用户: Solution/ 习题: 微分流形上课习题

1.	验证 ${\mathbf{C}}^n$ 上所有多元全纯函数所构成的集合 $\mathcal{O}$ 是一个环.
Pf:	对于 $f,g\in \mathcal{O}$, 即 $f,g$ 满足 Cauchy-Riemann 方程组, 这等价于 $f,g$ 作为每个分量的函数 (如 $f(\cdot ,z_2,\cdots ,z_n)$, $z_2,\cdots ,z_n\in \mathbf{C}$ 固定) 满足 Cauchy-Riemann 方程, 则 $f,g$ 作为每个分量的函数全纯, 于是 $f+g,fg$ 作为每个分量的函数也全纯, 那么 $f+g,fg$ 也满足 Cauchy-Riemann 方程组, 得到 $f+g,fg\in \mathcal{O}$. 或使用 $f\in \mathcal{O}$ 等价于 $f$ 复可微 (即 $f(z+\Delta z)=f(z)+f^{\prime }(z)\cdot \Delta z+o(\Delta z)$ 当 $\Delta z\to 0$) , 复可微函数相加、相乘所得函数复可微.
2.	设 $f:M^m\to N^n$ 在 $p$ 点是淹没, 则存在 $p$ 点附近的局部坐标卡 $(U,\phi )$ 和 $q=f(p)$ 点附近的局部坐标卡 $(V,\psi )$ 使 $\psi \circ f\circ {\phi }^{-1}:\phi (U)\to \psi (V)$ 的表达式为 $(x_1,\cdots ,x_m)\mapsto (x_1,\cdots ,x_n)$.
Pf:	设 $p$ 点附近有局部坐标卡 $(U^{\prime },{\phi }^{\prime })$, $q$ 点附近有局部坐标卡 $(V^{\prime },{\psi }^{\prime })$, ${\psi }^{\prime }\circ f\circ {\phi }^{-1}:\phi (U^{\prime })\to {\psi }^{\prime }(V),(x_1,\cdots ,x_m)\mapsto (y_1,\cdots ,y_n)$ 的 Jacobi 矩阵 $J$ 在 $p$ 点满秩. 通过调整 ${\phi }^{\prime }$ 坐标分量的次序 (记为 $\phi$) , 不妨设 $J$ 左边的 $n\times n$ 子方阵非奇异, 由隐函数定理, 存在 $f(p)$ 的邻域 $V\subset V^{\prime }$ 与 $p$ 的邻域 $U\subset U^{\prime }$ 使得有微分同胚 $F:\psi (V)\to \phi (U),(y_1,\cdots ,y_n)\mapsto (x_1,\cdots ,x_n)$. 令 $\psi =F\circ {\psi }^{\prime }$ 即可, $\psi \circ f\circ {\phi }^{-1}=F\circ ({\psi }^{\prime }\circ f\circ {\phi }^{-1})$.
注:	更一般的结论称为常秩定理: 设 $f$ 在 $p$ 点的秩为 $r$, 则 $f$ 在合适的局部坐标系下的表达式为 $(x_1,\cdots ,x_r,x_{r+1},\cdots ,x_m)\mapsto (x_1,\cdots ,x_r,0,\cdots ,0)$.
3.	证明光滑流形 (复流形) 上的光滑向量丛 (全纯向量丛)$E$ 是光滑流形 (复流形).
Pf:	设此向量丛为 $(E,\pi ,M)$, $\left\{(U_{\alpha },{\psi }_{\alpha })\right\}$ 是覆盖流形 $M$ 的一族 (较细的) 坐标卡, 使得 $U_{\alpha }\times {\mathbf{R}}^n$($U_{\alpha }\times {\mathbf{C}}^n$) 与 ${\pi }^{-1}(U_{\alpha })$ 的同胚, 记为 ${\phi }_{\alpha }$. 那么 $\left\{({\pi }^{-1}(U_{\alpha }),({\psi }_{\alpha }\times \mathrm{id})\circ {\phi }_{\alpha }^{-1}\right\}$ 就是覆盖 $E={\pi }^{-1}(M)$ 的一族坐标卡, 且对于 $U_{\alpha \beta }:=U_{\alpha }\cap U_{\beta }\ne \varnothing$, 转移函数 $(({\psi }_{\beta }\times \mathrm{id})\circ {\phi }_{\beta }^{-1}\circ {\phi }_{\alpha }\circ ({\psi }_{\alpha }^{-1}\times \mathrm{id}))(x,v)=(({\psi }_{\beta }\circ {\psi }_{\alpha }^{-1})(x),g_{\alpha \beta }({\psi }_{\alpha }^{-1}(x))v)$ 是 ${\psi }_{\alpha }(U_{\alpha \beta })\times {\mathbf{R}}^{\mathbf{n}}$ 到 ${\psi }_{\beta }(U_{\alpha \beta })\times {\mathbf{R}}^{\mathbf{n}}$ 的光滑函数 (全纯函数), 其中 $g_{\alpha \beta }(p)={\phi }_{\beta }^{-1}\circ {\phi }_{\alpha }{|}_{p\times {\mathbf{R}}^n}$ 是光滑函数 (全纯函数).
