用户: Solution/ 笔记: 经典力学

整理《经典物理选讲》的笔记于此, 只做了一部分. 以后的人可以继续写下去, 谢谢.

1牛顿力学

本章的参考材料为 [Li] 第 1 章.

质点运动

定义 1.1.

$\circ$	位矢 $\mathbf{r}(t)$.
$\circ$	速度 $\mathbf{v}=\dot{\mathbf{r}}(t)$.
$\circ$	加速度 $\mathbf{a}=\ddot{\mathbf{r}}=\frac{d\mathbf{v}}{dt}=\frac{d^2\mathbf{r}}{d{t}^2}$.

定义 1.2. 设平面上的点 $(x,y)=(r\cos \theta ,r\sin \theta )$, $e_r,e_{\theta }$ 分别为沿 $r,\theta$ 增加的方向的单位向量, 即$$e_r:=(\cos \theta ,\sin \theta ),e_{\theta }:=-(\sin \theta ,\cos \theta ).$$

公式 1.3. $${\dot{e}}_r=\dot{\theta }{e}_{\theta },{\dot{e}}_{\theta }=-\dot{\theta }{e}_r.$$$$\mathbf{v}=\frac{d}{dt}(r{e}_r)=\dot{r}{e}_r+r\dot{\theta }{e}_{\theta },$$$$\text{即}{v}_r=\dot{r},v_{\theta }=r\dot{\theta }.$$

公式 1.4. $$\begin{array}{rl}\mathbf{a}& =\frac{d}{dt}(\dot{r}{e}_r+r\dot{\theta }{e}_{\theta })\\ & =\ddot{r}{e}_r+\dot{r}\dot{\theta }{e}_{\theta }+\dot{r}\dot{\theta }{e}_{\theta }+r\ddot{\theta }{e}_{\theta }+r\dot{\theta }(-\dot{\theta }{e}_r)\\ & =(\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2)e_r+(2\dot{r}\dot{\theta }+r\ddot{\theta })e_{\theta },\end{array}$$$$\text{即}{a}_r=\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2,a_{\theta }=2\dot{r}\dot{\theta }+r\ddot{\theta }=\frac{1}{r}\frac{d}{dt}(r^2\dot{\theta }).$$

定义 1.5. 当质点的轨道给定, 任取轨道上一点 $Q$ 为原点, 定义 $Q$ 到 $P$ 的弧长 $s$ 为 $P$ 的弧坐标.

公式 1.6. 设位矢为 $\mathbf{r}=\mathbf{r}(s)$, 速度为$$\mathbf{v}=\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\frac{d\mathbf{r}}{ds}\frac{ds}{dt}=\dot{s}\tau ,$$其中 $\tau$ 为切线方向的单位矢量 (因为 $|\tau |=\frac{|d\mathbf{r}|}{ds}=1$) , 加速度为$$\mathbf{a}=\frac{d}{dt}(\dot{s}\tau )=\ddot{s}\tau +{\dot{s}}^2\frac{d\tau }{ds}=\ddot{s}\tau +\frac{{\dot{s}}^2}{\rho }n,$$其中曲率矢量$$\mathbf{N}=\frac{d\tau }{ds}=Nn=\frac{n}{\rho }.$$曲率矢量的方向称为主法线方向, 通常指向直线弯曲的一侧, $n$ 为主法线方向的单位矢量, $N$ 称为空间曲线的曲率, $\rho$ 称为曲率半径 (是曲线内切圆的半径) , 于是有内秉方程$$a_{\tau }=\ddot{s}=\dot{v}=v\frac{dv}{ds},a_n=\frac{{\dot{s}}^2}{\rho }=\frac{v^2}{\rho }.$$

