广泛自由

约定. 在本文中,

• 所有环都是交换环.

广泛自由, 又称 Grothendieck 广泛自由, 是个交换代数引理. 它是说在合适的有限性条件下, 一个环上的模在适当的局部化后 (即限制到其谱的某个开集后) 自由.

1陈述

广泛自由最一般的版本如下:

定理 1.1. $R$ 是非零既约环, $A$ 是有限生成 $R$-代数, $M$ 是有限生成 $A$-模. 则存在非零 $r\in R$, 满足

•	$A_r$ 是有限表现 $R_r$-代数.
•	$M_r$ 是有限表现 $A_r$-模.
•	$M_r$ 是自由 $R_r$-模.

注 1.2. 由于既约和有限生成都被局部化保持, 定理实际上推出, 对任一非零 $r\in R$, 存在非零 $s\in R_r$, 满足

•	$(A_r{)}_s$ 是有限表现 $(R_r{)}_s$-代数.
•	$(M_r{)}_s$ 是有限表现 $(A_r{)}_s$-模.
•	$(M_r{)}_s$ 是自由 $(R_r{)}_s$-模.

翻译到素谱上, 这相当于说, 对 $\mathrm{Spec}R$ 的任一非空主开集 $V$, 存在 $V$ 的非空主开集 $W$, 使得 $A$ 和 $M$ 在 $W$ 的限制满足上述条件. 换言之, 所有这样的 $W$ 的并集稠密, 亦即存在稠密开集 $U\subseteq \mathrm{Spec}R$, 满足概形 $(\mathrm{Spec}A{)}_U$ 在 $U$ 上有限表现, 其上拟凝聚层 $M_U$ 为局部有限表现, 且其在 $U$ 的前推为局部自由. 这解释了定理名称: $R$ 上有限生成代数上的有限生成模在 $\mathrm{Spec}R$ 中很广泛的地方局部自由.

2证明

对非零既约环 $R$ 及其有限生成代数 $A$, 我们以 $({\ast }_{R,A})$ 记命题 “对任一非零元 $r\in R$, 定理 1.1 对 $R_r$ 和 $A_r$ 成立.”

引理 2.1. 只要有 $({\ast }_{R,R})$ 和 $({\ast }_{R,A})⟹({\ast }_{R,A[x]})$, 就有定理 1.1 成立.

证明. 引理的条件说明 $({\ast }_{R,R[x_1,\dots ,x_n]})$ 成立. 对一般有限生成代数 $A$ 及其有限生成模 $M$, 取满射 $R[x_1,\dots ,x_n]\to A$. 对 $R[x_1,\dots ,x_n]$-模 $A$ 用 $({\ast }_{R,R[x_1,\dots ,x_n]})$, 把 $R$ 局部化一个非零元, 可把 $A$ 变为有限表现代数. 对 $R[x_1,\dots ,x_n]$-模 $M$ 用 $({\ast }_{R,R[x_1,\dots ,x_n]})$, 知把 $R$ 再局部化一个非零元之后, $M$ 为有限表现 $R[x_1,\dots ,x_n]$-模, 在 $R$ 上自由; 由张量积右正合易知此时 $M$ 也是有限表现 $A$-模.

$\square$

命题 2.2. $({\ast }_{R,R})$ 成立.

证明. 取有限生成 $R$-模 $M$, 设其为 $n$ 元生成, 对 $n$ 归纳. $n=0$ 时不用证. $n>0$ 时设生成元为 $m_1,\dots ,m_n$, 对应满射 $R^n\to M$. 如它也是单射则命题成立. 如不是, 则有非平凡关系 ${\sum }_{i=1}^n{a}_i{m}_i=0$, 不妨设 $a_n\ne 0$. 此时 $M_{a_n}$ 在 $R_{a_n}$ 上由 $m_1,\dots ,m_{n-1}$ 生成, 由归纳假设即得结论.

