数理方程 讲义注疏

2调和方程

本章实际上就是 [HL] 一书的 Chapter 1, 有删节.

P22–3 如下证明更简单:

考虑 $U=\{x\in \Omega \mid u(x)=\underset{\overline{\Omega }}{\max }u\}$. 由 (2.27) $U$ 是开集, 又 $U$ 是闭集, 所以 $U=\varnothing$ 或 $\Omega$, 亦即 $\underset{\overline{\Omega }}{\max }u$ 不在 $\Omega$ 取到, 或 $u$ 为常数.

P35

$$\begin{array}{rl}& \Delta v\\ & =\Delta ({\phi }^2)|\nabla u{|}^2+2\nabla ({\phi }^2)\nabla |\nabla u{|}^2+{\phi }^2\Delta (|\nabla u{|}^2)\\ & =(2\phi \Delta \phi +2|\nabla \phi {|}^2)|\nabla u{|}^2+2\cdot 2\phi ({\partial }_{x_i}\phi {)}_{1\le i\le n}\cdot ({\partial }_{x_i}(\sum _{j=1}^n({\partial }_{x_j}u{)}^2){)}_{1\le i\le n}+{\phi }^2\Delta (|\nabla u{|}^2)\\ & =(2\phi \Delta \phi +2|\nabla \phi {|}^2)|\nabla u{|}^2+8\phi \sum _{i=1}^n{\partial }_{x_i}\phi \sum _{j=1}^n{\partial }_{x_j}u{\partial }_{x_i{x}_j}u+2{\phi }^2\sum _{j=1}^n({\partial }_{x_i{x}_j}u{)}^2\text{由 (2.42)}\\ & =(2\phi \Delta \phi -6|\nabla \phi {|}^2)|\nabla u{|}^2+8|\nabla \phi {|}^2|\nabla u{|}^2+8\phi \sum _{i,j=1}^n{\partial }_{x_i}\phi {\partial }_{x_j}u{\partial }_{x_i{x}_j}u+2{\phi }^2\sum _{i,j=1}^n({\partial }_{x_i{x}_j}u{)}^2\\ & =(2\phi \Delta \phi -6|\nabla \phi {|}^2)|\nabla u{|}^2+2\phi \sum _{i,j=1}^n(2{\partial }_{x_i}\phi {\partial }_{x_j}u+\phi {\partial }_{x_i{x}_j}u{)}^2.\end{array}$$

P30

$n-1$ 维单位球面面积 ${\omega }_{n-1}$ 的公式为$${\omega }_{n-1}=\frac{2{\pi }^{n/2}}{\Gamma (n/2)}.$$复习: Gamma 函数 $\Gamma (s)$ 是定义在 $\mathbb{C}$ 上的亚纯函数, $\mathrm{Re}s>0$ 时表达式为$$\Gamma (s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-t}{t}^{s-1}dt.$$直接计算得 $\Gamma (1)=1,\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi }$.

分部积分得到, 当 $\mathrm{Re}s>0$ 成立 $\Gamma (s+1)=s\Gamma (s)$.

 
$-\Delta \Gamma (x)$ 是一个分布, 即具有紧支集的光滑函数的空间 $C_0^{\infty }(\Omega )$ 上的一个连续线性泛函.

形式运算中的第一个等式是因为, 对于 $u\in C_0^{\infty }(\Omega )$, Green 恒等式成为$$u(x)={\int }_{\Omega }\Gamma (x-y)(-\Delta u(y))dy.$$

P42

没必要引入 $|x-x^0{|}^{\frac{1}{3}}$ 这种奇怪的东西.

把 $|x-x^0{|}^{\frac{1}{3}}$ 换成 $\delta >0$, 先让 $\delta$ 充分小使 $|I_1(x)|$ 很小, 再让 $x\to x^0$ 于是$$\frac{(1-|x{|}^2)(g(y)-g(x^0))}{2\pi |x-y{|}^2}$$在 $\partial B_1\cap \left\{|x-x^0|\le \delta \right\}$ 一致趋于 $0$ (此时 $\delta$ 已取定) 使得 $|I_2(x)|$ 很小即可.

P46

当 $\alpha =\frac{|x-x^0|}{1-|x^0|}<\sqrt{2}-1$ 时, $$\frac{2\sum _{i=1}^n|(x-x^0{)}_i(y-x^0{)}_i|+|x-x^0{|}^2}{|y-x^0{|}^2}\le 2\alpha +{\alpha }^2<1.$$故由 $(1-t{)}^{-\frac{3}{2}}$ 的幂级数展开在 $|t|<1$ 时绝对一致收敛, 得到$${\left(1-\frac{2(x-x^0)\cdot (y-x^0)-|x-x^0{|}^2}{|y-x^0{|}^2}\right)}^{-\frac{3}{2}}$$展开后各项可任意重排, 特别地, 可以排成关于 $x-x^0$ 的幂级数展开.

P50

(2.68) 的 ${\alpha }_1$ 前面的负号是因为, 在左端点 $0$ 处 $\frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}}=-\frac{\partial u}{\partial x}$.

Sturm-Liouville 定理的证明见第一章习题解答的最后.

3热方程

P67 命题 3.2.3

$$\begin{array}{rl}\sum _{k=1}^{\infty }|a_k{|}^2{k}^2& =\sum _{k=1}^{\infty }|\frac{2}{L}{\int }_0^L\phi (x)\sin \frac{k\pi x}{L}dx{|}^2{k}^2\\ & =\sum _{k=1}^{\infty }|\frac{2}{L}{\int }_0^L{\phi }^{\prime }(x)\frac{L}{k\pi }\cos \frac{k\pi x}{L}dx{|}^2{k}^2\\ & =(\frac{2}{\pi }{)}^2\sum _{k=1}^{\infty }|⟨{\phi }^{\prime }(x),\cos \frac{k\pi x}{L}⟩{|}^2\\ & \le (\frac{L}{\pi }{)}^2\Vert {\phi }^{\prime }{\Vert }_{L^2[0,L]}^2<\infty ,\end{array}$$

所以$$\begin{array}{r}\sum _{k=1}^{\infty }|a_k|\le (\sum _{k=1}^{\infty }|a_k{|}^2{k}^2\cdot \sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^2}{)}^{\frac{1}{2}}<\infty .\end{array}$$

4波动方程

P123–5

(4.28) 与 (4.32) 中 ${\partial }_t(\cdots )$ 的形式仍能继续算下去, 见定理 4.3.1 的证明过程以及 4.2 节习题 4 解答后的注.

P131 4.3.2

  举两个物理现象: 正是由于在三维空间中声波的传播具有无后效现象 (即 Huygens 原理) , 我们在谈话时可以清楚地听到对方的声音, 而不是余音绕梁, 三日不绝; 而在二维空间 (即平面) 上波的传播会产生弥散现象, 这就是一块石头投入水中, 激起层层波浪而久久不消散的原因. ([Zh] P172, 有改动)

参考文献

[HL]	Qing Han, and Fanghua Lin. Elliptic Partial Differential Equations. Courant lecture notes 1. Courant Institute of Mathematical Sciences, 2000.
[Zh]	周蜀林. 偏微分方程. 北京大学数学教学系列丛书. 北京大学出版社, 2005.