用户: Estwald/Kirillov注记/Lie群和Lie代数

1指数映射

$♠$ 这一节首先是要理解微分几何里 “流” 的概念. 可以参考 Wikipedia 或流.

命题 1.1 (命题 3.1). 设 $G$ 为 Lie 群, $\mathfrak{g}=T_{1}G$. 对于 $x\in \mathfrak{g}$, 存在唯一的 Lie 群同态 ${\gamma }_x:\mathbb{R}\to G$ 满足 ${\dot{\gamma }}_x(0)=x$. 此时 ${\gamma }_x$ 称为 $x$ 对应的单参数子群.

证明. (唯一性略) 我们证明存在性. 设 $v_x$ 为满足 $v_x(1)=x$ 的左不变向量场, 令 ${\Phi }^t:G\to G$ 为 $v_x$ 的流. 因为向量场 $v_x$ 是左不变的, 所以流也是左不变的: $${\Phi }^t(g_1{g}_2)=g_1{\Phi }^t(g_2).$$

$♡$ 解释一下作者的这句话. 上式的两边分别对 $t$ 求导, 得到 $v_x(g_1{g}_2)=g_1.v_x(g_2).$ 这正是左不变向量场所满足的条件.

令 $\gamma (t):={\Phi }^t(1),$ 那么$$\begin{array}{rl}\gamma (t+s)& ={\Phi }^{t+s}(1)\\ & ={\Phi }^s({\Phi }^t(1))\\ & ={\Phi }^s(\gamma (t)\cdot 1)\\ & =\gamma (t){\Phi }^s(1)=\gamma (t)\gamma (s).\end{array}$$

$\square$

定义 1.2 (定义 3.2). 指数映射 $\exp :\mathfrak{g}\to G$ 定义为$$\exp (x):={\gamma }_x(1).$$其中, ${\gamma }_x$ 是 $x$ 对应的单参数子群.

命题 1.3 (命题 3.6).

•	设 $v$ 为 $G$ 上的左不变向量场, 则 $v$ 在时间 $t$ 的流是 $g\mapsto g\exp (tx),$ 其中 $x=v(1)$.
•	设 $v$ 为 $G$ 上的右不变向量场, 则 $v$ 在时间 $t$ 的流是 $g\mapsto \exp (tx)g,$ 其中 $x=v(1)$.

$♡$ 注意左右顺序. 左不变向量场的流是右乘 $\exp (tx)$, 这是因为 ${\Phi }^t(g\cdot 1)=g\cdot {\Phi }^t(1)=g\exp (tx);$ 见 1.1的证明.

定理 1.4 (定理 3.7).

1.	$\exp (0)=1$, ${\exp }_{\ast }(0):\mathfrak{g}\to T_{1}G=\mathfrak{g}$ 是恒等映射. $♠$ 简单地解释: 对 $x\in \mathfrak{g}$, $\mathfrak{g}$ 中有曲线 $tx$, 其微分在 $0$ 处为 $x$, 而 $G$ 中的曲线 $\exp (tx)$ 的微分在 $0$ 处也为 $x$ (定义).
2.	$\exp$ 是 $0$ 处的局部微分同胚. 其局部逆记为 $\log$.
3.	$\exp ((t+s)x)=\exp (tx)\exp (sx),\forall s,t\in \mathbb{R}$.
4.	对任意 Lie 群同态 $\phi :G_1\to G_2$, 有交换图 $♡$ 这个性质称作 $\exp$ 的自然性. 任意 Lie 群同态保持指数映射, 说明指数映射内蕴于 Lie 群的结构. 具有类似性质的还有换位子, 流形上向量场的流, Lie 导数等等概念. 我猜测自然性与某种自然变换有关, 但是不知道这里 $\exp$ 的自然性对应哪个自然变换. 特别地, 取 $\phi :G\to G,\phi (Y)=XY{X}^{-1}(X\in G)$, 我们得到交换图

2换位子

对于接近 $0$ 的两个元素 $x,y\in \mathfrak{g}$,$$\exp (x)\exp (y)=\exp (\mu (x,y)),$$其中$$\mu (x,y)=x+y+\frac{1}{2}[x,y]+\cdots ,$$$[x,y]$ 称作 $x,y$ 的换位子, 是一个反对称双线性型.

命题 2.1 (命题 3.12).

