泛函分析 第二章解答

2线性泛函和 Hahn–Banach 定理

2.1 赋范线性空间上的线性算子

习题 1. 设 $T$ 是赋范线性空间 $X$ 到赋范线性空间 $Y$ 的线性算子. 如果零空间 $\mathcal{N}(T)=\{x:Tx=0\}$ 是闭集, 问 $T$ 是否有界?

反例. $l^1$ 上取范数 $\Vert x\Vert =\underset{n}{\sup }|x_n|$, 以及不连续的线性泛函 $f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{x}_n$. 取 $a=(1,-1,0,0,\cdots )\in l^1$, 则 $\Vert a\Vert =1,f(a)=0$. 令算子 $T:l^1\to l^1$ 为$$Tx=x-f(x)a.$$设 $Tx=0$, 有 $x=f(x)a$, 那么 $f(x)=f(x)f(a)=0$, 从而 $x=0$; 换言之 $\mathcal{N}(T)=\{0\}$, 是闭集.

$f$ 是无界泛函, 因而 $f(-)a$ 是无界算子, $T$ 同样无界.

$\square$

习题 3. 在例 2.1.1 中, 如果规定向量 $x=\sum _{i=1}^n{x}_i{e}_i$ 的范数为 $\Vert x\Vert =\underset{1⩽i⩽n}{\max }|x_i|$, 求出算子 $T$ 的范数; 如果规定向量 $x$ 的范数为 $\Vert x\Vert ={\left(\sum _{i=1}^n|x_i{|}^2\right)}^{\frac{1}{2}}$, 证明$$\underset{1⩽i⩽n}{\max }{\left(\sum _{j=1}^n|t_{ji}{|}^2\right)}^{\frac{1}{2}}⩽\Vert T\Vert ⩽{\left(\sum _{i,j=1}^n|t_{ji}{|}^2\right)}^{\frac{1}{2}}.$$

证明. 前者是 $\Vert T\Vert =\underset{1⩽i,j⩽n}{\max }|t_{ji}|$; 后者见 [Xia] §5.1 习题 1 (解答于书末, 下同) .

$\square$

习题 6. 证明 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$ 是 $C^{(k)}[a,b](k⩾1)$ 到 $C[a,b]$ 的线性算子, 并求出它的范数. 其中 $C^{(k)}[a,b]$ 是区间 $[a,b]$ 中具有连续的 $k$ 阶导函数的函数全体, 以$$\Vert x\Vert =\underset{1⩽j⩽k}{\max }\underset{t\in [a,b]}{\max }|x^{(j)}(t)|$$为范数.

证明. 显然 $\Vert \mathrm{d}x/\mathrm{d}t{\Vert }_{C[a,b]}⩽\Vert x{\Vert }_{C^{(k)}[a,b]}$, 且 $x(t)=\sin (t-c)$ 取到等号 ($c\in (a,b)$) . 故 $\Vert \mathrm{d}/\mathrm{d}t{\Vert }_{C^{(k)}[a,b]\to C[a,b]}=1$.

$\square$

习题 8.

(i)	证明: 存在有界线性算子 $T:L^2(\mathbb{R})\to L^2(\mathbb{R})$, 使得 $T$ 是等距的: 即 $\Vert Tf\Vert =\Vert f\Vert$, 且对于 $f\in A$ 有 $Tf=\hat{f}$.
(ii)	对 $L^2(\mathbb{R})$ 中函数, 如何合理定义 $\hat{f}$?

解答. 令 $\tilde{f}(x)=\overline{f(-x)}$, 有$$\Vert f{\Vert }^2={\int }_{\mathbb{R}}f\bar{f}=(f\ast \tilde{f})(0)={\int }_{\mathbb{R}}(f\ast \tilde{f}{)}^{\wedge }={\int }_{\mathbb{R}}\hat{f}\hat{\tilde{f}}={\int }_{\mathbb{R}}\hat{f}\bar{\hat{f}}=\Vert \hat{f}{\Vert }^2.$$其中第三个等号是对 $g=f\ast \tilde{f}$ 用 Fourier 反演公式$$g(0)=(\hat{g}{)}^{\vee }(0)={\int }_{\mathbb{R}}\hat{g},$$第五个等号则是由于$$\hat{\tilde{f}}(t)={\int }_{\mathbb{R}}\overline{f(-x)}{e}^{-\mathrm{i}2\pi tx}\mathrm{d}x=\overline{{\int }_{\mathbb{R}}f(-x)e^{-\mathrm{i}2\pi t(-x)}\mathrm{d}x}=\bar{\hat{f}}(t).$$$L^1(\mathbb{R})\cap L^2(\mathbb{R})$ 是 $L^2(\mathbb{R})$ 的稠密子空间, $\hat{}:f\mapsto \hat{f}$ 是 $L^1(\mathbb{R})\cap L^2(\mathbb{R})$ 上的等距线性算子, 故在 $L^2(\mathbb{R})$ 上有唯一的延拓 $T$. 详见 [Grafakos] 2.2.4 节.

$\square$

2.2 有界线性泛函

习题 2. 设 $X$ 是赋范线性空间, $f$ 是 $X$ 上的无界线性泛函. 证明: $\ker f=\{x:f(x)=0\}$ 在 $X$ 中稠密. 这样的无界线性泛函存在吗?

证明. 注意到 $\ker f$ 是余一维的子空间, 且 $\ker f\subseteq \overline{\ker f}\subseteq X$, 其中 $\overline{\ker f}$ 是其闭包; 那么 $\overline{\ker f}$ 就是 $\ker f$ 或 $X$. 前者等价于 $f$ 有界, 后者即为所求.

更为具象的方法是, $f$ 无界就是有范数任意小的 $y\in X$ 使得 $f(y)=1$, 那么对任何 $x\in X$, $x-f(x)y$ 就可以离 $x$ 任意地近, 且 $f(x-f(x)y)=f(x)-f(x)f(y)=0$ 说明 $x-f(x)y\in \ker f$.

这样的无界泛函当然存在啦, 前提是 $X$ 是无限维的. 此时, 设 $X$ 的一组 Hamel 基为 $\{x_{\lambda }\}$, $f$ 由其在这些基元素上的取值 $\{f(x_{\lambda })\}$ 决定. 令 $\{f(x_{\lambda })/\Vert x_{\lambda }\Vert \}$ 无界, 则线性泛函 $f$ 无界. 对 $x=\sum a_{\lambda }{x}_{\lambda }$, $f(x)=\sum a_{\lambda }f(x_{\lambda })$; 不用担心 $f(x)$ 收敛性的问题, 毕竟只涉及有限项的求和.

$\square$

习题 3. 对线性空间 $L$ 上的线性泛函 $f,f_1,f_2,\cdots ,f_n$, 假设由 $f_1(x)=0,\cdots ,f_n(x)=0$ 可推得 $f(x)=0$. 证明: 存在常数 $a_1,\cdots ,a_n$, 使得 $f=\sum _{k=1}^n{a}_k{f}_k$.