4.	验证: 由 “万有性质” 定义的张量积是唯一的 (同构意义下) .
Pf:	设 $(T(V,V^{\prime }),i)$ 和 $(T^{\prime }(V,V^{\prime }),i^{\prime })$ 是 $V$ 和 $V^{\prime }$ 的两个张量积, 由万有性质, 存在 $T(V,V^{\prime })$ 到 $T^{\prime }(V,V^{\prime })$ 的线性映射 $f$ 使得 $i\circ f=i^{\prime }$ 以及 $T^{\prime }(V,V^{\prime })$ 到 $T(V,V^{\prime })$ 的线性映射 $f^{\prime }$ 使得 $i^{\prime }\circ f^{\prime }=i$. 那么, $i=i^{\prime }\circ f=i\circ f\circ f^{\prime }$, 再根据万有性质, 使得 $i=i\circ g$ 的线性映射 $g:T(V,V^{\prime })\to T(V,V^{\prime })$ 是唯一的, 因此 $f\circ f^{\prime }={\mathrm{id}}_{T(V,V^{\prime })}$. 同理有 $f^{\prime }\circ f={\mathrm{id}}_{T^{\prime }(V,V^{\prime })}$, 所以 $T(V,V^{\prime })$ 与 $T^{\prime }(V,V^{\prime })$ 同构.
5.	证明: 若同一底空间 $B$ 上的三个向量丛满足 $0\to E_1\stackrel{f_1}{\to }{E}_2\stackrel{f_2}{\to }{E}_3\to 0$ 正合, 则 $E_1$ 可看作 $E_2$ 的子丛 (即 $f_1(E_1)$ 是 $E_2$ 的子丛) , $E_3$ 丛同构于 $E_2/E_1$ 这个商丛.
Pf:	对任何 $b\in B$, $f_1((E_1{)}_b)\subset (E_2{)}_b$, 所以 $f_1(E_1)\subset E_2$. 由于线性映射 $f_1:(E_1{)}_b\to f_1((E_1{)}_b)$ 既单又满, 即是同构, 所以可以把 $E_1$ 看作 $f(E_1)$. 对任何 $b\in B$, 由 $\mathrm{im}{f}_1{|}_b=\ker f_2{|}_b$ 及同态基本定理, $(E_2{)}_b/(E_1{)}_b\simeq (E_2{)}_b/f_1((E_1{)}_b)\simeq (E_2{)}_b/\ker f_2{|}_b\simeq \mathrm{im}{f}_2{|}_b=(E_3{)}_b$, 不难验证这些纤维的同构拼在一起就是 $E_3=\bigcup _{b\in B}{E}_b$ 与 $E_2/E_1$ 之间的丛同构.
6.	设 $M$ 是光滑流形, 正向集 $I=\{U\text{ 为 }M\text{ 的开集}\}$, $U\le V$ 当且仅当 $V\subseteq U$. 环 $A_U:=C^{\infty }(U)$. (1) 对 $U\le V$, 定义 $i_{UV}:A_U\to A_V,f\mapsto f{|}_V$, 验证 $\{(A_U,i_{UV})\}$ 是正向系统. (2) 设 $\{\mathcal{F}(U){\}}_{U\in I}$ 是 $U$ 上的导算子模, 对 $U\le V$, 定义 $i_{UV}:\mathcal{F}(U)\to \mathcal{F}(V),D_U\mapsto D_U{|}_V$, 验证 $\{(\mathcal{F}(U),i_{UV})\}$ 是正向系统.
