分布 (泛函分析)

关于其它含义, 请参见 “分布”.

分布 (也称为 Schwartz 分布或广义函数) 是函数的推广. 直观地说, 它允许函数取无穷的值, 但需要指定函数在这些无穷值处的积分.

例如, $\mathbb{R}$ 上的 $\delta$ 函数是最有名的分布. 直观地说, 我们有$$\delta (x)=\{\begin{array}{ll}0,& x\ne 0,\\ \infty ,& x=0,\end{array}$$并且 $\delta$ 函数在 $0$ 附近的积分指定为 $1$.

在分布的意义下, 任何函数都可以求任意阶导数. 借助这一类良好的性质, 分布在偏微分方程的理论中有关键的应用. 例如, 在初值问题中, 以 $\delta$ 函数为初值的解被称为基本解, 而基本解可以用来构造一般问题的解.

1定义

定义 1.1 (测试函数). 设 $U\subset {\mathbb{R}}^n$ 是开集. 则 $U$ 上测试函数的空间是 $U$ 上所有鼓包函数, 即实值紧支、光滑函数, 构成的空间$$\mathcal{D}(U)=C_{\mathrm{c}}^{\infty }(U).$$它作为拓扑向量空间, 带有由以下一族半范数诱导的拓扑: $$|f{|}_{k,K}=\underset{x\in K,|\alpha |\le k}{\sup }|{\partial }^{\alpha }f(x)|,$$其中 $k$ 取遍所有自然数, $K\subset U$ 取遍所有紧集, $\alpha$ 表示多重指标.

在定义 1.1 中, 如果 $f:U\to \mathbb{R}$ 是连续函数 (或更一般地, 局部可积函数), 那么 $f$ 可以与测试函数相乘并积分, 这给出了线性泛函$$\begin{array}{rl}\mathcal{D}(U)& \to \mathbb{R},\\ \phi & \mapsto {\int }_{U}f(x)\phi (x)dx.\end{array}$$我们将分布定义为这样的线性泛函.

定义 1.2 (分布). 设 $U\subset {\mathbb{R}}^n$ 是开集. 则 $U$ 上的分布是连续线性泛函$$\mathcal{D}(U)\to \mathbb{R},$$其中 $\mathcal{D}(U)$ 是测试函数的空间 (定义 1.1). 换言之, 分布的空间是 $\mathcal{D}(U)$ 的连续线性对偶, 记为 $\mathcal{D}(U{)}^{\prime }$.

定义 1.3 (流形上的分布). (...)

2例子

•	任意局部可积函数 $f\in L_{\mathrm{loc}}^1(U)$ 都是 $U$ 上的分布.

•	任意 Radon 测度都是分布.

•	定义 $\delta$ 函数 ${\delta }_0:\mathcal{D}(U)\to \mathbb{R}$ 为$${\delta }_0(\phi )=\phi (0).$$则 ${\delta }_0$ 是分布, 但不是 $U$ 上的函数.

3性质

命题 3.1 (分布的等价定义). 线性算子 $T:\mathcal{D}(U)\to \mathbb{R}$ 是一个分布, 当且仅当对任意的紧子集 $K\subset U$, 存在 $m(K)\in \mathbb{N}$, $C(K)$ 是一个常数. 有如下控制: $$T(\phi )\le C(K)|\phi {|}_{m,K}\forall \phi \in \mathcal{D}(K)$$这是判断一个线性映射是否在 $\mathcal{D}(U)$ 的拓扑上连续的等价定义.

注 3.2. 在命题 3.1 中, 我们先选取任意的紧子集 $K$, 随后选取依赖于 $K$ 的参数 $m,C$.

命题 3.3 (分布空间的拓扑). $\mathcal{D}(U{)}^{\prime }$ 作为对偶空间自然配备弱星拓扑, 即一列分布 $T_n$ 收敛于分布 $T$ 当且仅当$$⟨T_n,\phi ⟩\to ⟨T,\phi ⟩for\forall \phi \in \mathcal{D}(U)$$

4运算

求导

分布作为函数的推广, 我们希望其具有和函数类似的性质. 我们首先观察 $f\in C^1(U)$ 作为一个分布时, 通过分部积分, 我们有$${\int }_U{\partial }_{x_i}f(x)\cdot \phi (x)dx=-{\int }_{U}f(x)\cdot {\partial }_{x_i}\phi (x)dx$$此时, 作为 $\mathcal{D}(U)$ 上的线性映射$$T_i:\phi \to {\int }_{U}f(x)\cdot {\partial }_{x_i}\phi (x)dx$$也是连续的, 因此 $T_i$ 成为了一个分布. 且有$$⟨{\partial }_{x_i}f,\phi ⟩=-⟨T_i,\phi ⟩\forall \phi \in \mathcal{D}(U)$$我们不妨称 ${\partial }_{x_i}f$ 作为分布是等同于 $-T_i$ 的. 将这一想法推广到整个分布空间上, 我们定义分布导数如下

定义 4.1 (分布导数). $U\subset {\mathbb{R}}^n$ 是一个开子集, 对于任意的分布 $T\in \mathcal{D}(U{)}^{\prime }$, 多重指标 $\alpha \in {\mathbb{N}}^n$, 我们定义 $T$ 的分布导数 ${\partial }^{\alpha }T$ 为一个分布 $L$, 使得$$⟨T,{\partial }^{\alpha }\phi ⟩=(-1{)}^{|\alpha |}⟨L,\phi ⟩$$对任意的 $\phi \in \mathcal{D}(U)$ 均成立. 我们形式上记 ${\partial }^{\alpha }T=L$. 这里回忆一下多重指标 $\alpha =({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)$, 其中 ${\alpha }_i\in \mathbb{N}$. $|\alpha |:={\sum }_i{\alpha }_i$, 偏微分定义为 ${\partial }^{\alpha }:={\partial }_{x_1}^{{\alpha }_1}\dots {\partial }_{x_n}^{{\alpha }_n}$

注 4.2. $C^1$ 函数的常规导数总是等于分布导数的. 但是对于其他的函数并非如此, 即使是几乎处处可微的函数, 也有如下反例: 在 $\mathbb{R}$ 中, 考虑函数$$f(x):=1_{x>0}$$容易看出 $f(x)$ 是几乎处处可微且导数为 0 的. 但是当我们计算其分布导数: $$\begin{array}{rl}⟨f,{\phi }^{\prime }⟩& ={\int }_{\mathbb{R}}f(x){\phi }^{\prime }(x)dx\\ & ={\int }_{\{x>0\}}{\phi }^{\prime }(x)dx\\ & =-\phi (0)=-⟨{\delta }_0,\phi ⟩\end{array}$$因此 $f$ 作为分布的分布导数是 ${\delta }_0$.

拉回

(...)

乘积

定义 4.3. 对于光滑函数 $f\in C^{\infty }(U)$ 和分布 $L\in \mathcal{D}(U{)}^{\prime }$, 定义乘积 $f\cdot L$ 为一个分布: $$⟨f\cdot L,\phi ⟩=⟨L,f\cdot \phi ⟩$$读者可以自行验证 $f\cdot L$ 仍是一个分布

5相关概念

•	速降函数空间
•	缓增函数空间

术语翻译

分布 • 英文 distribution • 德文 Distribution (f) • 法文 distribution (f)