证明. 设 $L$ 是 $\mathbb{F}$ 上的线性空间, 条件说明 $f:L\to \mathbb{F}$ 可以分解为 $(f_1,\cdots ,f_n):L\to {\mathbb{F}}^n$ 与 $a:{\mathbb{F}}^n\to \mathbb{F}$, $a$ 是有限维空间上的线性泛函, 能写出表达式 $a(x)=\sum _{k=1}^n{a}_k{x}_k$, 代入 $f=a\circ (f_1,\cdots ,f_n)$. $${\mathbb{F}}^n(f_1(x),\cdots ,f_n(x))L\mathbb{F}xf(x)$$

$\square$

习题 4. 证明: $(l^1{)}^{\infty }=l^{\infty }$.

证明. 见 [Xia] §5.2.1 节 (pp.124–5).

$\square$

习题 5.

(i)

$c$ 是收敛数列 $x=\{x_n\}$ 的全体在范数 $\Vert x\Vert =\underset{n⩾1}{\sup }|x_n|$ 下的 Banach 空间. 证明: $$c^{\ast }=\{\eta +\alpha f_0:\eta \in l^1,\alpha \text{ 是数}\},$$其中 $f_0(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n,\forall x\in c$. 即: 对于任意的 $f\in c^{\ast }$, 都存在 $\eta \in l^1$ 以及数 $\alpha$, 使得$$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{x}_n{\eta }_n+\alpha f_0(x),\forall x\in c,$$且 $\Vert f\Vert =\Vert \eta {\Vert }_1+|\alpha |$.

(ii)

$c_0$ 是极限为 $0$ 的数列 $x=\{x_n\}$ 的全体在范数 $\Vert x\Vert =\underset{n⩾1}{\sup }|x_n|$ 下的 Banach 空间. 证明: $c_0^{\ast }=l^1$.

证明. 见 [Xia] §5.2 习题 11.

$\square$

习题 6 (Bergman 再生核). 由 1.3 节习题 6, 开单位圆盘 $\mathbb{D}$ 上的 Bergman 空间 $L_a^2(\mathbb{D})$ 定义为$$L_a^2(\mathbb{D})=\{f:f\text{ 在 }\mathbb{D}\text{ 中解析},\text{并且 }\frac{1}{\pi }{\int }_{\mathbb{D}}|f(z){|}^2\mathrm{d}A(z)<\infty \}.$$

(i)	对任意 $z\in \mathbb{D}$, 证明: $f\mapsto f(z)$ 是一个有界线性泛函.
(ii)	任取 $L_a^2(\mathbb{D})$ 中的完备规范正交系 $e_n(z)(n=1,2,\cdots )$, 证明当 $|z|<1,|w|<1$ 时, $$\sum _{n=1}^{\infty }{e}_n(z)\overline{e_n(w)}=\frac{1}{(1-z\bar{w}{)}^2}.$$函数 $K(z,w)=\frac{1}{(1-z\bar{w}{)}^2}$ 称为 Bergman 空间的再生核函数.
(iii)	证明: 对任意两两不同的 $z_1,\cdots ,z_n\in \mathbb{D}$ 和不全为 $0$ 的复数 ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$, 成立$$\sum _{i,j=1}^n{\alpha }_i\overline{{\alpha }_j}K(z_i,z_j)>0.$$

证明.

(i)	记 $d=d(z,\partial \mathbb{D})=1-|z|$. $f(z)$ 解析因而调和, 根据平均值性质, $$\begin{array}{rl}|f(z)|& =|\frac{1}{\pi d^2}{\int }_{D(z,d)}f(\zeta )\mathrm{d}A(\zeta )|\\ & ⩽(\frac{1}{\pi d^2}{\int }_{D(z,d)}|f(\zeta ){|}^2\mathrm{d}A(\zeta ){)}^{\frac{1}{2}}⩽\frac{1}{d}\Vert f{\Vert }_{L_a^2}.\end{array}$$
(ii)	注意到$$\begin{array}{rl}⟨f,\sum _{n=1}^{\infty }\overline{e_n(z)}{e}_n⟩& =⟨\sum _{n=1}^{\infty }⟨f,e_n⟩e_n,\sum _{n=1}^{\infty }\overline{e_n(z)}{e}_n⟩\\ & =\sum _{n=1}^{\infty }⟨f,e_n⟩e_n(z)=f(z),\end{array}$$这就是说$$f(z)=⟨f(w),\sum _{n=1}^{\infty }\overline{e_n(z)}{e}_n(w){⟩}_{L_a^2({\mathbb{D}}_w)}.$$对有界线性泛函 $f\mapsto f(z)$ 用 Riesz 表示定理, 得到 $\sum _{n=1}^{\infty }{e}_n(z)\overline{e_n(w)}$ 的值与 $\{e_n\}$ 的选取无关. 于是取 $e_n(z)=\sqrt{n+1}{z}^n$, 有$$\begin{array}{rl}K(z,w)& =\sum _{n=1}^{\infty }(n+1)(z\bar{w}{)}^n=\sum _{n=1}^{\infty }((z\bar{w}{)}^{n+1}{)}^{\prime }\\ & =(\frac{z\bar{w}}{1-z\bar{w}}{)}^{\prime }=\frac{1}{(1-z\bar{w}{)}^2}.\end{array}$$
(iii)	$$\begin{array}{rl}\sum _{i,j=1}^n{\alpha }_i\overline{{\alpha }_j}K(z_i,z_j)& =\sum _{i,j=1}^n\sum _{m=1}^{\infty }{\alpha }_i\overline{{\alpha }_j}{e}_m(z_i)\overline{e_m(z_j)}\\ & =\sum _{m=1}^{\infty }|\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{e}_m(z_i){|}^2⩾0,\end{array}$$假如等号成立, $H$ 上的线性泛函 $f\mapsto \sum _{i=1}^n{\alpha }_{i}f(z_i)$ 对于 $\{e_m\}$ 为 $0$ 故在整个 $H$ 为 $0$, 令 $f$ 是适合的 Lagrange 插值多项式即得矛盾. $\square$

习题 7. 令 $L^2(\mathbb{R},{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t)$ 为 Hilbert 空间: $$L^2(\mathbb{R},{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t)\stackrel{\text{def}}{=}\left\{f\text{ 在 }\mathbb{R}\text{ 上 Lebesgue 可测}:\Vert f{\Vert }_2={\left({\int }_{\mathbb{R}}|f(t){|}^2{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t\right)}^{1/2}<+\infty \right\}.$$证明: 多项式全体在 $L^2(\mathbb{R},{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t)$ 中稠密.

(提示: 对 $f\in L^2(\mathbb{R},{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t)$, $f$ 垂直于多项式全体, 研究 $f(t){\mathrm{e}}^{-t^2}$ 的 Fourier 变换, 再使用 Fourier 变换的单射性证明 $f=0$. )

证明. 一般的结果参考 [Wilfredo] Corollary 10.8 (p.423).