1.	对任意 Lie 群同态 $\phi :G_1\to G_2$ 与对应的 ${\phi }_{\ast }:{\mathfrak{g}}_1\to {\mathfrak{g}}_2$, $${\phi }_{\ast }([x,y])=[{\phi }_{\ast }(x),{\phi }_{\ast }(y)].$$ $♡$ 这个性质称作换位子的自然性. 特别地, $$\mathrm{Ad}g([x,y])=[\mathrm{Ad}g(x),\mathrm{Ad}g(y)].$$
2.	$$\exp (x)\exp (y)\exp (-x)\exp (-y)=\exp ([x,y]+\cdots ).$$省略号表示高阶项. $♡$ 这个性质也可作为换位子的定义. 注意到此式左边是群论的换位子 $[\exp (x),\exp (y)]$.

证明.

1.	由于换位子是用指数映射定义的, 故换位子的自然性是指数映射自然性的推论.
2.	由公式$$\exp (x)\exp (y)=\exp (x+y+\frac{1}{2}[x,y]+\cdots )$$将 $x,y$ 分别替换为 $-x,-y$ 得$$\exp (-x)\exp (-y)=\exp (-x-y+\frac{1}{2}[x,y]+\cdots ).$$两式相乘 (并再次使用第一个公式) 得$$\exp (x)\exp (y)\exp (-x)\exp (-y)=\exp ([x,y]+\cdots ).$$

$\square$

3Jacobi 恒等式以及 Lie 代数的定义

伴随表示可看作 Lie 群同态 $\mathrm{Ad}:G\to \mathrm{GL}(\mathfrak{g})$. 考虑其切映射$$\mathrm{ad}:\mathfrak{g}\to \mathfrak{g}\mathfrak{l}(\mathfrak{g}).$$由命题 2.1, $\mathrm{ad}$ 保持换位子.

引理 3.1 (引理 3.15).

1.	对 $x,y\in \mathfrak{g}$, $\mathrm{ad}x(y)=[x,y]$;
2.	$\mathrm{Ad}(\exp x)=\exp (\mathrm{ad}x)$, 即有交换图

证明.

1.

因为$$\mathrm{Ad}g(y)=\frac{d}{dt}{|}_{t=0}\left(g\exp (ty)g^{-1}\right),$$而 $\mathrm{ad}$ 是 $\mathrm{Ad}$ 的切映射, 所以$$\begin{array}{rl}\mathrm{ad}x(y)& =\frac{d}{ds}{|}_{s=0}\mathrm{Ad}(\exp (sx))(y)\\ & =\frac{d}{ds}{|}_{s=0}\frac{d}{dt}{|}_{t=0}\left(\exp (sx)\exp (ty)\exp (-sx)\right).\end{array}$$由命题 2.1第二部分, $$\exp (sx)\exp (ty)\exp (-sx)\exp (-ty)=\exp (st[x,y]+\cdots ),$$故$$\exp (sx)\exp (ty)\exp (-sx)=\exp (ty+st[x,y]+\cdots ),$$先对 $t$ 求导再对 $s$ 求导即可.

2.

$\exp$ “自然性” 的特例.

$\square$

定理 3.2 (定理 3.20). 设 $G$ 是实或复 Lie 群, 则 $T_{1}G$ 有典范的 $\mathbb{R}$-或 $\mathbb{C}$-Lie 代数的结构, Lie 括号由前述换位子给出, 通常用 Fraktur 字体 $\mathfrak{g}$ 表示, 或者记为 $\mathrm{Lie}(G)$.

每个 Lie 群同态 $\phi :G_1\to G_2$ 给出 Lie 代数同态 ${\phi }_{\ast }:{\mathfrak{g}}_1\to {\mathfrak{g}}_2$, 即得到映射 ${}_{\ast }:\mathrm{Hom}(G_1,G_2)\to \mathrm{Hom}({\mathfrak{g}}_1,{\mathfrak{g}}_2)$. 若 $G_1$ 连通, 则 ${}_{\ast }$ 单.

$♠$ 事实上 ${}_{\ast }$ 是 Lie 群范畴到 Lie 代数范畴的函子. 另外, 相同的 Lie 代数之间的同态通过指数映射定义了局部相同的 Lie 群同态, 但连通 Lie 群由局部决定, 故 $G_1$ 连通时 ${}_{\ast }$ 单.

4子代数, 理想和中心

定理 4.1 (定理 3.22). 设 $G$ 是 Lie 群, $\mathfrak{g}$ 为其 Lie 代数.

