Lax–Milgram 定理

在泛函分析中, Lax–Milgram 定理是 Riesz 表示定理的推广. 它说的是, 给定 Hilbert 空间上一个有界强制双线性型, 则该空间上任一有界线性泛函都可通过该双线性型由一个元素表出. 和 Riesz 表示定理不同之处在于, 我们不要求这个双线性型是对称的.

Lax–Milgram 定理在函数空间和偏微分方程理论中有重要意义. 例如, 对于椭圆方程$$\{\begin{array}{ll}Lu=f,& x\in \Omega ,\\ u=0,& x\in \partial \Omega ,\end{array}$$其中 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$ 是有界开区域, $f\in L^2(\Omega )\subset H^{-1}(\Omega )$,$$Lu=-\sum _{i,j=1}^n(a_{ij}{u}_{x_i}{)}_{x_j}+\sum _{i=1}^n{b}_i{u}_{x_i}+cu$$为满足一致椭圆条件的散度型椭圆算子, 定义双线性型$$B[u,v]={\int }_{\Omega }\left(\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}{u}_{x_i}{v}_{x_j}+\sum _{i=1}^n{b}_i{u}_{x_i}{v}_{x_i}+cuv\right)dx,$$则满足 $B[u,v]=(f,v{)}_{L^2(U)}$ 的 $u\in H_0^1(\Omega )$ 就是方程的弱解. 当 $a_{ij}$, $b_i$, $c$ 满足一定的光滑性条件时, Lax–Milgram 定理告诉我们弱解是存在并且唯一的.

1定理与证明

定义 1.1. 设 $H$ 为 (实) Hilbert 空间, $(\cdot ,\cdot )$ 为其内积, $\Vert \cdot \Vert =(\cdot ,\cdot {)}^{1/2}$ 为其范数, $B[\cdot ,\cdot ]:H\times H\to \mathbb{R}$ 为其上一个双线性型.

•	如果存在常数 $\alpha >0$, 对于任意 $u,v\in H$, $|B[u,v]|\le \alpha \Vert u\Vert \Vert v\Vert$, 则称 $B$ 是有界的;

•	如果存在常数 $\beta >0$, 对于任意 $u\in H$, $|B[u,u]|\ge \beta \Vert u{\Vert }^2$, 则称 $B$ 是强制的.

定理 1.2 (Lax–Milgram 定理). 条件如上, 假设 $B$ 是有界强制的. 则对任意 $H$ 上任意有界线性泛函 $f$, 存在唯一的 $u\in H$ 使得$$B[u,v]=⟨f,v⟩,\forall v\in H,$$这里 $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ 是 $H$ 的对偶空间和 $H$ 间的配对.

证明. 对于固定的 $u$, $B[u,v]$ 是 $H$ 上的有界线性泛函. 由 Riesz 表示定理, 存在唯一的 $w\in H$ 使 $B[u,v]=(w,v)$. 定义映射 $A:H\to H,u\mapsto w$. 由 Riesz 表示定理的唯一性, $B$ 的双线性, 可得 $A$ 是单射、线性映射; 由 $B$ 的有界性, 可得 $A$ 是有界线性算子.

下面证明 $R(A):=A(H)$ 是闭的. 我们观察$$\begin{array}{rl}\beta \Vert u_m-u_n{\Vert }^2& \le |B[u_m-u_n,u_m-u_n]|\\ & =|(A{u}_m-A{u}_n,u_m-u_n)|\\ & \le \Vert A{u}_m-A{u}_n\Vert \Vert u_m-u_n\Vert .\end{array}$$如果 $u_m\ne u_n$, 则有 $\beta \Vert u_m-u_n\Vert \le \Vert A{u}_m-A{u}_n\Vert$. 如果 $u_m=u_n$, 则自然有 $A{u}_m=A{u}_n$, 从而 $\beta \Vert u_m-u_n\Vert \le \Vert A{u}_m-A{u}_n\Vert$ 自动成立.

设 $A{u}_i\to Au\in H(i\in \mathbb{N})$, 则 $\{A{u}_i\}$ 是 Cauchy 列, 由上面的不等式, 这时 $\{u_i\}$ 也是 Cauchy 列, 从而存在 $u^{\prime }\in H$ 使 $u_i\to u^{\prime }$. 由于 $A$ 连续, 则 $Au=A{u}^{\prime }\in R(A)$. 故 $R(A)$ 是 $H$ 的闭子空间.

下面证明 $R(A)=H$. 为此用反证法, 设 $u\in R(A{)}^{\perp },u\ne 0$. 则 $0=(Au,u)=B[u,u]\ge \beta \Vert u{\Vert }^2$. 这和 $u\ne 0$ 矛盾. 所以 $R(A)=H$.

对于 $H$ 上任何一个有界线性泛函 $f$, 由 Riesz 表示定理, 存在唯一的 $u$ 使 $⟨f,v⟩=(u,v)$. 则 $B[A^{-1}u,v]=(u,v)=⟨f,v⟩$ 即为所求, 其中 $A^{-1}u$ 也是唯一的.

$\square$

2相关概念

•	弱解
•	Riesz 表示定理

术语翻译

Lax–Milgram 定理 • 英文 Lax–Milgram theorem • 德文 Satz von Lax–Milgram • 法文 théorème de Lax–Milgram