只需证明: 设 $f$ 垂直于多项式全体, 则 $f=0$; Fourier 变换是单射表明, $f=0$ 等价于 $f(t){\mathrm{e}}^{-t^2}$ 的 Fourier 变换为 $0$. 故要证的是: 对任意的 $x\in \mathbb{R}$, $${\int }_{\mathbb{R}}f(t){\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}xt}{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t=0.$$目前已有的信息是, $f$ 垂直于 ${\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}xt}$ 的级数展开中的任意前 $n$ 项的和, 也就是$${\int }_{\mathbb{R}}f(t)\sum _{k=0}^n\frac{(2\pi \mathrm{i}xt{)}^k}{k!}{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t=0.$$自然的想法是令 $n\to \infty$ 用控制收敛定理, 那么找个 $L^1(\mathbb{R},{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t)$ 函数控制住 $f$ 同级数的乘积就行了. 注意$$\left|\sum _{k=0}^n\frac{(2\pi \mathrm{i}xt{)}^k}{k!}\right|⩽\sum _{k=0}^n\frac{|2\pi \mathrm{i}xt{|}^k}{k!}⩽\sum _{k=0}^{\infty }\frac{|2\pi \mathrm{i}xt{|}^k}{k!}={\mathrm{e}}^{|2\pi \mathrm{i}xt|},$$故只需说明 $f(t){\mathrm{e}}^{|2\pi \mathrm{i}xt|}\in L^1(\mathbb{R},{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t)$. 这是由于 $f(t)\in L^2(\mathbb{R},{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t)$, 且$$\Vert {\mathrm{e}}^{|2\pi \mathrm{i}xt|}{\Vert }_{L^2(\mathbb{R},{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t)}={\left({\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{e}}^{4\pi |xt|-t^2}\mathrm{d}t\right)}^{1/2}<\infty ,$$以及$$\Vert f(t){\mathrm{e}}^{|2\pi \mathrm{i}xt|}{\Vert }_{L^1(\mathbb{R},{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t)}^2⩽\Vert f(t){\Vert }_{L^2(\mathbb{R},{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t)}\Vert {\mathrm{e}}^{|2\pi \mathrm{i}xt|}{\Vert }_{L^2(\mathbb{R},{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t)}.$$$\square$

习题 11. 设 $\phi (\cdot ,\cdot )$ 是 实 Hilbert 空间 $H$ 上的共轭双线性泛函. 如果$$\underset{\Vert x\Vert =1}{\sup }|\phi (x,x)|<\infty ,$$问 $\phi$ 是否为有界的? 并说明理由.

反例. 见 [Wang] 第十二章 23 (p.247) .

$\square$

习题 13 (Lax–Milgram 定理). 设 $\varphi (x,y)$ 是 Hilbert 空间 $H$ 上的一个共轭双线性泛函, 且满足下面两个条件:

(1) 连续性: 存在 $M>0$ 使得 $|\varphi (x,y)|⩽M\Vert x\Vert \Vert y\Vert$, $\forall x,y\in H$;
(2) 强制性: 存在 $c>0$ 使得 $|\varphi (x,x)|⩾c\Vert x{\Vert }^2$.

则对任意 $f\in H^{\ast }$, 存在唯一的 $y_f\in H$, 使得 $\varphi (x,y_f)=f(x)$.

证明. 点击左上角的链接.

$\square$

2.3 Hahn–Banach 延拓定理

习题 1. 设 $E$ 是赋范线性空间, $x_1,x_2,\cdots ,x_k\in E$, ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_k$ 是一组数, 证明: 在 $E$ 上存在线性泛函 $f$, 使得 $f(x_v)=a_v,v=1,2,\cdots ,k$, 且 $\Vert f\Vert ⩽M$ 的充要条件是: 对于任意的一组数 $t_1,t_2,\cdots ,t_k$, 成立$$\left|\sum _{v=1}^k{t}_v{a}_v\right|⩽M\Vert \sum _{v=1}^k{t}_v{x}_v\Vert .$$

证明. 前推后很简单: $$\left|\sum _{v=1}^k{t}_v{a}_v\right|=\left|\sum _{v=1}^k{t}_{v}f(x_v)\right|=\left|f\left(\sum _{v=1}^k{t}_v{x}_v\right)\right|⩽M\Vert \sum _{v=1}^k{t}_v{x}_v\Vert .$$后推前也是简单的: 在 $\mathrm{span}\{x_1,x_2,\cdots ,x_k\}$ 上定义线性泛函 $\bar{f}$, 为 $\bar{f}(x_v)=a_v,v=1,2,\cdots ,k$, 条件的不等式说的是 $\Vert \bar{f}\Vert ⩽M$; 延拓到整个 $E$ 上即可.

$\square$

习题 3.

(i)	设 $X,Y$ 是两个赋范线性空间, 在 $X\times Y$ 上定义 $\Vert (x,y)\Vert =\max (\Vert x\Vert ,\Vert y\Vert )$. 证明: 对于任意的 $F\in (X\times Y{)}^{\ast }$, 必定存在唯一的一对 $f\in X^{\ast },g\in Y^{\ast }$, 使得 $F(x,y)=f(x)+g(y)$. 如果在 $X^{\ast }\times Y^{\ast }$ 上定义 $\Vert (f,g)\Vert =\Vert f\Vert +\Vert g\Vert$, 那么 $F\mapsto (f,g)$ 的映射是 $(X\times Y{)}^{\ast }$ 到 $X^{\ast }\times Y^{\ast }$ 的保范线性同构.
(ii)	设 $\Vert \cdot {\Vert }_1,\Vert \cdot {\Vert }_2$ 是线性空间 $X$ 上的两个范数, 记 $(X,\Vert \cdot {\Vert }_i)(i=1,2)$ 的对偶空间为 $X_i^{\ast }$, 并在 $X$ 上赋范数 $\Vert \cdot \Vert =(\Vert \cdot {\Vert }_1^2+\Vert \cdot {\Vert }_2^2{)}^{\frac{1}{2}}$. 证明: $F\in (X,\Vert \cdot \Vert {)}^{\ast }$ 的充要条件是存在 $f_i\in X_i^{\ast }$, 使得 $F=f_1+f_2$.

证明. 见 [Xia] §5.2 习题 3.

$\square$

习题 7. 若 $E$ 是赋范线性空间 $X$ 中的有限维子空间, 证明: 存在闭线性子空间 $L$, 使得 $L\cap E=\{0\}$ 且 $X=L+E$.

证明. 要找个有限余维数的闭子空间 $L$, 用余一维的闭空间 $\ker f$ 的交试试看, 这里 $f\in X^{\ast }$. 设 $e_1,\cdots ,e_n$ 是 $E$ 的一组基, $E$ 的元素 $x$ 都能唯一地写成$$x=f_1(x)e_1+\cdots +f_n(x)e_n,$$其中 $f_i$ 是 $E$ 上的连续线性泛函, $i=1,\cdots ,n$. [为什么 $f_i$ 连续? 这是因为$$(a_1,\cdots ,a_n)\mapsto a_1{e}_1+\cdots +a_n{e}_n$$是 ${\mathbb{F}}^n$ 到 $E$ 的连续一一映射 (其中 $E$ 也是 Banach 空间, 参考 1.6 节习题 17) , 逆算子定理说明其逆映射连续.] 保范延拓 $f_i$ 到全空间上, 得 ${\bar{f}}_i\in X^{\ast }$. 令 $L=\bigcap _{i=1,\cdots ,n}\ker {\bar{f}}_i$ 即可, 这样$$x-{\bar{f}}_1(x)e_1-\cdots -{\bar{f}}_n(x)e_n\in L.$$$\square$

习题 8. 证明定理 2.3.4 中 (ii).