1.	设 $H$ 是 $G$ 的 Lie 子群, 则 $\mathfrak{h}=T_{1}H$ 是 $\mathfrak{g}$ 的子 Lie 代数.
2.	设 $H$ 是 $G$ 的正规闭 Lie 子群, 则 $\mathfrak{h}=T_{1}H$ 是 $\mathfrak{g}$ 的理想, 并且 $\mathrm{Lie}(G/H)=\mathfrak{g}/\mathfrak{h}$.
3.	设 $H$ 是 $G$ 的闭 Lie 子群使得 $H,G$ 连通并且 $\mathfrak{h}=T_{1}H$ 是 $\mathfrak{g}$ 的理想, 则 $H$ 正规.

$♠$ 我认为第三部分比较困难, 书上写的也比较简略, 下面补充两句.

证明.

$♠$ 我读时, 最困惑之处在于 “对任何 $x\in \mathfrak{g},\mathrm{Ad}(\exp (x))$ 保持 $\mathfrak{h}$” 这段陈述.

有几种看法:

•	直接计算: 任取 $y\in \mathfrak{h}$, 那么根据 (之后的) Campbell–Hausdorff 公式$$\exp (x)\exp (ty)\exp (x{)}^{-1}=\exp (f(x,ty))$$其中 $f$ 只包含 $+$ 和 Lie 括号, 因此对 $t$ 做微分并在 $0$ 处取值得到的表达式只包含 $x,y,+$ 和 Lie 括号. 由 $\mathfrak{h}$ 是理想知结果落在 $\mathfrak{h}$ 内.
•	$\mathrm{Ad}(\exp (x))=\exp (\mathrm{ad}x)$, 而$$\frac{d}{dt}\exp (t\mathrm{ad}x){|}_{t=0}.y=\mathrm{ad}x.y=[x,y]\in \mathfrak{h}$$
•	$$\mathrm{Ad}(\exp (x))=\exp (\mathrm{ad}x)=\sum _{k\ge 0}\frac{(\mathrm{ad}x{)}^k}{k!},$$若 $\mathrm{ad}x$ 保持 $\mathfrak{h}$, 则 $\exp (\mathrm{ad}x)$ 保持 $\mathfrak{h}$.

$\square$

5向量场的 “Lie 代数”

$♠$ 这一节是我初读时最困惑的内容, 想来应该是对微分几何不够熟悉.

$♠$ 标题中的 Lie 代数加了引号, 主要在于向量场构成的线性空间是无穷维的, 而我们一般只能讨论有限维 Lie 代数 (无穷维复杂得多).

$\mathrm{Diff}(M)$ 是流形 $M$ 的自同构群, 它不是一个 Lie 群 (它是无限维的), 但其上有类似的理论.

$\mathrm{Diff}(M)$ 的 “Lie 代数” 是 $\mathrm{Vect}(M)$, $M$ 上的向量场的空间.

记向量场 $\xi$ 的流为 ${\Phi }_{\xi }^t$, 则 $\mathrm{Vect}(M)$ 到 $\mathrm{Diff}(M)$ 的 “指数映射” 是$$\exp (t\xi )={\Phi }_{\xi }^t.$$

$♡$ $\mathrm{Diff}(M)$ 的一个元素代表 $M$ 上每个点的移动, $\mathrm{Diff}(M)$ 的单位元代表每个点都不动; 所以 $\mathrm{Diff}(M)$ 的单位元处的切空间, 即单位元的 “无穷小邻域”, 代表 $M$ 的每个点的一个无穷小移动, 也就是 $M$ 上的向量场.

$\mathrm{Diff}(M)$ 上的指数映射代表 $M$ 上每个点沿着向量场的移动, 即 $M$ 上的一个流.

命题 5.1 (命题 3.23). 如下的条件等价, 且定义了 $\mathrm{Vect}(M)$ 上的 Lie 括号:

•	$${\Phi }_{\xi }^t{\Phi }_{\eta }^s{\Phi }_{-\xi }^t{\Phi }_{-\eta }^s={\Phi }_{[\xi ,\eta ]}^{ts}+\cdots ;$$ $♡$ 我觉得这里的省略号放的位置不对, 自同胚不能相加. $♠$ 我认为这一段应该这样理解: $$\frac{d}{dt}\frac{d}{ds}{\Phi }_{\xi }^t{\Phi }_{\eta }^s{\Phi }_{-\xi }^t{\Phi }_{-\eta }^s{|}_{t=s=0}=[\xi ,\eta ]$$
•	$[\xi ,\eta ]=\frac{d}{dt}{\left({\Phi }_{\xi }^t\right)}_{\ast }\eta {|}_{t=0};$ $♠$ 对流形 $M$, 其自同胚 $\Phi$ 和向量场 $X$, ${\Phi }_{\ast }X$ 定义为 ${\Phi }_{\ast }X(p)={\Phi }_{\ast }(X({\Phi }^{-1}p)),p\in M$.
•	${\partial }_{[\xi ,\eta ]}f={\partial }_{\eta }({\partial }_{\xi }f)-{\partial }_{\xi }({\partial }_{\eta }f).$ $♠$ 向量场本身就是满足导子性质的线性泛函, 因此我宁愿把这个式子写为 $[\xi ,\eta ]f=\eta (\xi (f))-\xi (\eta (f))$.