$\square$

命题 2.3. $({\ast }_{R,A})⟹({\ast }_{R,A[x]})$.

证明. 取 $M$ 的 $A[x]$-模生成元 $m_1,\dots ,m_n$, 记这些元素作为 $A$-模生成的子模为 $M_0$, 并归纳定义 $M_{k+1}=M_k+x{M}_k$, 则 $M={\bigcup }_{k=0}^{\infty }{M}_k$. 由条件, 把 $R$ 局部化一个非零元, 可设 $A$ 为有限表现 $R$-代数, $M_0$ 为有限表现 $A$-模, 且为自由 $R$-模. 考虑 $A$-模列$$M_0\to M_1/M_0\to M_2/M_1\to \cdots$$其中箭头都是乘以 $x$. 则由构造, 这些映射都是满射. 记其余极限为 $N$, 则 $M_0\to N$ 为满射, 从而 $N$ 为有限生成. 再用条件把 $R$ 局部化一个非零元, 可设 $N$ 为有限表现, 即 $\ker (M_0\to N)$ 有限生成. 由于 $\ker (M_0\to N)={\bigcup }_{k=0}^{\infty }\ker (M_0\to M_{k+1}/M_k)$, 这说明存在 $\ell \in \mathbb{N}$, $\ker (M_0\to N)=\ker (M_0\to M_{\ell +1}/M_{\ell })$, 即映射$$M_{\ell +1}/M_{\ell }\to M_{\ell +2}/M_{\ell +1}\to \cdots$$都是同构. 由于 $M_1/M_0,M_2/M_1,\dots ,M_{\ell +1}/M_{\ell }$ 都是有限生成 $A$-模, 用条件有限次, 进一步局部化 $R$, 可设它们都是有限表现 $A$-模, 且是自由 $R$-模. 这样 $M_0$ 是自由 $R$-模, 各个 $M_{k+1}/M_k$ 是自由 $R$-模, 而 $M={\mathrm{colim}}_k{M}_k$, 故 $M$ 也是自由 $R$-模. 现在只剩证明, 再把 $R$ 局部化一个非零元之后, $M$ 会成为有限表现 $A[x]$-模. 由于 $M$ 是 $(m_1,\dots ,m_i)/(m_1,\dots ,m_{i-1})$, $i=1,\dots ,n$ 的扩张, 有限表现模的扩张有限表现, 故可设 $M$ 为一元生成. 相当于需要证明, 任一理想 $I\subseteq A[x]$, 在把 $R$ 局部化一个非零元之后, 成为有限生成. 为此我们照搬 Hilbert 基定理的证明:

考虑 $I$ 中各元素的首项系数构成的理想 $J\subseteq A$, 则对 $A$-模 $A/J$ 用条件, 把 $R$ 局部化一个非零元, 可设 $J$ 为有限生成, 设 $J=(a_1,\dots ,a_m)$. 取 $f_1,\dots ,f_m\in I$, 首项系数分别为 $a_1,\dots ,a_m$, 设其次数分别为 $n_1,\dots ,n_m$, 并取 $N=\max \{n_1,\dots ,n_m\}$. 令 $A[x{]}_{<N}$ 为次数小于 $n$ 的多项式构成的 $A$-模, 记 $I_{<N}=I\cap A[x{]}_{<N}$. 对 $A[x{]}_{<N}/I_{<N}$ 用条件, 把 $R$ 局部化一个非零元, 可设 $I_{<N}$ 作为 $A$-模有限生成, 设其生成元为 $g_1,\dots ,g_c$. 不难发现 $I=(f_1,\dots ,f_m,g_1,\dots ,g_c)$, 为有限生成.

$\square$

这样就完成了定理 1.1 的证明. 这里既约性是用来保证非零环局部化一个非零元还非零.

3应用

4相关概念

•

广泛平坦

术语翻译

广泛自由 • 英文 generic freeness • 德文 generische Freiheit • 法文 liberté générique