证明. 即要证明$$\tau :(X/M{)}^{\ast }\to M^{\perp },f\mapsto f\circ \pi$$是保范同构. 首先, 对 $f\in (X/M{)}^{\ast }$, $(f\circ \pi )(M)=f([0])=0$, 得 $f\circ \pi \in M^{\perp }$.

单射是简单的: 对非零的 $f\in (X/M{)}^{\ast }$, 存在 $[x]\in X/M$ 使 $f([x])\ne 0$, 即 $(f\circ \pi )(x)\ne 0$, 也就是 $f\circ \pi$ 非零.

再看满射, 要用映射的分解: 对任意的 $\varphi \in M^{\perp }$, 要找个 $f\in (X/M{)}^{\ast }$ 使 $\varphi =f\circ \pi$, 为此直接定义 $f:X/M\to \mathbb{F},[x]\mapsto \varphi (x)$ 即可, $\varphi \in M^{\perp }$ 确保了 $f([x])$ 无关乎代表元 $x$ 的选取, 从而 $f$ 良定. $$XX/M\mathbb{F}\pi \varphi f$$还要检验 $\Vert f\Vert =\Vert f\circ \pi \Vert$. 一方面, 对一切 $m\in M$, $$|f([x])|=|(f\circ \pi )(x+m)|⩽\Vert f\circ \pi \Vert \Vert x+m\Vert ,$$对 $m\in M$ 取下确界得 $|f([x])|⩽\Vert f\circ \pi \Vert \Vert [x]\Vert$, 即 $\Vert f\Vert ⩽\Vert f\circ \pi \Vert$; 另一方面, $\Vert f\circ \pi \Vert ⩽\Vert f\Vert \Vert \pi \Vert =\Vert f\Vert$.

$\square$

习题 9 (Banach 极限). 证明: 在有界数列空间 $l^{\infty }$ 上存在如下线性泛函 $F$: 对于任意的 $\{a_n\},\{b_n\}\in l^{\infty }$,

(i)	$F(\{a_n\})=F(\{a_{n+1}\})$;
(ii)	若 $a_n⩾0,n=1,2,\cdots$, 则 $F(\{a_n\})⩾0$;
(iii)	$F(\alpha \{a_n\}+\beta \{b_n\})=\alpha F(\{a_n\})+\beta F(\{b_n\})$, $\alpha ,\beta$ 是数;
(iv)	若 $\{a_n\}$ 是实数列, 则 $\underset{n\to \infty }{\underline{\lim }}{a}_n⩽F(\{a_n\})⩽\underset{n\to \infty }{\overline{\lim }}{a}_n$;
(v)	若 $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$ 存在, 则 $F(\{a_n\})=\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$.

一般称 $F(\{a_n\})$ 为 $\{a_n\}$ 的 Banach 极限, 记作 $\mathrm{Lim}\{a_n\}$.

证明. 对 $\{a_n\}\in l^{\infty }$, 作数列 $\{a_n-a_{n+1}\}=(a_1-a_2,a_2-a_3,\cdots )$, 令全体这样的数列构成的空间为 $M$, 是 $l^{\infty }$ 的子空间. 记 $1=(1,1,\cdots )\in l^{\infty }$, 下面说明 $d(1,M)=1$.

对 $\{a_n\}\in l^{\infty }$, 若对某个 $p$ 有 $a_p⩽a_{p+1}$, 则 $\Vert 1-\{a_n-a_{n+1}\}\Vert ⩾1-(a_p-a_{p+1})⩾1$; 不然 $\{a_n\}$ 单调递减, 且有界从而收敛, 则 $\{a_n-a_{n+1}\}$ 趋于 $0$, 故 $\Vert 1-\{a_n-a_{n+1}\}\Vert ⩾1$. 结合 $0\in M,\Vert 1-0\Vert =1$, 得到 $d(1,M)=1$.

由推论 2.3.4, 存在线性泛函 $F\in (l^{\infty }{)}^{\ast }$, 使得 $F(1)=d(1,M),\Vert F\Vert =1,F(M)=0$, 换言之 $F(1)=1,|F(\{a_n\})|⩽\Vert \{a_n\}\Vert ,F(\{a_n\})=F(\{a_{n+1}\})$. 至此已得出了 (i), 此外 (iii) 也显然成立. 注意 (v) 是 (iv) 的直接推论, 故只需再证明 (ii),(iv) 就行了.

先看 (ii). 对非负数列 $\{a_n\}$, 记 $a=\{a_n\}$, 成立

$$\Vert a\Vert -F(a)=F(\Vert a\Vert -a)⩽\Vert \Vert a\Vert -a\Vert ⩽\Vert a\Vert ,$$其中非负用在了后一个不等号, 前一个不等号是 $\Vert F\Vert =1$ 的推论; 即 $F(a)⩾0$, 这就证明了 (ii).

还剩下 (iv). 只需证明 $\underset{n\to \infty }{\underline{\lim }}{a}_n⩽F(\{a_n\})$ 即可, 并且为了简便可设 $\underset{n\to \infty }{\underline{\lim }}{a}_n=0$. 这样对任意 $\epsilon >0$, 只要 $n>$ 充分大的 $p$, 就有 $a_n>-\epsilon$, 故有$$\begin{array}{rl}F(\{a_n\})& =F(\{a_{n+1}\})=\cdots =F(\{a_{n+p}\})\\ & =F(\{a_{n+p}+\epsilon \}-\epsilon )\\ & =F(\{a_{n+p}+\epsilon \})-\epsilon ⩾-\epsilon .\end{array}$$由 $\epsilon$ 的任意性, $F(\{a_n\})⩾0$, (iv) 得证.

$\square$

习题 11. 对于任意的 $\alpha =({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots )\in l^1$, 证明: $$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{x}_n{\alpha }_n,\forall x=(x_1,x_2,\cdots )\in l^{\infty }$$给出了 $l^{\infty }$ 上的一个连续线性泛函. 举例说明 $l^{\infty }$ 上存在连续线性泛函不能表示成上述形式.

证明. $|f(x)|⩽\sum _{n=1}^{\infty }\Vert x{\Vert }_{\infty }|{\alpha }_n|=\Vert \alpha {\Vert }_1\Vert x{\Vert }_{\infty }$, 故 $f\in (l^{\infty }{)}^{\ast }$.

极限存在的数列全体的空间 $c$ 是 $l^{\infty }$ 的闭子空间, 取极限 $\lim$ 是 $c$ 上的非零线性泛函. 由 Hahn–Banach 定理, $\lim$ 可延拓为整个 $l^{\infty }$ 上的非零线性泛函. 而假设其为上述形式, 取 $e_n=(0,\cdots ,0,1,0,\cdots )\in c$, 得 ${\alpha }_n=f(e_n)=\underset{n\to \infty }{\lim }{e}_n=0$ 对所有的 $n$, 则 $\alpha =0$, 矛盾.

$\square$

2.4 几何形式–凸集分离定理

习题 1. 在 Euclid 空间 ${\mathbb{R}}^n$ 中, 闭集的凸包是否一定是闭集? 凸集的闭包是否一定是凸集?

解答. 后者是. 设凸集 $M$ 的闭包是 $\overline{M}$, 对 $x,y\in \overline{M}$, 存在两列 $\{x_n\}\to x,\{y_n\}\to y$, 则对任意的 $\alpha \in [0,1]$, 由于 $M$ 中的序列 $\{\alpha x_n+(1-\alpha )y_n\}$ 趋于 $\alpha x+(1-\alpha )y$, 得到 $\alpha x+(1-\alpha )y\in \overline{M}$.