证明. 第二目与第三目: $$\left(\frac{d}{dt}{\left({\Phi }_{\xi }^t\right)}_{\ast }\eta {|}_{t=0}\right)(g)f=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\left(({\Phi }_{\xi }^t{)}_{\ast }\eta \right)(g)f-\eta (g)f}{t}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\eta ({\Phi }_{\eta }^{-t}g)(f\circ {\Phi }_{\xi }^t)-\eta (g)f}{t}=\underset{t\to 0}{\lim }\eta ({\Phi }_{\xi }^{-t}g)\left(\frac{f\circ {\Phi }_{\xi }^t-f}{t}\right)+\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\eta ({\Phi }_{\xi }^{-t}g)f-\eta (g)f}{t}=\eta (g)(\xi f)+(-\xi )(g)(\eta f)=\eta (g)(\xi f)-\xi (g)(\eta f)$$故 $\frac{d}{dt}{\left({\Phi }_{\xi }^t\right)}_{\ast }\eta {|}_{t=0}f=\eta (\xi (f))-\xi (\eta (f))$.

$\square$

定理 5.2 (定理 3.25). 有限维 Lie 群 $G$ 在流形 $M$ 上的作用是 Lie 群同态 $\rho :G\to \mathrm{Diff}(M)$, 其切映射为 Lie 代数同态 ${\rho }_{\ast }:\mathfrak{g}\to \mathrm{Vect}(M)$, 满足 ${\rho }_{\ast }([x,y])=[{\rho }_{\ast }x,{\rho }_{\ast }y]$. 称 ${\rho }_{\ast }$ 为 $\mathfrak{g}$ 通过向量场在 $M$ 上的作用.

6稳定化子和中心

定理 6.1 (定理 3.29). 设 Lie 群 $G$ 作用在流形 $M$ 上, 则

1.	稳定化子 $G_m$ 是 $G$ 的闭 Lie 子群, 其 Lie 代数 $\mathfrak{h}=\{x\in \mathfrak{g}:{\rho }_{\ast }(x)(m)=0\}$, 其中 ${\rho }_{\ast }(x)$ 由定理 5.2定义.
2.	$g\mapsto g.m$ 给出浸入 $G/G_m\to M$, 即 ${\mathcal{O}}_m$ 为浸入子流形. 切空间 $T_m{\mathcal{O}}_m=\mathfrak{g}/\mathfrak{h}$.

推论 6.2 (推论 3.31). 设 $V$ 为 Lie 群 $G$ 的表示, $v\in V$, 则 $v$ 的稳定化子 $G_v$ 是 $G$ 的闭 Lie 子群, 其 Lie 代数为 $\{x\in \mathfrak{g}:x.v=0\}$.

例 6.3 (例 3.33). 设 $A$ 为有限维 $\mathbb{R}$-代数, 则 $A$ 的自同构群$$\mathrm{Aut}(A)=\{g\in GL(A):g(a)g(b)=g(ab)\forall a,b\in A\}$$是 Lie 群, 其 Lie 代数为 $A$ 上的导子的代数$$\mathrm{Der}(A)=\{x\in \mathfrak{g}\mathfrak{l}(A):x.(ab)=(x.a)b+a(x.b)\}.$$

证明. 设 $W$ 为所有双线性映射 $A\otimes A\to A$ 的 $\mathbb{R}$ 线性空间, 考虑 $G=GL(A)$ 在 $W$ 上的作用$$(g.f)(a,b)=gf(g^{-1}a,g^{-1}b).$$以 $\mu :A\otimes A\to A$ 表示 $A$ 的乘法, 那么 $\mathrm{Aut}(A)$ 是 $\mu$ 的稳定化子. 由推论 6.2, $\mathrm{Aut}(A)$ 是 Lie 群, 其 Lie 代数为 $\mathrm{Der}(A)$.

$\square$

$♡$ 这个证明是稳定化子的一个令人意想不到的应用, $\mathrm{Aut}(A)$ 是 $GL(A)$ 中那些 “保持乘法结构 $\mu$” 的线性映射, 而 $W$ 是 $A$ 上 “所有可能的乘法结构”, $GL(A)$ 作用在 $W$ 上, 因此 $\mathrm{Aut}(A)$ 是 $\mu$ 的稳定化子.

