用户: Solution/ 习题: 代数几何初步(2024秋)/Problem Set 2

习题 1 (正向层). 设 $f:X\to Y$ 是一个连续映射, $\mathcal{F}$ 是 $X$ 上的预层. 按如下方式定义 $f_{\ast }\mathcal{F}:$ 对 $X$ 中的开集 $V$, 令 $f_{\ast }\mathcal{F}(V)=\mathcal{F}\left(f^{-1}(V)\right)$ .

1.	证明 $f_{\ast }\mathcal{F}$ 是一个预层, 且如果 $\mathcal{F}$ 是层, 那么 $f_{\ast }\mathcal{F}$ 也是. 我们称 $f_{\ast }\mathcal{F}$ 为正向层或 $\mathcal{F}$ 关于 $f$ 的推出.
2.	设 $f(p)=q$, 试描述茎上的自然的映射 ${\left(f_{\ast }\mathcal{F}(V)\right)}_q\to {\mathcal{F}}_p$.

证明.

证明. 对 $V^{\prime \prime }\subseteq V^{\prime }\subseteq V$, $U:=f^{-1}(V)$, 有交换图由余极限的定义知这诱导了映射 ${\underrightarrow{\lim }}_{q\in V}{f}_{\ast }\mathcal{F}(V)=(f_{\ast }\mathcal{F}(V){)}_q\to {\mathcal{F}}_p={\underrightarrow{\lim }}_{p\in U}\mathcal{F}(U)$.

$\square$

习题 2 ($\mathrm{Hom}$ 层). 假设 $\mathcal{F}$ 和 $\mathcal{G}$ 是 $X$ 上的两个集合的层. 定义 $\mathcal{H}om(\mathcal{F},\mathcal{G})$ 为$$\mathcal{H}om(\mathcal{F},\mathcal{G})(U):=\mathrm{Mor}({\mathcal{F}|}_U,{\mathcal{G}|}_U).$$证明这是 $X$ 上的一个集合的层. 这个层被称为 $\mathbf{Hom}$ 层. 注意: $\mathcal{H}om$ 不与取茎交换. 更确切地说, $\mathcal{H}om(\mathcal{F},\mathcal{G}{)}_p$ 并不与 $\mathrm{Hom}({\mathcal{F}}_p,{\mathcal{G}}_p)$ 同构, 试找出一个反例.

证明.

证明. 考虑 $X=\mathbb{R}$, $\mathcal{F}(V)=\mathcal{G}(V)=\{\begin{array}{ll}\mathbb{Z}& 0\notin V,\\ 0& 0\in V,\end{array}$ 限制映射为恒等映射或零映射. 则对 $0$ 的任一开邻域 $U$, $\mathcal{F}{\mid }_U$ 不是平凡层, 故 $\mathrm{Hom}(\mathcal{F},\mathcal{F}{)}_0={\underrightarrow{\lim }}_{0\in U}\mathrm{Hom}(\mathcal{F}{\mid }_U,\mathcal{F}{\mid }_U)\ne 0$; 另一方面, $\mathrm{Hom}({\mathcal{F}}_0,{\mathcal{F}}_0)=0$. 此为一个反例.

$\square$

习题 3 (摩天大楼层). 假设 $X$ 是一个拓扑空间, $p\in X$, 且 $S$ 是一个集合. 令 $i_p:p\to X$ 为包含映射. 定义 $i_{p,\ast }S$ 由$$i_{p,\ast }S(U)=\{\begin{array}{ll}S& \text{ 如果 }p\in U,\\ \{\ast \}& \text{ 如果 }p\notin U\end{array}$$给出, 这里 $\{\ast \}$ 是任何单元素集合. 证明 $i_{p,\ast }S$ 是一个层. 这被称为支撑在 $\mathbf{p}$ 的摩天大楼层. 注意: 摩天大楼层的唯一非平凡茎在 $p$, 这一说法并不正确, 试给出反例.

证明.

证明. 由定义知 $i_{p,\ast }S$ 是 $\{p\}$ 上的常值层 $S$ 在映射 $i_p:\{p\}\hookrightarrow X$ 下的直接像, 因此由习题 1 知其是一个层; 考虑任意一个不可约概形 (或一个诺特拓扑空间) 及其一般点 $p$ 的嵌入 $i_p:p\hookrightarrow X$, 则由于 $\overline{\{p\}}=X$, 知对任意开集 $U\subseteq X$, $i_{p,\ast }S(U)=S$, 所以 $(i_{p,\ast }S{)}_x=S$, $\forall x\in X$.

$\square$

习题 4 (可构造集). 设 $X$ 是一个诺特拓扑空间, 满足以下条件的最小的子集族中的元素称为可构造集:

•	每一个开集都在这个子集族中,
•	子集族中的集合的有限交集也在族中,
•	子集族中的集合的补集也在族中.

请证明如下事实:

1.	可构造集是局部闭集的有限并.
2.	证明 ${\mathbb{A}}_k^1$ 中的一般点 (generic point) 不构成一个可构造集.
3.	如果 $X$ 是诺特概形, $Z\subset X$ 是一个可构造子集, 那么 $Z$ 是闭集当且仅当 $Z$ 在特殊化下稳定, 即如果 $x_1,x_2$ 是 $X$ 中两点且满足 $x_1\in \overline{x_2}$, 那么 $x_2\in Z$ 蕴含 $x_1\in Z$.