公式 1.7. 对于不同的轨道方程, 曲率半径为$$\begin{array}{rl}\{\begin{array}{l}x=x(t),\\ y=y(t),\end{array}& \rho =\frac{({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2{)}^{3/2}}{|\dot{x}\ddot{y}-\ddot{x}\dot{y}|};\\ \{\begin{array}{l}x=x(s),\\ y=y(s),\\ z=z(s),\end{array}& \rho =\frac{1}{\sqrt{{\ddot{x}}_s^2+{\ddot{y}}_s^2+{\ddot{z}}_s^2}}.\end{array}$$

例 1.8. 地面上有一半球形粗糙凹坑, 质点在坑边无初速地跌入, 求质点到达坑底的速度. 凹坑的半径为 $R$, 坑与质点之间的摩擦系数为 $\mu$.

解答.

解答. 从切向、法向的受力有$$\{\begin{array}{rl}mg\cos \theta -\mu N& =m\frac{dv}{dt},\\ N-mg\sin \theta & =m{v}^2/R.\end{array}$$两式消去 $N$, 得$$\frac{dv}{dt}=g\cos \theta -\mu (g\sin \theta +v^2/R),$$即$$2R\frac{dv}{dt}=2gR(\cos \theta -\mu \sin \theta )-2\mu v^2.$$为了使上式不显含 $t$, 把左边化为$$2R\frac{dv}{dt}=2R\frac{d\theta }{dt}\frac{dv}{d\theta }=2v\frac{dv}{d\theta }=\frac{d(v^2)}{d\theta },$$再令 $v^2=z$, 那么$$\frac{dz}{d\theta }+2\mu z-2gR(\cos \theta -\mu \sin \theta )=0.$$现在解微分方程. 乘以 $e^{2\mu \theta }$ 有$$e^{2\mu \theta }\frac{dz}{d\theta }+2\mu e^{2\mu \theta }z=2gR(\cos \theta -\mu \sin \theta )e^{2\mu \theta },$$两边对 $\theta$ 积分, 得$$e^{2\mu \theta }z=gR\int 2(\cos \theta -\mu \sin \theta )e^{2\mu \theta }.$$由于$$2(\cos \theta -\mu \sin \theta )=e^{i\theta }+e^{-i\theta }+i\mu (e^{i\theta }-e^{-i\theta })=(1+i\mu )e^{i\theta }+(1-i\mu )e^{-i\theta },$$得$$e^{2\mu \theta }z=gR(\frac{1+i\mu }{i+2\mu }{e}^{(i+2\mu )\theta }+\frac{1-i\mu }{-i+2\mu }{e}^{(-i+2\mu )\theta }+C).$$当 $\theta =0$ 时, $z=v^2=0$, 确定了 $C$, 即$$e^{2\mu \theta }z=gR(\frac{1+i\mu }{i+2\mu }(e^{(i+2\mu )\theta }-1)+\frac{1-i\mu }{-i+2\mu }(e^{(-i+2\mu )\theta }-1)).$$坑底处 $\theta =\frac{\pi }{2}$, 代入得$$e^{\mu \pi }z=gR(\frac{1+i\mu }{i+2\mu }(i{e}^{\mu \pi }-1)+\frac{1-i\mu }{-i+2\mu }(-i{e}^{\mu \pi }-1)),$$算出来$$v=z^{1/2}=(\frac{-2{\mu }^2-3\mu e^{-\mu \pi }+1}{1+4{\mu }^2}2gR{)}^{1/2}.$$$\square$

习题 1. 如图, 曲柄 $OA$ 长为 $r$, 以恒定角速度 $\omega$ 绕定点 $O$ 转动. 此曲柄借连杆 $AB$ 使滑块 $B$ 沿直线 $Ox$ 运动. 求连杆中点 $C$ 的轨迹和速率.

解答.

