常秩定理

在微积分中, 常秩定理说明, 在合适的假设下, Euclid 空间之间的任何连续可微映射都能通过坐标变换, 在局部上写成以下的简单形式:$$(x^1,\dots ,x^m)\mapsto (x^1,\dots ,x^r,0,\dots ,0),$$其中 $r$ 称为映射的秩.

反函数定理和隐函数定理都是常秩定理的特例.

1定理和证明

定理 1.1 (常秩定理). 设 $U\subset {\mathbb{R}}^m$ 是开集, $f:U\to {\mathbb{R}}^n$ 是 $C^p$ 映射. 假设

•	对所有的 $x\in U$, Jacobi 矩阵 $f^{\prime }(x)$ 的秩都相同, 都等于 $r$.

则对任意 $x_0\in U$, 存在开集 $V\subset U$, $x_0\in V$, 和开集 $W\subset {\mathbb{R}}^n$, $f(x_0)\in W$, 以及 $C^p$ 微分同胚$$\begin{array}{rlrl}\phi :& & V& \to V^{\prime }\subset {\mathbb{R}}^m,\\ \psi :& & W& \to W^{\prime }\subset {\mathbb{R}}^n,\end{array}$$使得映射 $\psi \circ f\circ {\phi }^{-1}:V^{\prime }\to W^{\prime }$ 具有如下形式: $$(v^1,\dots ,v^m)\mapsto (v^1,\dots ,v^r,0,\dots ,0).$$

证明. 不妨假设 $f^{\prime }(x)$ 的左上角 $r\times r$ 子矩阵可逆. 我们可以假设这对所有 $x\in U$ 成立. 令$$\phi (x)=(f^1(x),\dots ,f^r(x),x^{r+1},\dots ,x^m).$$则 $\det {\phi }^{\prime }\ne 0$. 由反函数定理, $\phi$ 在 $x_0$ 的某个邻域上是 $C^p$ 微分同胚. 并且, 映射 $g=f\circ {\phi }^{-1}$ 具有以下形式: $$g(v)=(v^1,\dots ,v^r,g^{r+1}(v),\dots ,g^n(v)).$$因为 $({\phi }^{-1}{)}^{\prime }$ 总是可逆, 所以 $g^{\prime }(v)=f^{\prime }({\phi }^{-1}(v))({\phi }^{-1}{)}^{\prime }(v)$ 的秩等于 $f^{\prime }({\phi }^{-1}(v))$ 的秩 $r$. 但$$g^{\prime }(v)=\left(\begin{array}{cc}{1}_r& 0_{r\times (m-r)}\\ (\frac{\partial g^i}{\partial v^j}{)}_{\begin{array}{c}i=r+1,\dots ,n\\ j=1,\dots ,r\end{array}}& (\frac{\partial g^i}{\partial v^j}{)}_{\begin{array}{c}i=r+1,\dots ,n\\ j=r+1,\dots ,m\end{array}}\end{array}\right),$$从而右下角的子矩阵为 $0$.

设 $V^{\prime }\subset {\mathbb{R}}^m$ 是 $\phi (x_0)$ 的凸邻域, 使得 ${\phi }^{-1}{|}_{V^{\prime }}$ 是微分同胚. 则上述论断在 $v\in V^{\prime }$ 时成立, 从而 $g(v)$ 只取决于 $v^1,\dots ,v^r$ (这用到了 $V^{\prime }$ 的凸性). 令$$\psi (y)=(y^1,\dots ,y^r,y^{r+1}-g^{r+1}(\tilde{y}),\dots ,y^n-g^n(\tilde{y})),$$其中 $y\in {\mathbb{R}}^n$ 使得表达式有定义, $\tilde{y}$ 定义为 $y$ 的前 $r$ 个坐标. 则 $\det {\psi }^{\prime }=1$. 由反函数定理, $\psi$ 在 $f(x_0)$ 的某个邻域 $W$ 上是 $C^p$ 微分同胚. 接下来, 缩小 $V^{\prime }$ 使得 $g(V^{\prime })\subset W$, 并令 $V={\phi }^{-1}(V^{\prime })$, $W^{\prime }=\psi (W)$. 则对 $v\in V^{\prime }$, 有$$\psi \circ f\circ {\phi }^{-1}(v)=\psi \circ g(v)=(v^1,\dots ,v^r,0,\dots ,0).$$$\square$

2相关概念

术语翻译

常秩定理 • 英文 constant rank theorem