Peter–Weyl 定理

Peter–Weyl 定理是说紧拓扑群 $G$ 的不可约酉表示的矩阵系数给出 $L^2(G)$ 的一组正交基. 它是有限群的常表示理论的推广.

1定理陈述

设 $G$ 是拓扑群, $V$ 是 Hilbert 空间. $\sigma :G\to \mathrm{GL}(V)$ 是拓扑群表示.

对 $v$, $w\in V$, 我们称 $G$ 上的连续函数 $u_{v,w}:g\mapsto ⟨\sigma (g)v,w⟩$ 为矩阵系数. 我们记所有矩阵系数线性张成的空间为 $C_{\sigma }$.

设 $G$ 局部紧, 令 $dg$ 表示 $G$ 的 Haar 测度满足 ${\int }_{G}dg=1$. 令 $L^2(G)$ 表示复值平方可积函数空间, 其中内积定义为$$⟨u,u^{\prime }⟩={\int }_{G}u(g)\overline{u^{\prime }(g)}dg$$

定理 1.1 (Peter–Weyl 定理). 设 $G$ 是紧群, 则 ${\sum }_{\sigma 有限维不可约酉表示}{C}_{\sigma }$ 是 $C(G,\mathbb{C})$ 稠密子空间. 进而在 $L^2(G)$ 中稠密.

注 1.2. 紧群的不可约酉表示都是有限维的.

2推论

下面引理告诉我们矩阵系数的正交关系.

引理 2.1 (Schur 正交关系). 设 $G$ 是紧群, $(\sigma ,V)$, $({\sigma }^{\prime },V^{\prime })$ 是 $G$ 的有限维不可约酉表示, $v$, $w\in V$, $v^{\prime }$, $w^{\prime }\in V^{\prime }$. 则

•	若 $\sigma$, ${\sigma }^{\prime }$ 不等价, 则$$⟨u_{v,w},u_{v^{\prime },w^{\prime }}⟩=0.$$
•	若 $\sigma$, ${\sigma }^{\prime }$ 等价, 则$$⟨u_{v,w},u_{v^{\prime },w^{\prime }}⟩=\frac{⟨v,w⟩⟨v^{\prime },w^{\prime }⟩}{\dim V}.$$

因此我们得到下面定理:

定理 2.2. ${⨁}_{\sigma 有限维不可约酉表示}{C}_{\sigma }$ 是 $L^2(G)$ 的正交分解.

3证明

我们利用 Weierstraß–Stone 定理来证明此定理.

4例子

例 4.1. 紧群 $\mathbb{R}/\mathbb{Z}\simeq {\mathbb{S}}^1$ 上的 Peter-Weyl 定理给出经典的 Fourier 级数理论.

5相关概念

•	群表示论
•	紧群
•	Fourier 级数
•	Tannaka–Krein 对偶

术语翻译

Peter–Weyl 定理 • 英文 Peter–Weyl theorem • 德文 Satz von Peter–Weyl • 法文 théorème de Peter–Weyl