解答. $C$ 的坐标为$$(r\cos \varphi +\sqrt{a^2-(\frac{r}{2}\sin \varphi {)}^2},\frac{r}{2}\sin \varphi ),\varphi =\omega t,$$速率为$$\begin{array}{r}|(-r\sin \varphi \omega -\frac{r^2}{2}\sin \varphi \cos \varphi \omega /\sqrt{a^2-(\frac{r}{2}\sin \varphi {)}^2},\frac{r}{2}\cos \varphi \omega )|\\ =r\omega \sqrt{(\sin \varphi +\frac{r}{2}\sin \varphi \cos \varphi /\sqrt{a^2-\left(\frac{r}{2}\sin \varphi \right)}{)}^2+(\frac{\cos \varphi }{2}{)}^2}.\end{array}$$

$\square$

习题 2. 质点作平面运动, 其速度为$$\mathbf{v}=p{e}_x+q{e}_{\theta },$$其中 $p,q$ 为常量, 且 $q>p>0$. 求极坐标轨道方程.

解答.

解答. 注意到$$e_x=e_r\cos \theta -e_{\theta }\sin \theta ,$$得$$\dot{r}{e}_r+r\dot{\theta }{e}_{\theta }=p(e_r\cos \theta -e_{\theta }\sin \theta )+q{e}_{\theta },$$即$$\{\begin{array}{rl}\dot{r}& =p\cos \theta ,\\ r\dot{\theta }& =-p\sin \theta +q,\end{array}$$于是$$\frac{\dot{r}}{r}=\frac{p\cos \theta \dot{\theta }}{-p\sin \theta +q},$$得$$r(-p\sin \theta +q)=C.$$$\square$

习题 3. 直线 $FM$ 在一给定的椭圆平面内以匀角速 $\mathbf{\omega }$ 转动. 求此直线与椭圆交点 $M$ 的速度. 已知以焦点为坐标原点的椭圆的极坐标方程为$$r=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos \theta },$$式中 $a$ 为椭圆的长半轴, $e$ 为偏心率, 都是常数.

解答.

解答. $$\dot{\mathbf{r}}=\frac{e\sin \theta }{1+e\cos \theta }\mathbf{r}\omega ,$$速度及其大小为$$\mathbf{v}=\frac{e\sin \theta }{1+e\cos \theta }r\omega e_r+r\omega e_{\theta },$$$$v=r\omega \left|\right(\frac{e\sin \theta }{1+e\cos \theta },1\left)\right|=r\omega \frac{\sqrt{1+2e\cos \theta +e^2}}{1+e\cos \theta }.$$$\square$

习题 8. 一质点沿着抛物线 $y^2=2qx$ 运动, 其切向加速度的量值为法向加速度量值的 $2k$ 倍, 如此质点从正交弦 $(\frac{q}{2},q)$ 的一段以速度 $u$ 出发, 试求其达到正交弦另一端 $(\frac{q}{2},-q)$ 时的速率.

解答.

解答. 要$$a_{\tau }=2k{a}_n,$$即$$v\frac{dv}{ds}=2k\frac{v^2}{\rho },$$用 $\rho =\left|\frac{ds}{d\theta }\right|$, $\theta$ 是切线与 $x$ 轴的夹角, 得$$\frac{dv}{v}=2k\frac{ds}{\rho }=2kd\theta ,$$由此$$v=e^{2k\theta +C}.$$起点与终点的切线及夹角分别为$$\begin{array}{rl}qy=q(x+\frac{q}{2}),& \theta =\frac{\pi }{4},\\ -qy=q(x+\frac{q}{2}),& \theta =\frac{3\pi }{4},\end{array}$$故末速率为$$v=u{e}^{k\pi }.$$$\square$

习题 9. 质点沿着半径为 $R$ 的圆周运动, 加速度与速度的夹角为 $\alpha$, 初速度为 $v_0$. 试证质点的速度可表示为$$v=v_0{e}^{(\theta -{\theta }_0)\cot \alpha }.$$

证明.