Pf:	(1) $i_{UU}={\mathrm{id}}_U$. 对 $U\le V\le W$ (即 $W\subset V\subset U$) , $(i_{UV}\circ i_{VW})(f)=(f{|}_V){|}_W=f{|}_W=i_{UW}f$. (2) $i_{UU}(D_U)=D_U{|}_U=D_U$. 要说明对 $U\le V\le W$ 有 $(i_{UV}\circ i_{VW})D_U=i_{UW}{D}_U$, 也就是验证对任意 $p\in W$ 与 $f\in C^{\infty }(U)$, $((D_U{|}_V){|}_{W}f)(p)=(D_U{|}_{W}f)(p)$. 取 $p$ 的邻域 $X$ 使 $\overline{X}\subset W$, 存在 $\eta \in C^{\infty }(M)$ 使得 $\eta {|}_X\equiv 1$, $\eta {|}_{M\backslash W}\equiv 0$, 那么也有 $\overline{X}\subset V$ 且 $\eta {|}_{M\backslash V}\equiv 0$, 于是 $((D_U{|}_V){|}_{W}f)(p)=(\eta (D_U{|}_V)f)(p)=({\eta }^2{D}_{U}f)(p)$. 又由 ${\eta }^2\in C^{\infty }(M)$ 也使得 ${\eta }^2{|}_X\equiv 1$, ${\eta }^2{|}_{M\backslash W}\equiv 0$, 得到 $((D_U{|}_W)f)(p)=({\eta }^2{D}_{U}f)(p)$.
7.	根据外微分的延拓的定义, 证明$$⟨dw,X_0,\cdots ,X_k⟩=\sum _{i=0}^k(-1{)}^i{X}_i⟨w,X_0,\cdots ,\widehat{X_i},\cdots ,X_k⟩+\sum _{i<j}(-1{)}^{i+j}⟨w,[X_i,X_j],X_0,\cdots ,\widehat{X_i},\cdots ,\widehat{X_j},\cdots ,X_k⟩.$$
Pf:	见陈维桓《微分流形初步》第 4 章定理 2.2 (P188) .
8.	对于外微分 $d$ 作用在 $k$ 次微分式形式 $\omega$ 的表达式$$⟨dw,X_0,\cdots ,X_k⟩=\sum _{i=0}^k(-1{)}^i{X}_i⟨w,X_0,\cdots ,\widehat{X_i},\cdots ,X_k⟩+\sum _{i<j}(-1{)}^{i+j}⟨w,[X_i,X_j],X_0,\cdots ,\widehat{X_i},\cdots ,\widehat{X_j},\cdots ,X_k⟩,$$验证 $d(\omega \wedge \eta )=d\omega \wedge \eta ＋(-1{)}^k\omega \wedge d\eta$.
Pf:	在上一题中我们已经证明了表达式不依赖于局部坐标的选取, 因此可以用局部坐标的表达式完成这一问的证明.
9.	可微流形之间的光滑映射 $f,g:M\to N$ 称为同伦, 如果有一个光滑映射$$H:I\times M\to N,$$使得: $H(0,x)=f(x)$, $H(1,x)=g(x)$, 其中 $I=[0,1]$. 对于 $k$- 形式 $\omega$, 定义对于 $(k-1)$- 形式 $I\omega$ 为$$⟨I\omega ,v_1,\cdots ,v_{k-1}⟩(x)={\int }_0^1⟨H^{\ast }\omega ,\frac{\partial }{\partial t},v_1,\cdots ,v_{k-1}⟩(t,x)dt.$$证明: $$g^{\ast }\omega -f^{\ast }\omega =dI\omega +Id\omega .$$
Pf:	设 $v_1,\cdots ,v_k\in \Gamma (N)$, 有$$\begin{array}{rl}⟨dI\omega ,v_1,\cdots ,v_k⟩(x)& =\sum _{i=1}^k(-1{)}^{i-1}{v}_i⟨I\omega ,v_1,\cdots ,\widehat{v_i},\cdots ,v_k⟩(x)+\sum _{i<j}(-1{)}^{i+j}⟨I\omega ,[v_i,v_j],\cdots ,\widehat{v_i},\cdots ,\widehat{v_j},\cdots ⟩(x)\\ & =\sum _{i=1}^k(-1{)}^{i-1}{v}_i{\int }_0^1⟨H^{\ast }\omega ,\frac{\partial }{\partial t},v_1,\cdots ,\widehat{v_i},\cdots ,v_k⟩(t,x)dt\\ & +\sum _{i<j}(-1{)}^{i+j}{\int }_0^1⟨H^{\ast }\omega ,\frac{\partial }{\partial t},[v_i,v_j],\cdots ,\widehat{v_i},\cdots ,\widehat{v_j},\cdots ⟩(t,x)dt,\\ ⟨Id\omega ,v_1,\cdots ,v_k⟩(x)& ={\int }_0^1⟨H^{\ast }d\omega ,\frac{\partial }{\partial t},v_1,\cdots ,v_k⟩(t,x)dt\\ & ={\int }_0^1⟨d{H}^{\ast }\omega ,\frac{\partial }{\partial t},v_1,\cdots ,v_k⟩(t,x)dt\\ & ={\int }_0^1\frac{\partial }{\partial t}⟨H^{\ast }\omega ,v_1,\cdots ,v_k⟩(t,x)dt+\sum _{i=1}^k(-1{)}^i{v}_i⟨H^{\ast }\omega ,\frac{\partial }{\partial t},v_1,\cdots ,\widehat{v_i},\cdots ,v_k⟩(t,x)dt\\ & +\sum _{i<j}(-1{)}^{i+j}{\int }_0^1⟨H^{\ast }\omega ,[v_i,v_j],\frac{\partial }{\partial t},\cdots ,\widehat{v_i},\cdots ,\widehat{v_j},\cdots ⟩(t,x)dt\\ & +\sum _{i<j}(-1{)}^i{\int }_0^1⟨H^{\ast }\omega ,[\frac{\partial }{\partial t},v_j],\widehat{\frac{\partial }{\partial t}},\cdots ,\widehat{v_i},\cdots ⟩(t,x)dt.\end{array}$$注意到 $[\frac{\partial }{\partial t},v_j]=0$, 于是$$\begin{array}{rl}⟨dI\omega +Id\omega ,v_1,\cdots ,v_k⟩(x)& ={\int }_0^1\frac{\partial }{\partial t}⟨H^{\ast }\omega ,v_1,\cdots ,v_k⟩(t,x)dt\\ & =⟨H^{\ast }\omega ,v_1,\cdots ,v_k⟩(1,x)-⟨H^{\ast }\omega ,v_1,\cdots ,v_k⟩(0,x)\\ & =⟨g^{\ast }\omega ,v_1,\cdots ,v_k⟩(x)-⟨f^{\ast }\omega ,v_1,\cdots ,v_k⟩(x).\end{array}$$
10.	(1) 证明: 对于 $k$- 单形 $\sigma$, 重心重分完成后, $\sigma$ 是一些单形的并; (2) 计算重心重分后 $k$- 单形的个数; (3) 证明: 当重心重分的次数趋于无穷时, 单形的直径趋于 $0$.
Pf:	(1) 设 $\sigma =⟨x_0,\cdots ,x_k⟩$. 用归纳容易说明, 当 $\sigma$ 重心重分完成后得到的是一组形如 $⟨b({\tau }_0),b({\tau }_1),\cdots ,b({\tau }_k)⟩$ 的单形, 其中 ${\tau }_0=x_{i_0},{\tau }_1=⟨x_{i_0},x_{i_1}⟩,\cdots ,{\tau }_k=⟨x_{i_0},x_{i_1},\cdots ,x_{i_k}⟩=\sigma$, 即该单形为$$\left\{\sum _{i=0}^k{\lambda }_i{x}_i|\sum _{i=0}^k{\lambda }_i=1,{\lambda }_{i_0}\ge \cdots \ge {\lambda }_{i_k}\ge 0\right\},$$所以 $\sigma$ 是这样一些单形的并. (2) 即 $0,\cdots ,k$ 的不同排列 $i_0,\cdots ,i_k$ 的个数, 为 $(k+1)!$ 个. (3) 设 $\sigma$ 重心重分一次后得到单形 ${\sigma }_1=⟨b({\tau }_0),b({\tau }_1),\cdots ,b({\tau }_k)⟩$, 下证其直径不超过 $\sigma$ 直径的 $\frac{k}{k+1}$ 倍, 即可得到结论. 紧集 ${\sigma }_1$ 上必存在两点使得其距离是 ${\sigma }_1$ 的直径, 这两点是 $b({\tau }_l),b({\tau }_m)$, 这是因为对任何 ${\sigma }_1$ 的不是顶点的点, 沿两个相反的方向移动它, 至少沿其中一个方向时它与另一点的距离增加. 不妨设$$b({\tau }_l)=\frac{1}{l+1}\sum _{j=0}^l{x}_j,b({\tau }_m)=\frac{1}{m+1}\sum _{j=0}^m{x}_j,0\le l<m\le k,$$则$$\begin{array}{rl}\mathrm{diam}{\sigma }_1& =|b({\tau }_l)-b({\tau }_m)|\\ & \le \underset{0\le i\le l}{\max }|x_i-b({\tau }_m)|\\ & =\underset{0\le i\le l}{\max }|x_i-\frac{1}{m+1}\sum _{j=0}^m{x}_j|\\ & \le \underset{0\le i\le l}{\max }\sum _{j=0}^m\frac{1}{m+1}|x_i-x_j|\\ & \le \frac{m}{m+1}\mathrm{diam}\sigma 因为l<m\\ & \le \frac{k}{k+1}\mathrm{diam}\sigma .\end{array}$$