书上没有详细证明 $\mathrm{Aut}(A)$ 的 Lie 代数为 $\mathrm{Der}(A)$. 对于 $x\in \mathfrak{g}\mathfrak{l}(A)$, 考虑 $\gamma :t\mapsto 1+tx$, $x\in T_1\mathrm{Aut}(A)$ 当且仅当 $\gamma (t)(ab)=\gamma (t)(a)\gamma (t)(b)+o(t)(t\to 0)$, 此即 $ab+tx(ab)=(a+tx(a))(b+tx(b))+o(t)$, 即 $x(ab)=x(a)b+ax(b)$.

$\mathrm{Der}(A)$ 的结构体现了导数的 Leibniz 法则. 我猜测许多 (所有)Leibniz 法则都是通过类似的方式产生的. 例如 $A=C^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$, $G=\mathbb{R}$ 通过平移作用在 $A$ 上, 得到方向导数的 Leibniz 法则; 又如 $A$ 是微分流形 $M$ 上张量场的代数, $G=\mathbb{R}$ 通过向量场 $X$ 的流作用在 $A$ 上, 得到 Lie 导数 ${\mathcal{L}}_X$ 的 Leibniz 法则.

7Campbell–Hausdorff 公式

8Lie 理论的基本定理

9复和实形式

10例子: $\mathfrak{s}\mathfrak{o}(3,\mathbb{R}),\mathfrak{s}\mathfrak{u}(2),\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2,\mathbb{C})$

11习题

习题 11.1 (习题 3.2). 设 $f:\mathfrak{g}\to G$ 是光滑映射, 满足 $f(0)=1,f_{\ast }(0)=\mathrm{i}\mathrm{d}$. 证明$$f(x)f(y)=f(x+y+B(x,y)+\cdots ),$$其中 $B:\mathfrak{g}\otimes \mathfrak{g}\to \mathfrak{g}$ 为双线性型, 且满足 $B(x,y)-B(y,x)=[x,y]$.

解. $♡$ 本解答中, 省略号总是表示 $3$ 阶及以上的项. 记 $\phi (x)=\log (f(x))$, 因为 $\log$ 在 $1\in G$ 的某个邻域上有定义, 所以 $\phi$ 在 $0\in \mathfrak{g}$ 的某个邻域 $U$ 上有定义. 由链式法则知 ${\phi }_{\ast }(0)={\log }_{\ast }(f(0))\circ f_{\ast }(0)=\mathrm{i}\mathrm{d}$. 故$$\phi (x)=x+Q(x)+\cdots ,$$其中 $Q(x)$ 为二次型. 由隐函数定理, (适当缩小 $U$) 不妨设 $\phi$ 为微分同胚. 其逆$${\phi }^{-1}(x)=x-Q(x)+\cdots .$$

那么$$\begin{array}{rl}f(x)f(y)& =\exp (\phi (x))\exp (\phi (y))\\ & =\exp \left(\phi (x)+\phi (y)+\frac{1}{2}[\phi (x),\phi (y)]+\cdots \right)\\ & =f\left({\phi }^{-1}\left(\phi (x)+\phi (y)+\frac{1}{2}[\phi (x),\phi (y)]+\cdots \right)\right)\\ & =f(\phi (x)+\phi (y)+\frac{1}{2}[\phi (x),\phi (y)]\\ & -Q\left(\phi (x)+\phi (y)+\frac{1}{2}[\phi (x),\phi (y)]+\cdots \right)+\cdots )\\ & =f\left(x+Q(x)+y+Q(y)+\frac{1}{2}[x,y]-Q\left(x+y\right)+\cdots \right)\end{array}$$而$$Q(x)+Q(y)-Q(x+y)$$是 $x,y$ 的对称双线性型, 故结论成立.

习题 11.2 (习题 3.5).

1.	证明 ${\mathbb{R}}^3$ 与叉乘构成一个 Lie 代数, 且同构于 $\mathfrak{s}\mathfrak{o}(3)$.
2.	设 $\phi :{\mathbb{R}}^3\to \mathfrak{s}\mathfrak{o}(3)$ 为上述同构. 证明在此同构下, $\mathfrak{s}\mathfrak{o}(3)$ 在 ${\mathbb{R}}^3$ 上的标准作用由叉乘给出: $$a\cdot v=\phi (a)\times v,a\in \mathfrak{s}\mathfrak{o}(3),v\in {\mathbb{R}}^3.$$

解. $♡$ 这个问题本身只需直接验证. 下面对这个同构给出一个直观的解释.