证明. 要$$a_{\tau }=a_n\cot \alpha ,$$即$$\dot{v}=\frac{v^2}{R}\cot \alpha ,$$得$$\frac{\dot{v}}{v}=\frac{v}{R}\cot \alpha =\dot{\theta }\cot \alpha ,$$由此$$v=e^{\theta \cot \alpha +C},$$代入初值得$$v=v_0{e}^{(\theta -{\theta }_0)\cot \alpha }.$$$\square$

习题 15. 物体沿铅垂平面内开口向上的光滑摆线运动, 证明质点一定作简谐振动, 且周期与振幅的大小无关. 摆线的参数方程是$$x=b(2\theta +\sin 2\theta ),y=b(1-\cos 2\theta ).$$提示: 用自然坐标.

证明.

证明. 由$$(\dot{x},\dot{y})=(b\dot{\theta }(2+2\cos 2\theta ),b\dot{\theta }2\sin 2\theta ),$$有$$v=b\dot{\theta }2(2\cos \theta )=4b(\sin \theta {)}^{\prime }.$$切向加速度由重力的切向分力引起, 即$$a_{\tau }=-g\sin \theta ,$$又$$a_{\tau }=\dot{v}=4b(\sin \theta {)}^{\prime \prime },$$解得$$\sin \left(2\sqrt{\frac{b}{g}}\theta \right)=C\sin (t-t_0),$$从而周期是$$T=2\pi \sqrt{\frac{b}{g}}.$$$\square$

质点力学

定义 1.9. 一个质点在惯性系中所受的力通常可表示为 $\mathbf{r},\dot{\mathbf{r}},t$ 的函数, 所以牛顿第二定律是微分方程$$m\ddot{\mathbf{r}}=\mathbf{F}(\mathbf{r},\dot{\mathbf{r}},t).$$如果质点的运动受到某种限制, 比如被限制在某个曲面或曲线上运动, 这种限制称为约束, 这种运动叫作约束运动. 这实际上是产生约束的物体 (称为约束物体) 对质点提供的反作用力, 通常是弹性力. 相应的微分方程是$$m\ddot{\mathbf{r}}=\mathbf{F}(\mathbf{r},\dot{\mathbf{r}},t)+\mathbf{R}.$$

解算约束运动, 一般用内秉方程方便, 对于表面光滑的曲线, 取 $\tau ,n,b$ 为右手坐标系, 有$$\begin{array}{rl}m\frac{dv}{dt}& =F_{\tau },\\ m\frac{v^2}{r}& =F_n+R_n,\\ 0& =F_b+R_b.\end{array}$$

定义 1.10. 引入动量$$\mathbf{p}=m\mathbf{v},$$因为经典力学中质点的质量为常数, 牛顿第二定律 $\mathbf{F}=m\mathbf{a}$ 可以写成$$\mathbf{F}=\frac{d\mathbf{p}}{dt},$$称为动量定理, 在广义相对论下仍然成立, 尽管那时 $m$ 不再是常数了.

定理 1.11. 当 $\mathbf{F}=0$ 时, 有$$\mathbf{p}=\text{常数},$$叫做动量守恒定律. 当某个直角坐标分量 ${\mathbf{F}}_x=0$ 时, 有$${\mathbf{p}}_x=\text{常数}.$$将动量定理对时间积分, 得冲量等于动量的增加, 系$$\text{冲量}:={\int }_{t_1}^{t_2}\mathbf{F}dt=\Delta \mathbf{p}.$$

根据动量定理, 有$$\mathbf{r}\times \mathbf{F}=r\times \frac{d\mathbf{p}}{dt}=\frac{d}{dt}(\mathbf{r}\times \mathbf{p})-\frac{d\mathbf{r}}{dt}\times \mathbf{p},$$右端第二项即 $\mathbf{v}\times m\mathbf{v}=0$. 引入以下概念:

定义 1.12.