前者不一定. 以 $n=2$ 为例, 离散点集 $\{(m,0):m\in \mathbb{Z}\}\cup \{(0,1)\}$ 是闭集, 其凸包 $\{(x,y):x\in \mathbb{R},0⩽y<1\}\cup \{(0,1)\}$ 却不是闭集.

$\square$

习题 6. 设 $\phi$ 是直线 $\mathbb{R}$ 上的凸函数. 使用凸集分离定理证明: 对任意点 $x\in \mathbb{R}$, 存在常数 $m$ 使得$$\phi (y)-\phi (x)⩾m(y-x),\forall y\in \mathbb{R}.$$

证明. 在 ${\mathbb{R}}^2$ 上, 有非零线性泛函 $f(y,z)$ 分离凸集 $\{(y,z):z⩾\phi (y)\}$ 和点 $(x,\phi (x))$. 相差一个倍数的意义下, $f(y,z)=y$ 或者 $z-my$; 明显 $f(y,z)=y$ 是不能分离两者的, 所以是$$\underset{z⩾\phi (y)}{\inf }(z-my)⩾\phi (x)-mx,$$即$$\phi (y)-my⩾\phi (x)-mx,\forall y\in \mathbb{R}.$$$\square$

习题 8. 设 $V$ 是实赋范线性空间, $M$ 是 $V$ 的凸子集. 证明:

(i)	若 $M$ 是闭的, 则 $M$ 是一些闭半空间的交.
(ii)	若 $M$ 是开的, 则 $M$ 是一些开半空间的交.

证明.

(i)	$M$ 实际上等于一切含有 $M$ 的闭半空间之交 $\bigcap H$. $M⫅\bigcap H$ 是明显的; 对 $x\notin M$, 由推论 2.4.1, 有超平面 $\{f(x)=\alpha \}$ 分离 $x$ 与 $M$, 所以 $x\notin H=\{f(x)⩽\alpha \}$ (或 $\{f(x)⩾\alpha \}$) .
(ii)	同上, 唯一的区别是推论 2.4.1 换为注 2.4.2. $\square$

习题 9. 设集合 $A$ 是复赋范线性空间 $V$ 中的一个均衡凸开集, $B$ 是一个和 $A$ 不相交的非空凸子集. 证明: 存在一个复线性泛函 $f$ 和 $c>0$, 使得在 $A$ 上 $|f(x)|<c$, 在 $B$ 上 $|f(x)|⩾c$.

证明. 视 $V$ 为实赋范空间 $V_R$, 则存在实线性泛函 $f_R\in V_R^{\ast }$ 和 $c>0$, 使得在 $A$ 上 $f_R(x)<c$, 在 $B$ 上 $f_R(x)⩾c$. 作 $V$ 上的复线性泛函$$f(x)=f_R(x)-\mathrm{i}{f}_R(\mathrm{i}x).$$对 $x\in A$, 令复数 $\alpha$ 满足 $|\alpha |=1$ 且 $f(\alpha x)$ 为实数, 则有$$|f(x)|=f(\alpha x)=\mathrm{Re}f(\alpha x)=f_R(\alpha x)<c.$$类似地, 对 $x\in B$ 有 $|f(x)|⩾c$.

$\square$

习题 10. 令实 Banach 空间 $l^2$ 中的一个子集$$E=\{x=(x_1,x_2,\cdots ,x_n,\cdots )\in l^2:\text{只有有限个 }{x}_n\text{ 非零},\text{ 且最后一个非零的 }{x}_n\text{ 是正数}\}.$$证明: $E$ 是凸子集且 $0\notin E$, 且不存在 $l^2$ 上的非零线性泛函 $f$ 分离 $E$ 与 $\{0\}$.

证明. $E$ 甚至是稠密的, 故 $f$ 在 $E$ 上非负表明 $f$ 在整个 $l^2$ 上非负, 这是不可能的.

$\square$

习题 11. 设 $M$ 是实赋范线性空间 $X$ 的凸子集.

(i)	证明: 若 $M$ 是闭的, 则对任意 $x\notin M$, 我们有$$d(x,M)=\underset{f\in X^{\ast },\Vert f\Vert =1}{\sup }(f(x)-\underset{z\in M}{\sup }f(z)).$$
(ii)	当 $M$ 不是闭的时候, (i) 的结论是否成立? (参考第 10 题) .

证明. 记 $d=d(x,M)$, 当 $M$ 闭时 $d>0$.

(i)

一个方向是简单的: 对任意 $\epsilon >0$, 有 $y\in M$ 使得 $\Vert x-y\Vert <d+\epsilon$, 则$$f(x)-\underset{z\in M}{\sup }f(z)⩽f(x)-f(y)⩽\Vert f\Vert (d+\epsilon ),$$故$$\underset{f\in X^{\ast },\Vert f\Vert =1}{\sup }(f(x)-\underset{z\in M}{\sup }f(z))⩽d+\epsilon .$$另一方向如下: 由定理 2.4.1, 存在非零的 $f\in X^{\ast }$ 分离内部非空的凸集 $B(x,d)$ 和凸集 $M$, 即$$\underset{z\in M}{\sup }f(z)⩽\underset{y\in B(x,d)}{\inf }f(y).$$由于$$\underset{y\in B(x,d)}{\inf }f(y)=\underset{w\in B(0,1)}{\inf }f(x)+df(w)=f(x)-d\Vert f\Vert ,$$得到$$d\Vert f\Vert ⩽f(x)-\underset{z\in M}{\sup }f(z),$$从而$$d⩽\underset{f\in X^{\ast },\Vert f\Vert =1}{\sup }(f(x)-\underset{z\in M}{\sup }f(z)).$$

(ii)

取 $X=l^2$, $M$ 是 $X$ 的稠密集 $E$. 这时左边 $=d=0$, 而对任意非零的 $f\in X^{\ast }$ 有 $\underset{z\in M}{\sup }f(z)=+\infty$, 右边 $=-\infty$. $\square$

2.5 对偶空间

习题 1. 设 $F\in L^p(\mathbb{R}{)}^{\ast }(1⩽p<\infty )$. 证明: 存在唯一的 $\beta \in L^q(\mathbb{R})\left(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\right)$, 使得$$F(f)={\int }_{\mathbb{R}}f(t)\beta (t)\mathrm{d}t,\forall f\in L^p(\mathbb{R}),$$并且 $\Vert F\Vert =\Vert \beta {\Vert }_q$. 从而映射 $F\mapsto \beta$ 是 $L^p(\mathbb{R}{)}^{\ast }$ 到 $L^q(\mathbb{R})$ 的保范线性同构, 即在这个意义下 $L^p(\mathbb{R}{)}^{\ast }=L^q(\mathbb{R})$.

证明. 见 [Xia] §5.2 第 1 题.

$\square$

习题 9. 设 $X$ 是 Banach 空间, 证明: $X$ 是自反的的充要条件是 $X^{\ast }$ 是自反的.