首先来理解 $\mathrm{SO}(3)$ 的伴随作用 $\mathrm{Ad}g:\mathrm{SO}(3)\to \mathrm{SO}(3)$. $\mathrm{SO}(3)$ 除了单位元以外每个元素都是绕某轴的旋转. 用 $\rho (v,\theta )$ 表示以 $v\in {\mathbb{S}}^2$ 为轴逆时针旋转 $\theta$ 的变换, 那么对于 $g\in \mathrm{SO}(3)$, $\mathrm{Ad}g$ 的作用相当于用 $g$ 作用在旋转轴 $v$ 上: $$\mathrm{Ad}g(\rho (v,\theta ))=g\rho (v,\theta )g^{-1}=\rho (gv,\theta ).$$这从直观上是很好想象的. (从代数上也可以看出这个等式: 因为 $\rho (v,\theta )$ 的特征向量是 $v$, 所以 $g\rho (v,\theta )g^{-1}$ 的特征向量是 $gv$; 且旋转角 $\theta$ 的旋转的迹为 $1+2\cos \theta$, 共轭不改变迹, 这便确定了 $\mathrm{Ad}g(\rho (v,\theta ))=\rho (gv,\theta )$.)

接下来解释 $\mathfrak{s}\mathfrak{o}(3)$ 与 ${\mathbb{R}}^3$ 的对应. $\mathfrak{s}\mathfrak{o}(3)$ 是 $\mathrm{SO}(3)$ 单位元的 “无穷小邻域”, $\mathfrak{s}\mathfrak{o}(3)$ 的元素可以看作 “无穷小旋转”, 或者 “角速度”. 物理上用 ${\mathbb{R}}^3$ 中的向量表示角速度, 其方向表示无穷小旋转的旋转轴, 模长表示角速度的数值. 这便是 $\mathfrak{s}\mathfrak{o}(3)$ 与 ${\mathbb{R}}^3$ 的对应.

因为 $\mathrm{Ad}g:\mathrm{SO}(3)\to \mathrm{SO}(3)$ 相当于让 $g$ 作用在一个 (正常) 旋转的旋转轴上, 自然地, $\mathrm{Ad}g:\mathfrak{s}\mathfrak{o}(3)\to \mathfrak{s}\mathfrak{o}(3)$ 相当于让 $g$ 作用在一个无穷小旋转的旋转轴上. 而无穷小旋转的旋转轴给出 $\mathfrak{s}\mathfrak{o}(3)$ 与 ${\mathbb{R}}^3$ 的对应; 所以 $\mathrm{Ad}g$ 在 $\mathfrak{s}\mathfrak{o}(3)$ 上的作用对应的正是 $g$ 在 ${\mathbb{R}}^3$ 上的作用.

进一步, $\mathfrak{s}\mathfrak{o}(3)$ 的小 $\mathrm{ad}$ 表示是 $\mathrm{Ad}$ 的微分, 那么 $\mathrm{ad}x.y$ 是什么? 将 $y$ 看作 ${\mathbb{R}}^3$ 的元素, 那么 $\mathrm{ad}x$ 就是 ${\mathbb{R}}^3$ 上的一个无穷小旋转. 把它想象成角速度为 $x$ 的旋转运动, 那么 $\mathrm{ad}x.y$ 就表示向量 $y$ 在以角速度 $x$ 旋转运动时它末端的速度. 这便是物理上的叉乘 $x\times y$.

习题 11.3 (习题 3.6). 设 $P_n$ 为 $\mathbb{R}$ 上不超过 $n$ 次多项式的空间. Lie 群 $G=\mathbb{R}$ 作用在 $P_n$ 上: $$\rho (t)(f(x))=f(x+t).$$验证, 其对应的 Lie 代数作用为 ${\rho }_{\ast }(a)=a{\partial }_x,a\in \mathfrak{g}$. 由此推出 Taylor 公式$$f(x+t)=\sum _{k\ge 0}\frac{(t{\partial }_x{)}^{k}f}{k!}.$$

解. $♡$ $(\mathbb{R},+)$ 的指数映射是 $\exp (a)=a.$ 因此$$\begin{array}{rl}{\rho }_{\ast }(a)(f(x))& =\frac{d}{dt}{|}_{t=0}\rho (ta)(f(x))\\ & =\frac{d}{dt}{|}_{t=0}f(x+ta)\\ & =a{\partial }_{x}f(x).\end{array}$$由 $\exp$ 的自然性得$$\rho (t)=\rho (\exp (t))=\exp ({\rho }_{\ast }(t))=\sum _{k\ge 0}\frac{(t{\partial }_x{)}^k}{k!}.$$

习题 11.4 (习题 3.7). 设 $G$ 为 $\mathbb{R}$ 上形如 $x\mapsto ax+b(a\ne 0)$ 的函数构成的 Lie 群. 描述其 Lie 代数.