$\circ$	力矩 $\mathbf{M}=\mathbf{r}\times \mathbf{F}$.
$\circ$	角动量 $\mathbf{J}=\mathbf{r}\times \mathbf{p}=\mathbf{r}\times m\dot{\mathbf{r}}$.

可得角动量定理$$\mathbf{M}=\frac{d\mathbf{J}}{dt}.$$若 $\mathbf{M}=0$, 则 $\mathbf{J}=$ 常数, 这称为角动量守恒定律; 特别地, 若 $\mathbf{F}//\mathbf{r}$, 则角动量守恒.

再根据动量定理, 有$$\mathbf{r}\cdot \mathbf{F}=r\cdot \frac{d\mathbf{p}}{dt}=\frac{d}{dt}(\mathbf{r}\cdot \mathbf{p})-\frac{d\mathbf{r}}{dt}\cdot \mathbf{p}=\frac{d}{dt}(\mathbf{r}\cdot \mathbf{p})-2T,$$其中 $T=\frac{1}{2}m{v}^2$ 为质点的动能. 移项有$$\mathbf{r}\cdot \mathbf{F}+2T=\frac{d}{dt}(\mathbf{r}\cdot \mathbf{p}),$$如果质点的 $\mathbf{r},\mathbf{p}$ 均保持有限, 对一段时间 $\tau$ 取平均, 即$$\frac{1}{\tau }{\int }_{t_0}^{t_0+\tau }(\mathbf{r}\cdot \mathbf{F})dt=\frac{1}{\tau }\mathbf{r}\cdot \mathbf{p}{|}_{t_0}^{t_0+\tau },$$令 $\tau \to \infty$, 上式右端为 $0$, 于是得到$$\overline{T}=-\frac{1}{2}\overline{\mathbf{r}\times \mathbf{F}},$$上横线代表对无限长时间取平均, 此式称为位力原理.

运动参考系

经典力学是建立在伽利略和牛顿所提出的绝对时空观基础之上的, 按照绝对时空观, 两个处在不同参考系中的观察者, 所观测到的空间距离和时间间隔不会因参考系的相对运动而存在差异.

平动参考系

设参考系 $S^{\prime }$ 相对于 $S$ 平动, $\overrightarrow{O{O}^{\prime }}={\mathbf{r}}_0$. 称 $S$ 为静止参考系, $S^{\prime }$ 为运动参考系. 由$$\mathbf{r}={\mathbf{r}}^{\prime }+{\mathbf{r}}_0,$$有$$\mathbf{v}={\mathbf{v}}^{\prime }+{\mathbf{v}}_0.$$称 $\mathbf{v}$ 为绝对速度, ${\mathbf{v}}^{\prime }$ 为相对速度, ${\mathbf{v}}_0$ 为牵连速度, 又有$$\mathbf{a}={\mathbf{a}}^{\prime }+{\mathbf{a}}_0.$$称 $\mathbf{a}$ 为绝对加速度, ${\mathbf{a}}^{\prime }$ 为相对加速度, ${\mathbf{a}}_0$ 为牵连加速度. 于是得到 $S$ 系中的运动方程$$\mathbf{F}=m\mathbf{a}+m{\mathbf{a}}_0,$$为了将 $S’$ 系中的运动方程写成牛顿第二定律的形式, 移项得$$\mathbf{F}+\mathbf{G}=m{\mathbf{a}}^{\prime },$$其中 $\mathbf{G}=-m{\mathbf{a}}_0$ 为惯性力.

转动参考系

参考系绕轴线以角速度 $\mathbf{\omega }$ 转动, 轴线通过原点 $O$, 其中角速度矢量 $\mathbf{\omega }$ 的方向与转动方向成右手螺旋关系, $$\mathbf{v}=\mathbf{\omega }\times \mathbf{r}$$称为牵连速度, 成立$$|\mathbf{v}|=|\mathbf{\omega }\times \mathbf{r}|=|\mathbf{\omega }||\mathbf{r}|\sin \theta =|\mathbf{\omega }|R.$$设参考系 $S^{\prime }$ 与 $S$ 的原点重合, $S^{\prime }$ 系以角速度 $\mathbf{\omega }$ 相对于 $S$ 系转动, 不妨设 $S^{\prime }$ 系绕 $z$ 轴转动.