见 [GöWe20] pp.249-251.

习题 5 (Grothendieck 一般点自由引理). 如果一个 $B$ 代数 $A$ 满足, 对任意有限生成的 $A$ 模 $M$ 都存在 $B$ 中非零元 $f$ 使得 $M_f$ 是自由 $B_f$ 模, 那么我们称 $A$ 有性质 $(†)$. 下面我们分步骤证明如果 $B$ 是一个诺特整环, 那么任意的有限生成 $B$ 代数都有性质 $(†)$.

1.	证明 $B$ 本身满足性质 $(†)$.
2.	说明我们只需证明如下事实即可: 如果一个有限生成 $B$ 代数 $A$ 有性质 $(†)$, 那么 $A[T]$ 也有. 下面几条致力于证明此事实.
3.	设 $M$ 是有限生成的 $A[T]$ 模, 生成元集是有限集 $S$. 令 $M_0=0$, $M_1$ 是由 $S$ 生成的 $M$ 作为 $A$ 模的子模. 对 $n>0$, 我们定义 $M$ 作为 $A$ 模的子模$$M_{n+1}=M_n+T{M}_n.$$证明乘 $T$ 给出了如下满射$${\psi }_n:M_n/M_{n-1}\to M_{n+1}/M_n.$$
4.	证明 $n$ 充分大时, ${\psi }_n$ 是同构.
5.	证明存在 $f\in B$ 使得对任意 $i$, 都有 ${\left(M_{i+1}/M_i\right)}_f$ 是自由 $B_f$ 模.
6.	(这是一般性结果) 设 $M$ 是一个 $B$ 模, 且 $M=\bigcup M_i$, 其中 $M_i\subset M_{i+1}\subset M$ 是子模. 如果 $M_0=0$ 且 $M_{i+1}/M_i$ 是自由 $B$ 模, 证明 $M$ 也是自由模.

综合以上, 可得出结论.

见 广泛自由.

习题 6 (Chevalley 定理). 如果 $f:X\to Y$ 是一个诺特概形间的有限型态射, 那么任意可构造集的像是可构造集. 特别地, $f$ 的像是可构造集. 分以下步骤证明.

1.	如果 $Y$ 不可约. 证明存在 $Y$ 中稠密开集 $U$ 使得 $f$ 的像要么包含 $U$ 要么和 $U$ 不交. (提示: 用上一题的结论)
2.	说明只需要证明 $f$ 的像是可构造集即可.
3.	说明可以假设 $Y$ 和 $X$ 都是仿射概形.
4.	使用诺特归纳法, 并将问题约化至 (1).

见 [GöWe20] 定理 10.20.

习题 7 (闭嵌入). 设 $B\to A$ 是一个环之间的满同态. 证明对应的态射 $\mathrm{Spec}A\to \mathrm{Spec}B$ 是闭嵌入.

见 [GöWe20] 定理 3.42.

习题 8 (粘合概形). 如果概形集合 $\left\{X_i\right\}$ 满足:

•	概形 $X_i,i\in I$, 其中 $I$ 不一定是有限集.
•	一些开子概形 $X_{ij}\subset X_i$, 其中 $X_{ii}=X_i$.
•	一些同构 $f_{ij}:X_{ij}\to X_{ji}$, 其中 $f_{ii}=id$.
•	(闭链条件) 我们有 $f_{ik}{|}_{X_{ij}\cap X_{ik}}=f_{jk}{|}_{X_{ji}\cap X_{jk}}\circ f_{ij}{|}_{X_{ij}\cap X_{ik}}$.

证明你可以将这些概形集合粘合在一起.

习题 9 (粘合态射). 设 $X$ 和 $Y$ 是两个概形. $X=\bigcup U_i$ 是一个开覆盖. 假设我们有一些概形间的态射 $f_i:U_i\to Y$ 且它们在公共部分相容, 即 ${f_i|}_{U_i\cap U_j}={f_j|}_{U_i\cap U_j}$, 证明存在唯一的态射 $f:X\to Y$ 使得 ${f|}_{U_i}=f_i$.

习题 10 (闭嵌入对应的理想层).

1.	设 $X\hookrightarrow Y$ 是一个闭嵌入, ${\mathcal{J}}_{X/Y}$ 是对应的理想层. 假设 $\mathrm{Spec}B\hookrightarrow Y$ 是一个仿射开集. 那么我们可以得到理想 $I(B)\subset B$. 对 $f\in B$, 证明有一个自然的同构 $I(B{)}_f\to I(B_f)$.
2.	(困难) 反过来, 如果我们有 $Y$ 是一个概形, 对 $Y$ 的任意仿射开集 $\mathrm{Spec}B\hookrightarrow Y$ 指定一个理想 $I(B)\subset B$. 且对任意的 $f\in B$ 局部化 $B\to B_f$ 给出了同构 $I(B{)}_f\to I(B_f)$. 证明以上信息粘合成了唯一的闭子概形 $X\hookrightarrow Y$.

见 [GöWe20] 命题 7.33.

习题 11 (有限态射).

1.	证明有限态射是颇合的 (proper) .
2.	如果 $f:X\to Y$ 是一个仿射概形间的颇合态射, 证明 $f$ 是有限态射.

见 [GöWe20] 推论 12.89.

参考文献

[GöWe20]

Ulrich Görtz, Torsten Wedhorn. Algebraic Geometry I: Schemes. Springer Studium Mathematik. Springer, 2020.