代数.

定义 7.1. 设 $(\pi ,H)$ 是 $C$ 的一个 ${}^{\ast }$-表示, 称其为 不可约的, 如果 $H$ 在 $\pi (C)$ 的作用下不变的闭子空间只有 $H$ 和 $0.$

定理 7.2. 设 $(\pi ,H)$ 是 $C$ 的一个 ${}^{\ast }$-表示且 $\pi \ne 0,$ 则如下等价:

1.	$\pi$ 不可约;
2.	$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{m}(\pi (C))=\mathbb{C}I,$ 其中 $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{m}(\pi (C))=\{T\in \mathcal{L}(H):T\circ \pi (x)=\pi (x)\circ T,\forall x\in C\}.$

推论 7.3. 设 $C$ 是一个交换 C*代数, 则 $C$ 的不可约 ${}^{\ast }$-表示都是一维的.

8酉对偶: Jacobson 拓扑

设 $C$ 是一个 C*代数, 记 $\hat{C}$ 是 $C$ 的全体不可约 ${}^{\ast }$-表示的同构类构成的集合. 我们希望在 $\hat{C}$ 上构造拓扑. 如下的构造模仿了代数几何中的 Zariski 拓扑.

9直积分

本节讨论直积分 (direct integral), 它可被看成直和的推广. 本节的很多讨论都是泛函分析.

1.	不加说明的情况下, 拓扑空间的紧意同拟紧+Hausdorff.