取任意矢量 $\mathbf{P}$, 它在 $S^{\prime }$ 系中分解为$$\mathbf{P}=P_x^{\prime }{e}_x^{\prime }+P_y^{\prime }{e}_y^{\prime }+P_z^{\prime }{e}_z^{\prime },$$则$$\frac{d\mathbf{P}}{dr}=(\frac{d{P}_x^{\prime }}{dt}{e}_x^{\prime }+\frac{d{P}_y^{\prime }}{dt}{e}_y^{\prime }+\frac{d{P}_z^{\prime }}{dt}{e}_z^{\prime })+(P_x^{\prime }\frac{d{e}_x}{dt}+P_y^{\prime }\frac{d{e}_y}{dt}+P_z^{\prime }\frac{d{e}_z}{dt}),$$由于$$\frac{d{e}_x^{\prime }}{dt}=\mathbf{\omega }\times e_x^{\prime },\frac{d{e}_x^{\prime }}{dt}=\mathbf{\omega }\times e_x^{\prime },\frac{d{e}_x^{\prime }}{dt}=\mathbf{\omega }\times e_x^{\prime },$$于是$$\frac{d\mathbf{P}}{dt}=\frac{d^{\prime }\mathbf{P}}{dt}+\mathbf{\omega }\times \mathbf{P},$$其中$$\frac{d^{\prime }\mathbf{P}}{dt}=\frac{d{P}_x^{\prime }}{dt}{e}_x^{\prime }+\frac{d{P}_y^{\prime }}{dt}{e}_y^{\prime }+\frac{d{P}_z^{\prime }}{dt}{e}_z^{\prime }$$称为相对变化率, 是 $\mathbf{P}$ 在 $S^{\prime }$ 系中随时间的变化率, $\mathbf{\omega }\times \mathbf{P}$ 称为相对变化率, $\frac{d\mathbf{P}}{dt}$ 是绝对变化率.

取 $\mathbf{P}=$ 位矢 $\mathbf{r}$, 有$$\mathbf{v}={\mathbf{v}}^{\prime }+\mathbf{\omega }\times \mathbf{r},$$这是绝对速度 $\mathbf{v}$ 与相对速度 ${\mathbf{v}}^{\prime }$ 的关系, $\mathbf{\omega }\times \mathbf{r}$ 称为转动牵连速度. $$\begin{array}{rl}\frac{d\mathbf{v}}{dt}& =\frac{d{\mathbf{v}}^{\prime }}{dt}+\frac{d\mathbf{\omega }}{dt}\times \mathbf{r}+\mathbf{\omega }\times \mathbf{v}\\ & =(\frac{d^{\prime }{\mathbf{v}}^{\prime }}{dt}+\mathbf{\omega }\times {\mathbf{v}}^{\prime })+\frac{d\mathbf{\omega }}{dt}\times \mathbf{r}+\mathbf{\omega }\times ({\mathbf{v}}^{\prime }+\mathbf{\omega }\times \mathbf{r})\\ & =\frac{d^{\prime }{\mathbf{v}}^{\prime }}{dt}+\frac{d\mathbf{\omega }}{dt}\times \mathbf{r}+\mathbf{\omega }\times (\mathbf{\omega }\times \mathbf{r})+2\mathbf{\omega }\times {\mathbf{v}}^{\prime },\end{array}$$这是绝对加速度 $\mathbf{a}=\frac{d\mathbf{v}}{dt}$ 与相对加速度 ${\mathbf{a}}^{\prime }=\frac{d^{\prime }{\mathbf{v}}^{\prime }}{dt}$ 的关系, $\frac{d\mathbf{\omega }}{dt}\times \mathbf{r}$ 称为转动牵连加速度, $\mathbf{\omega }\times (\mathbf{\omega }\times \mathbf{r})$ 称为向轴加速度, $2\mathbf{\omega }\times {\mathbf{v}}^{\prime }$ 称为科里奥利加速度.