解. 用 $a\mathrm{i}\mathrm{d}+b$ 表示函数 $x\mapsto ax+b$. 简单的方法是考虑嵌入$$a\mathrm{i}\mathrm{d}+b\mapsto \left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& 1\end{array}\right),$$

$♡$ 这个嵌入可以这样理解: 考虑 $\mathbb{R}$ 到 ${\mathbb{R}}^2$ 嵌入 $i:x\mapsto (x,1)$, $\mathbb{R}$ 上的函数 $x\mapsto ax+b$ 便是 ${\mathbb{R}}^2$ 的线性变换 $\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\mapsto \left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ 在 $i(\mathbb{R})$ 上的限制.

从而 Lie 代数的基为$$e_1=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right),e_2=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$$Lie 括号$$\left[e_1,e_2\right]=e_1{e}_2-e_2{e}_1=e_2.$$

一种更直接的方法如下. 写出 “乘法” 法则$$(a\mathrm{i}\mathrm{d}+b)(c\mathrm{i}\mathrm{d}+d)=ac\mathrm{i}\mathrm{d}+ad+b.$$$G$ 的单位元是 $\mathrm{i}\mathrm{d}$, 单位元处切空间的一组基是 $\mathrm{i}\mathrm{d}$ 与 $1$. (此处切空间等同于 $\mathbb{R}$ 上形如 $x\mapsto ax+b$ 的函数的线性空间). 对应的单参数子群是 $\exp (s\mathrm{i}\mathrm{d})=e^s\mathrm{i}\mathrm{d}$, $\exp (t)=(\mathrm{i}\mathrm{d}+t)$. 由$$\begin{array}{rl}& \exp (s\mathrm{i}\mathrm{d})\exp (t)\exp (-s\mathrm{i}\mathrm{d})\exp (-t)\\ & =(e^s\mathrm{i}\mathrm{d})(\mathrm{i}\mathrm{d}+t)(e^{-s}\mathrm{i}\mathrm{d})(\mathrm{i}\mathrm{d}-t)\\ & =e^s(e^{-s}(\mathrm{i}\mathrm{d}-t)+t))\\ & =\mathrm{i}\mathrm{d}-t+e^{s}t\\ & =\exp (-t+e^{s}t)\\ & =\exp (st+\cdots ),\end{array}$$得 $[\mathrm{i}\mathrm{d},1]=1$.

习题 11.5 (习题 3.8). 考虑 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ 在 ${\mathbb{C}\mathbb{P}}^1$ 上的作用$$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)(x:y):=(ax+by:cx+dy).$$它定义了 $\mathfrak{g}=\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2,\mathbb{C})$ 通过向量场在 ${\mathbb{C}\mathbb{P}}^1$ 上的作用.

使用坐标 $t=x/y$, 写出 $h,e,f$ 具体的作用.

解. $$\begin{array}{rl}\exp (\tau h)& =\left(\begin{array}{cc}{e}^{\tau }& 0\\ 0& e^{-\tau }\end{array}\right),\\ \exp (\tau e)& =\left(\begin{array}{cc}1& \tau \\ 0& 1\end{array}\right),\\ \exp (\tau f)& =\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ \tau & 1\end{array}\right).\end{array}$$$h$ 对应的向量场是$$\frac{d}{d\tau }{|}_{\tau =0}\frac{e^{\tau }x}{e^{-\tau }y}=\frac{2x}{y}=2t,$$$e$ 对应的向量场是$$\frac{d}{d\tau }{|}_{\tau =0}\frac{x+\tau y}{y}=1,$$$f$ 对应的向量场是$$\frac{d}{d\tau }{|}_{\tau =0}\frac{x}{\tau x+y}=\frac{-x^2}{y^2}=-t^2.$$

习题 11.6 (习题 3.11). 考虑 $J_x=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& -1\\ 0& 1& 0\end{array}\right),J_y=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ -1& 0& 0\end{array}\right),J_z=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$ 构成 $\mathfrak{s}\mathfrak{o}(3,\mathbb{R})$ 的一组基. $\mathrm{SO}(3,\mathbb{R})$ 在 ${\mathbb{R}}^3$ 上的标准作用定义了 $\mathfrak{s}\mathfrak{o}(3,\mathbb{R})$ 通过向量场在 ${\mathbb{R}}^3$ 上的作用. 滥用记号, 我们仍用 $J_x,J_y,J_z$ 表示相应的向量场. 令 ${\Delta }_{\text{sph}}=J_x^2+J_y^2+J_z^2$, 这是 ${\mathbb{R}}^3$ 上一个二阶微分算子, 称为球面 Laplace 算子.