证明. (搬运自 [Conway] Theorem 4.2, p.132, 有改动)

引理: 设 $X$ 是赋范空间, $B_X$ 在 $B_{X^{\ast \ast }}$ 中在弱 ${}^{\ast }$ 拓扑下稠密.

假设有 $x_0^{\ast \ast }\in B_{X^{\ast \ast }}$ 不在 $B_X$ 在弱 ${}^{\ast }$ 拓扑下的闭包 $\overline{B_X}$ 里面, 由凸集分离定理, 存在 $f\in X^{\ast }$ 分离 $\overline{B_X}$ 和 $x_0^{\ast \ast }$, 即 $\underset{x\in B_X}{\sup }f(x)<x_0^{\ast \ast }(f)$; 不过 $\underset{x\in B_X}{\sup }f(x)=\Vert f\Vert ⩾x_0^{\ast \ast }(f)$, 矛盾, 引理成立. 下面来证更强的命题:

设 $X$ 是 Banach 空间, 下列命题是等价的:

(a) $X$ 是自反的.	(b) $X^{\ast }$ 是自反的.
(c) $X^{\ast }$ 上弱拓扑与弱 ${}^{\ast }$ 拓扑相同.	(d) $B_X$ 是弱紧的.

(a)$\Rightarrow$(c) 显然.

(d)$\Rightarrow$(a) 注意 $X^{\ast \ast }$ 上的弱 ${}^{\ast }$ 拓扑限制在 $X$ 上就是 $X$ 的弱拓扑 (附原文: $\sigma (X^{\ast \ast },X^{\ast })|X=\sigma (X,X^{\ast })$) . 那么由 (d), $B_X$ 在 $B_{X^{\ast \ast }}$ 中是弱 ${}^{\ast }$ 闭的. 结合引理, 得 $B_X=B_{X^{\ast \ast }}$.

(c)$\Rightarrow$(b) 由 Alaoglu 定理, $B_{X^{\ast }}$ 是弱 ${}^{\ast }$ 紧的. 那么由 (c), $B_{X^{\ast }}$ 是弱紧的. (d)$\Rightarrow$(a) 表明 $X^{\ast }$ 是自反的.

(b)$\Rightarrow$(a) 凸集 $B_X$ 在 $X^{\ast \ast }$ 中是范数闭的, 则是弱闭的 (由本节习题 19 证明 1 的 (ii)) . 那么由 (b), 这就是说 $B_X$ 在 $X^{\ast \ast }$ 中是弱 ${}^{\ast }$ 闭的. 结合引理, 得 $B_X=B_{X^{\ast \ast }}$.

(a)$\Rightarrow$(d) 由 Alaoglu 定理, $B_{X^{\ast \ast }}$ 是弱 ${}^{\ast }$ 紧的. 那么由 (a), $B_X$ 是弱紧的.

$\square$

习题 10. 证明定理 2.5.6 (i).

证明. 即证明 ${}^{\perp }(M^{\perp })=\overline{M}$. 首先, 根据定义有 $M{\subset }^{\perp }(M^{\perp })$, 从 ${}^{\perp }(M^{\perp })$ 是闭集得 $\overline{M}{\subset }^{\perp }(M^{\perp })$.

反过来, 设 $x\notin \overline{M}$, 由推论 2.4.1, 存在非零线性泛函 $f$ 严格分离 $x$ 和 $M$, 也就是 $\sup f(\overline{M})<f(x)$; 然而 $\overline{M}$ 是线性空间意味着 $f(\overline{M})=\mathbb{R}$ 或 $0$, $\mathbb{R}$ 是不可能的, 从而 $f(\overline{M})=0$, 即 $f{\in }^{\perp }M$; 可是 $f(x)>0$, 推出 $x{\notin }^{\perp }(M^{\perp })$.

$\square$

习题 11. 设 $X$ 是自反空间, $M$ 是 $X$ 的闭子空间. 证明: 商空间 $X/M$ 也是自反的.

证明. 由习题 9, 结论等价于 $(X/M{)}^{\ast }$ 自反, 相当于同构的 $M^{\perp }$ 自反. $M^{\perp }$ 是 $X$ 的闭子空间, 从而自反.

$\square$

习题 12. 对 $C[a,b]$ 中一致有界点列 $\{x_n\}$, 证明: $x_n$ 弱收敛于 $x_0$ 的充要条件是对任意的 $t\in [a,b]$, $$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n(t)=x_0(t).$$

证明. 前推后取 Dirac 测度 ${\delta }_t\in (C[a,b]{)}^{\ast }:x\mapsto x(t)$ 即可. 后推前是 Lebesgue 控制收敛定理.

$\square$

习题 13. 设 $\{f_n\}$ 是 $L^1[0,1]$ 中的一致有界点列, 证明: $f_n$ 弱收敛于一个可积函数 $f$, 当且仅当对任意 $[0,1]$ 中 Lebesgue 可测集 $E$ 成立$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_E{f}_n\mathrm{d}m={\int }_{E}f\mathrm{d}m.$$

证明. 即证明$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_E{f}_{n}g\mathrm{d}m={\int }_{E}fg\mathrm{d}m,\forall g\in L^{\infty }[0,1]$$当且仅当此式对简单函数 $g$ 成立. 注意$$\sum _{\begin{array}{c}k\in \mathbb{Z},\\ |k/n|\le \Vert g{\Vert }_{\infty }\end{array}}\frac{k}{n}{\chi }_{g^{-1}\left[\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}\right)}$$一致有界且点点收敛于 $g$, 用控制收敛定理.

$\square$

习题 17. 若赋范线性空间 $X$ 上的有界线性泛函序列 $f_n$ 弱 ${}^{\ast }$ 收敛于 $f$, 证明: $\underset{n\to \infty }{\underline{\lim }}\Vert f_n\Vert ⩾\Vert f\Vert$.

证明. 对任意 $\epsilon >0$, 存在 $x\in X,\Vert x\Vert =1$ 使 $f(x)>\Vert f\Vert -\epsilon$, 那么$$\underset{n\to \infty }{\underline{\lim }}\Vert f_n\Vert ⩾\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x)=f(x)>\Vert f\Vert -\epsilon .$$$\square$

习题 18. 对 Hilbert 空间 $X$ 中点列 $\{x_n\}$, 证明: $\{x_n\}$ 按范数收敛于 $x$, 当且仅当 $\{x_n\}$ 弱收敛于 $x$ 且 $\underset{n\to \infty }{\lim }\Vert x_n\Vert =\Vert x\Vert$.

证明. 一个方向显然, 另一方向是因为$$\underset{n\to \infty }{\lim }\Vert x_n-x{\Vert }^2=\underset{n\to \infty }{\lim }\Vert x_n{\Vert }^2+\Vert x{\Vert }^2-\underset{n\to \infty }{\lim }⟨x_n,x⟩-\underset{n\to \infty }{\lim }⟨x,x_n⟩=0.$$$\square$

习题 19. 设 $X$ 是自反 Banach 空间, $M$ 是 $X$ 的闭凸子集. 证明: 存在 $x_0\in M$, 使得$$\Vert x_0\Vert =\inf \{\Vert x\Vert :x\in M\}.$$

证明 1. 这需要注意到两点: (i) $x\mapsto \Vert x\Vert$ 是弱下半连续的, 即对 $\alpha >0$, $\{\Vert x\Vert >\alpha \}$ 是 $X$ 的弱拓扑的开集. 这是因为对于 $x_0\in \{\Vert x\Vert >\alpha \}$, 令 $f\in X^{\ast }$ 使 $f(x_0)=\Vert x_0\Vert$ 且 $\Vert f\Vert =1$, 有 $\{|f(x-x_0)|<\Vert x_0\Vert -\alpha \}\subset \{|f(x)|>\alpha \}\subset \{\Vert x\Vert >\alpha \}$.

