流

流是微分几何中的概念, 直观地说, 给定微分流形上一个向量场, 会有唯一一族流形的自同构 (构成单参数子群), 使得此向量场是这一族自同构的无穷小生成元. 这一族自同构即称为流 (有时也将一点在这一族自同构下的像称为流).

在这样的观点之下, 微分流形的所有自同构是构成一个 (无穷维的) Lie 群, 此流形上所有向量场则构成它的 Lie 代数, 上述对应则是指数映射.

不过上面的直观未必严格, 因为这一族自同构由微分方程的解给出, 而相应的微分方程未必有解. 找出微分方程有解的区域, 则会有相应的一族映射 (虽然未必是自同构), 这即是局部流.

在微分几何中流很常用, 例如一个张量场 (例如向量场) 对于一个向量场的 Lie 导数就是它在这个向量场生成的流下的变化率.

1定义

我们首先引入较强的流的定义.

定义 1.1 (流). 对光滑流形 $M$ 和它上面的向量场 $X$, 一族 $M$ 的自同构 $\{{\theta }_t{\}}_{t\in \mathbb{R}}$ 称为向量场 $X$ 的流, 如果:

•	${\theta }_t$ 是 $\mathbb{R}\to \mathrm{Aut}(M)$ 的同态, $${\theta }_t({\theta }_s(p))={\theta }_{t+s}(p),\forall p\in M,$$且它诱导的映射 $\mathbb{R}\times M\to M$ 光滑. 即这一族自同态构成了 $\mathrm{Aut}(M)$ 的单参数子群.
•	$X$ 是此单参数子群的无穷小生成元, 即$$X(p)=\frac{d{\theta }_t(p)}{dt}{|}_{t=0},\forall p\in M.$$

注 1.2. 上面的定义可以推广到 Banach 流形, 相应的理论是类似的.

然而这样一族映射未必存在, 例如:

例 1.3. 取 $M=\mathbb{R}$, $X(x)=x^2$, 则可以看出相应的流是方程$$\frac{d{\theta }_t(x)}{dt}=({\theta }_t(x){)}^2,{\theta }_0(x)=x$$的解, 并不是对所有的 $t$ 都存在.

不过 (光滑的) 常微分方程的解总是局部存在, 因此我们引入局部流的概念.

定义 1.4 (局部流、流域). 对向量场 $X$, 给定 $\mathbb{R}\times M$ 中包含 $0\times M$ 的开集 $\mathcal{D}$, 称为流域, 向量场 $X$ 在此流域 $\mathcal{D}$ 上的局部流为光滑映射 $\theta :\mathcal{D}\to M$, 满足

•	$\theta (0,p)=p$, $\forall p\in M$.
•	$\theta (t,\theta (s,p))=\theta (t+s,p)$. 对任意有定义的 $p\in M$, $t,s\in \mathbb{R}$ 成立.

2例子

Lie 代数到 Lie 群的指数映射即可通过流的方法构造.

例 2.1. 设 $G$ 是 Lie 群, $\mathfrak{g}$ 是它的 Lie 代数. 元素 $x\in \mathfrak{g}$ 对应于 $G$ 上的左不变向量场 $X$. 则 $X$ 相应的流 ${\theta }_t$ 存在, 且原点在流下的像 ${\theta }_t(e)$ 是 (或者说定义为) 指数映射 $\exp (tx)$.

另一方面, 通过类比也可以将 $M$ 的所有自同构视为一个 Lie 群, $M$ 上的向量场视为它的 Lie 代数, 则流相当于指数映射, 并满足相似的性质.

3性质

由常微分方程理论, 可以得到流的存在唯一性.

定理 3.1 (流的存在唯一性). 设 $X$ 是流形 $M$ 上的向量场, 则存在最大的流域 $\mathcal{D}\subset \mathbb{R}\times M$ 与唯一的流 $\theta :\mathcal{D}\to M$ 对应于它. 如果流形 $M$ 是紧的, 则流域可以取为 $\mathbb{R}\times M$, 即局部流成为真正的流.

证明. 可以看出 ${\theta }_t$ 满足条件当且仅当下面的常微分方程成立: (把局部坐标写出来, 可以发现它确实是个常微分方程) $$\frac{d{\theta }_t(p)}{dt}=X({\theta }_t(p)),\forall t\in \mathbb{R},p\in M.$$由常微分方程的解的存在唯一性, 定理成立.

$\square$

正如上面所说, 流和指数映射有相似的性质 (或者说指数映射的性质由流的相应性质推出), 例如

命题 3.2. 流的乘法交换子对应于相应向量场的 Lie 括号, 即对向量场 $X$, $Y$, 设它们对应的 (局部) 流为 ${\theta }_X$, ${\theta }_Y$, 则$$\frac{{\partial }^2{\theta }_{X,s}{\theta }_{Y,t}{\theta }_{X,-s}{\theta }_{Y,-t}(p)}{\partial s\partial t}{|}_{s,t=0}=[X,Y](p).$$

4相关概念

•	Lie 导数
•	指数映射

5参考文献

(...)

术语翻译

流 • 英文 flow • 德文 Fluss (m) • 法文 flot (m), coulée (f), courant (m) • 拉丁文 fluxus (m)

无穷小生成元 • 英文 infinitesimal generator • 法文 générateur infinitésimal

流域 • 英文 flow domain • 法文 domaine de définition du flot