1.	用 $x,y,z,{\partial }_x,{\partial }_y,{\partial }_z$ 表示 ${\Delta }_{\text{sph}}$.
2.	证明 ${\Delta }_{\text{sph}}$ 作为球面 ${\mathbb{S}}^2$ 上的微分算子是良定义的, 即对 ${\mathbb{R}}^3$ 上函数 $f$, $({\Delta }_{\text{sph}}f){|}_{{\mathbb{S}}^2}$ 只依赖于 $f{|}_{{\mathbb{S}}^2}$.
3.	证明通常的 Laplace 算子 $\Delta ={\partial }_x^2+{\partial }_y^2+{\partial }_z^2$ 可被写成 $\Delta =\frac{1}{r^2}{\Delta }_{\text{sph}}+{\Delta }_{\text{radial}}$, 其中 ${\Delta }_{\text{radial}}$ 是一个用 $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ 和 $r{\partial }_r=x{\partial }_x+y{\partial }_y+z{\partial }_z$ 表示的微分算子.
4.	证明 ${\Delta }_{\text{sph}}$ 是旋转不变的: 对任何函数 $f$ 及 $g\in \mathrm{SO}(3,\mathbb{R})$, ${\Delta }_{\text{sph}}(gf)=g({\Delta }_{\text{sph}}f)$.

解.

$♠$ 我将滥用记号.

1.	计算得$$J_{x}f\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\frac{d}{dt}f\left(\exp (t{J}_x)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)\right){|}_{t=0}=\frac{d}{dt}f\left(\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos t& -\sin t\\ 0& \sin t& \cos t\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)\right){|}_{t=0}=\frac{d}{dt}f\left(\left(\begin{array}{c}x\\ \cos ty-\sin tz\\ \sin ty+\cos tz\end{array}\right)\right){|}_{t=0}=\left(y{\partial }_z-z{\partial }_y\right)f\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$$故 $J_x=y{\partial }_z-z{\partial }_y$. 类似可计算得 $J_y=z{\partial }_x-x{\partial }_z,J_z=x{\partial }_y-y{\partial }_x$. 因此$${\Delta }_{\text{sph}}=J_x^2+J_y^2+J_z^2=(y{\partial }_z-z{\partial }_y{)}^2+(z{\partial }_x-x{\partial }_z{)}^2+(x{\partial }_y-y{\partial }_x{)}^2=(y^2+z^2){\partial }_x^2+(z^2+x^2){\partial }_y^2+(x^2+y^2){\partial }_z^2-2(yz{\partial }_y{\partial }_z+zx{\partial }_z{\partial }_x+xy{\partial }_x{\partial }_y)-2(x{\partial }_x+y{\partial }_y+z{\partial }_z).$$
2.	将 ${\mathbb{R}}^3-\{(0,0,0)\}$ 用球坐标参数化, 具体来说是$${\mathbb{R}}_{>0}\times [0,\pi ]\times [0,2\pi )\to {\mathbb{R}}^3,(r,\theta ,\phi )\mapsto (r\sin \theta \cos \phi ,r\sin \theta \sin \phi ,r\cos \theta )$$在此坐标下, 我们能计算出$${\Delta }_{\text{sph}}=\frac{1}{\sin \theta }{\partial }_{\theta }(\sin \theta {\partial }_{\theta })+\frac{1}{{\sin }^2\theta }{\partial }_{\phi }^2,$$与 $r$ 无关. 详细的计算参考作业: 齐次函数与 Euler 公式.
3.	利用第一目的结果可算出$${\Delta }_{\text{radial}}=\frac{1}{r^2}\left[(r{\partial }_r{)}^2+r{\partial }_r\right].$$
4.	熟知 $\mathrm{SO}(3,\mathbb{R})$ 由 $\exp (t{J}_x),\exp (t{J}_y),\exp (t{J}_z)$ 生成, 一一验算即知. 另一种办法是证明 ${\Delta }_{\text{sph}}=J_x^2+J_y^2+J_z^2$ 是泛包络代数 $U\mathfrak{s}\mathfrak{o}(3,\mathbb{R})$ 的中心元素. 这也有两种方法: 直接计算或者应用 Casimir 元素的理论.

术语翻译

自然性 • 英文 naturality