(ii) $M$ 是弱闭的. 这是因为对于 $x_0\notin M$, 存在 $f\in X^{\ast }$ 和 $\alpha \in \mathbb{R}$ 使得 $f(x)<\alpha <f(x_0),\forall x\in M$, 即 $x_0\in \{f(x)>\alpha \}\subset X\setminus M$.

记 $d=\inf \{\Vert x\Vert :x\in M\}$, 由于 $X$ 自反, $\{\Vert x\Vert ⩽2d\}$ 是弱紧的, 由 (ii) 得 $M\cap \{\Vert x\Vert ⩽2d\}$ 也是弱紧的, 由 (i), $x\mapsto \Vert x\Vert$ 在弱紧集上取得到最小值.

$\square$

证明 2. 记 $d=\inf \{\Vert x\Vert :x\in M\}$, 取 $M$ 中一列 $\{x_n\}$ 使得 $\Vert x_n\Vert \to d$. 由于 $X$ 自反, 存在子列 $\{x_{n_k}\}$ 弱收敛于某点 $x_0$, $M$ 闭说明 $x_0\in M$. 取 $f\in X^{\ast }$ 使 $f(x_0)=\Vert x_0\Vert$ 且 $\Vert f\Vert =1$, 则 $\Vert x_0\Vert =f(x_0)\leftarrow f(x_{n_k})⩽\Vert x_{n_k}\Vert \to d$ 当 $k\to \infty$, 结合 $x_0\in M$ 得 $\Vert x_0\Vert =d$.

$\square$

注: 两个方法实际上是相同的. 2 避免了弱拓扑的语言, 较简洁易懂; 1 则是用两个二级结论直接得出.

习题 20. 对于一个双向序列 $\{a_n{\}}_{n\in \mathbb{Z}}$, 记 $\mathbb{T}$ 上函数 $S_N(\theta )=\sum _{n=-N}^N{a}_n{e}^{2\pi \mathrm{i}n\theta }$. 对于 $1<p⩽\infty$, 若 $\underset{N}{\sup }\Vert S_N{\Vert }_p<\infty$, 证明: 存在 $f\in L^p(\mathbb{T})$, 使得其 Fourier 系数为 $a_n$.

证明. 把 $\{S_N{\}}_N$ 看成 $L^q(\mathbb{T}{)}^{\ast }=L^p(\mathbb{T})$ 的有界序列, 由 Banach–Alaoglu 定理, 存在子列 $\{S_{N_k}{\}}_k$ 弱 ${}^{\ast }$ 收敛到某 $f\in L^p(\mathbb{T})$, 那么对较大的 $k$, $a_n=⟨S_{N_k},e^{2\pi \mathrm{i}n\theta }⟩\to ⟨f,e^{2\pi \mathrm{i}n\theta }⟩$ 为 $f$ 的 Fourier 系数.

$\square$

习题 22. 对于 ${\mathbb{R}}^n$ 中的一个闭凸集 $A$, 若 $A$ 中一点 $x$ 是一列端点的极限, $x$ 是否一定是 $A$ 的端点?

证明. $n=1,2$ 时是, $n⩾3$ 时反例如图.

$\square$

附: 旧版习题

习题 1. 令 $U=(0,2\pi )\times (0,2\pi )$. 对正整数 $k$, ${\tilde{W}}^k(U)$ 为 $U$ 上的 Sobolev 空间, $C^k(\bar{U})$ 为 $\bar{U}$ 上 $k$ 次连续可导函数全体构成的 Banach 空间.

(i)	证明: 存在常数 $C$, 对于二元的三角多项式 $p$, $$\Vert p{\Vert }_{C(\bar{U})}⩽C\Vert p{\Vert }_{{\tilde{W}}^2(U)}.$$
(ii)	证明: 当 $k⩽l+2$ 时, ${\tilde{W}}^k(U)$ 可自然嵌入 $C^l(\bar{U})$. 特别地, 若 $u\in {\bigcap }_{k\in \mathbb{N}}{\tilde{W}}^k(U)$, 则可修改一个零测集上的取值使得 $u$ 是一个无穷次连续可导函数.
(iii)	记 $\Delta =\frac{{\partial }^2}{\partial x_1^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial x_2^2}$. 对于 $u\in L^2(U)$, 若 $L^2(U)$ 中函数 $v$ 满足$${\int }_{U}u\Delta \varphi dm={\int }_{U}v\varphi dm,\forall \varphi \in C_c^{\infty }(U).$$则记 $\mathbf{\Delta }u\triangleq v$. 证明: $\mathbf{\Delta }$ 是 ${\tilde{W}}^{k+2}(U)$ 到 ${\tilde{W}}^k(U)$ 的有界算子.
(iv)	若 $u\in L^2(U)$ 且 $\mathbf{\Delta }u\in {\tilde{W}}^k(U)$, 证明 $u\in {\tilde{W}}^{k+2}(U)$.
(v)	若 $L^2(U)$ 中函数 $u$ 是 $\mathbf{\Delta }$ 的特征向量, 即存在数 $\lambda$ 使得 $\mathbf{\Delta }u=\lambda u$, 证明: $u$ 是无穷次连续可导函数.

习题 2. 设 $\Omega$ 为 ${\mathbb{R}}^2$ 中有界开集, $f$ 在 $\overline{\Omega }$ 上无穷次连续可导. 令 $\Delta =\frac{d^2}{d{x}_1^2}+\frac{d^2}{d{x}_2^2}$, 考虑 Laplace 方程$$\{\begin{array}{rl}-\Delta u(x)& =f(x),x\in \Omega ,\\ u{|}_{\partial \Omega }& =0.\end{array}$$在现代偏微分方程理论中, 经常求解弱导数意义下方程的解, 再通过各类范数估计提高解的正则性. 我们首先在空间 $W_0^1(\Omega )$ 中求解 Laplace 方程. 对 $u\in L^2(\Omega )$, 它的弱 $\mathbf{\Delta }u$ 满足$${\int }_{\Omega }\mathbf{\Delta }uvdm={\int }_{\Omega }u\Delta vdm,\forall v\in C_c^{\infty }(\Omega ).$$

(i)	令$$⟨u,v{⟩}_1={\int }_{\Omega }[{\partial }_{1}u\overline{{\partial }_{1}v}+{\partial }_{2}u\overline{{\partial }_{2}v}]dm.$$证明: 存在常数 $C$, 使得对任意 $u\in C_c^{\infty }(\Omega )$ 成立 Poincaré 不等式 ${\int }_{\Omega }|u{|}^{2}dm⩽C⟨u,u{⟩}_1$.
(ii)	证明: $W_0^1(\Omega )$ 在内积 $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ 下也是一个 Hilbert 空间.
(iii)	证明: ${\tau }_f(v)\triangleq {\int }_{\Omega }fvdm$ 是 Hilbert 空间 $W_0^1(\Omega )$ 上的有界线性泛函.
(iv)	对 $u\in W_0^1(\Omega )$, 设它的弱导数 $\mathbf{\Delta }u$ 存在. 证明: ${\int }_{\Omega }-\mathbf{\Delta }uvdm=⟨u,v{⟩}_1,\forall v\in C_c^{\infty }(\Omega ).$
(v)	证明: 存在 $u\in W_0^1(\Omega )$ 为 Laplace 方程的弱解, 即 ${\int }_{\Omega }-\mathbf{\Delta }uvdm={\int }_{\Omega }fvdm,\forall v\in C_c^{\infty }(\Omega ).$

接下来, 我们说明 $u$ 的光滑性. 对任意一点 $(x_0,y_0)\in \Omega$, 取一个 $\Omega$ 中的邻域 $V=O((x_0,y_0),\epsilon )$ ($\epsilon <\pi$) , 以及 $\chi \in C_c^{\infty }(V),\chi (x_0,y_0)=1$. 记 $U=(0,2\pi )\times (0,2\pi )$.

(vi)	由著名的 Meyers–Serrin 定理可知, $C^{\infty }(\Omega )\cap W^k(\Omega )$ 在 $W^k(\Omega )$ 中稠密. 由此证明: $$f(x,y)\mapsto (\chi f)(x+x_0-\pi ,y+y_0-\pi )$$是 $W_0^k(\Omega )$ 到 $W_0^k(U)$ 的有界映射.
(vii)	证明: 弱解 $u$ 修正一个零测集上的值之后, 是在 $\Omega$ 上无穷次可微的, 且 $-\Delta u=f$.

证明.

(i)	设 $\Omega$ 在区域 $\{0<x_2<d\}$ 中. 由于$$|u(x_1,x_2){|}^2=|{\int }_0^{x_2}{\partial }_{2}u(x_1,t)dt{|}^2⩽x_2{\int }_0^d|{\partial }_{2}u(x_1,t){|}^{2}dt,$$得到$$\begin{array}{rl}{\int }_{\Omega }|u{|}^{2}dm& ⩽{\int }_{\mathbb{R}\times (0,d)}{x}_2{\int }_0^d|{\partial }_{2}u(x_1,t){|}^{2}dtd{x}_{1}d{x}_2\\ & ={\int }_0^d{x}_{2}d{x}_2{\int }_{\mathbb{R}\times (0,d)}|{\partial }_{2}u(x_1,t){|}^{2}d{x}_{1}dt=\frac{d^2}{2}{\int }_{\Omega }|{\partial }_{2}u{|}^{2}dm⩽\frac{d^2}{2}⟨u,u{⟩}_1.\end{array}$$
(ii)	设 $u\in W_0^1(\Omega )$ 有 $⟨u,u{⟩}_1=0$, 则 ${\partial }_{i}u\equiv 0,i=1,2$. 作磨光函数 $u\ast {\eta }_{\epsilon }\in C^{\infty }({\Omega }_{\epsilon })$ (其中 $\eta \in C_c^{\infty }(B_1),{\eta }_{\epsilon }(x)=\frac{1}{{\epsilon }^n}\eta \left(\frac{x}{\epsilon }\right),{\Omega }_{\epsilon }=\{x\in \Omega :d(x,\partial \Omega )>\epsilon \}$) , 有 ${\partial }_i(u\ast {\eta }_{\epsilon })={\partial }_{i}u\ast {\eta }_{\epsilon }\equiv 0$, 故 $u\ast {\eta }_{\epsilon }$ (在每个连通分支上) 是常数, 由 $\epsilon \to 0^{+}$ 时 $u\ast {\eta }_{\epsilon }\stackrel{W^1}{⟶}u$ 得到 $u$ 同样是常数, 根据 $u{|}_{\partial \Omega }=0$ 得 $u\equiv 0$. (i) 说明这一内积给出的范数 $\Vert {\Vert }_{{\dot{W}}^1}$ 与 $W^1$ 的范数等价, 因此 $W_0^1(\Omega )$ 在这一范数下也是完备的.
(iii)	由 (i), $|{\tau }_f(v)|⩽\Vert f{\Vert }_2\Vert v{\Vert }_2⩽\sqrt{C}\Vert f{\Vert }_2\Vert v{\Vert }_{{\dot{W}}^1}$.
(iv)	弱导数的定义.
(v)	(iii),(iv) 以及 Riesz 表示定理.
(vi)	$\Vert \chi f{\Vert }_{W^k}⩽C_k\sum _{m+n\le k}\sum _{m^{\prime }\le m,n^{\prime }\le n}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{m^{\prime }}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n^{\prime }}\right)\Vert {\partial }_1^{m-m^{\prime }}{\partial }_2^{n-n^{\prime }}\chi {\Vert }_{\infty }\Vert {\partial }_1^{m^{\prime }}{\partial }_2^{n^{\prime }}f{\Vert }_2⩽C_{k,\chi }\Vert f{\Vert }_{W^k}$.
(vii)	设已知 $u\in W_0^k(\Omega )$. 对任意的 $(x_0,y_0)\in \Omega$, 简记 $-=(x+x_0-\pi ,y+y_0-\pi )$, 由于 $\nabla u\in W_0^{k-1}(\Omega )$, $$-\mathbf{\Delta }(\chi u)(-)=(-\Delta \chi u-2\nabla \chi \cdot \nabla u+\chi f)(-)\in W_0^{k-1}(U).$$用上一题的 (iv), 得到 $\chi u(-)\in W_0^{k+1}(U)$, 取 $(\pi ,\pi )$ 的一个邻域 $X\subset \{\chi (-)>\frac{1}{2}\}$, 得 $u(-)\in W^{k+1}(X)$. 由 $(x_0,y_0)$ 的任意性以及 $u\in W_0^k(\Omega )$, 有 $u\in W_0^{k+1}(\Omega )$. 现有 $u\in W_0^1(\Omega )$, 反复提升正则性, 从而 $u$ 无穷次可微. (v) 中取一列 $v\stackrel{L^2}{⟶}-\Delta u-f$ 得到 $-\Delta u=f$. $\square$

注:	(ii) 中 $u{|}_{\partial \Omega }$ 是 $u\in W^1(\Omega )$ 的迹, 参考 [Evans] 5.5 Theorem 2;
	Meyers–Serrin 定理的证明见 [Evans] 5.3 Theorem 2.

参考文献

[Conway]	J. B. Conway. A Course in Funtional Analysis. Graduate Texts in Mathematics 96. Springer, 1990.
[Evans]	L. C. Evans. Partial Differential Equations. Graduate Studies in Mathematics 19. Amer. Math. Soc, 2010.
[Grafakos]	L. Grafakos. Classical Fourier Analysis. Graduate Texts in Mathematics 249. Springer, 2014.
[Wang]	汪林. 泛函分析中的反例. 现代数学基础 40. 高等教育出版社, 2014.
[Wilfredo]	Wilfredo Urbina-Romero. Gaussian Harmonic Analysis. Springer Monographs in Mathematics. Springer, 2019.
[Xia]	夏道行 等. 实变函数论与泛函分析 (下册) . 现代数学基础 17. 高等教育出版社, 2010.