于是得到 $S^{\prime }$ 中质点的动力学方程$$m{\mathbf{a}}^{\prime }=\mathbf{F}-m\frac{d\mathbf{\omega }}{dt}\times \mathbf{r}-m\mathbf{\omega }\times (\mathbf{\omega }\times \mathbf{r})-2m\mathbf{\omega }\times {\mathbf{v}}^{\prime },$$引入了三种惯性力:

$\circ$	$-m\frac{d\mathbf{\omega }}{dt}\times \mathbf{r}$ 是参考系 $S^{\prime }$ 的角速度引起的惯性力, 当 $\mathbf{\omega }$ 为恒矢量时此项为零;
$\circ$	$-m\mathbf{\omega }\times (\mathbf{\omega }\times \mathbf{r})$ 称为惯性离心力;
$\circ$	$-2m\mathbf{\omega }\times {\mathbf{v}}^{\prime }$ 称为科里奥利力, 在地球表面引起一系列的效应: 气旋, 河岸冲刷, 铁轨磨损, 落体东偏等.

一般参考系

下面来研究地球运动所引起的效应, 地球是匀速自转的非惯性系. 把坐标放在 $S^{\prime }=O^{\prime }{x}^{\prime }{y}^{\prime }{z}^{\prime }$, 记 $\overrightarrow{O{O}^{\prime }}=\mathbf{R}$, $\overrightarrow{OP}=\mathbf{r}$, $\overrightarrow{O^{\prime }P}={\mathbf{r}}^{\prime }$, 有 $\frac{d\mathbf{\omega }}{dt}=0$, $|{\mathbf{r}}^{\prime }|\ll |\mathbf{R}|$ 即 $\mathbf{r}\approx \mathbf{R}$, 那么$$\mathbf{a}={\mathbf{a}}^{\prime }+\mathbf{\omega }\times (\mathbf{\omega }\times \mathbf{R})+2\mathbf{\omega }\times {\mathbf{v}}^{\prime }.$$于是得到地球上的运动方程$$m{\mathbf{a}}^{\prime }=\mathbf{F}-m\mathbf{\omega }\times (\mathbf{\omega }\times \mathbf{R})-2m\mathbf{\omega }\times {\mathbf{v}}^{\prime }.$$

设物体在纬度 $\lambda$ 处, 从 $h$ 高度自由落下, 在地球表面建立坐标系, $z$ 轴向上, $x$ 轴向南, $y$ 轴向东, 落体方程为$$m\ddot{\mathbf{r}}=m\mathbf{g}-2m\mathbf{\omega }\times \mathbf{v}.$$为了这一方程写成分量的形式, 计算$$\mathbf{\omega }=(-\omega \cos \lambda ,0,\omega \sin \lambda ),\mathbf{v}=(\dot{x},\dot{y},\dot{z}),$$$$\mathbf{\omega }\times \mathbf{v}=(-\dot{y}\omega \sin \lambda ,\omega \cos \lambda \dot{z}+\omega \sin \lambda \dot{x},-\omega \cos \lambda \dot{y}),$$于是$$\{\begin{array}{rl}m\ddot{x}& =2m\dot{y}\omega \sin \lambda ,\\ m\ddot{y}& =-2m(\omega \cos \lambda \dot{z}+\omega \sin \lambda \dot{x}),\\ m\ddot{z}& =-mg+2m\omega \cos \lambda \dot{y},\end{array}\text{即}\{\begin{array}{rl}\ddot{x}& =2\dot{y}\omega \sin \lambda ,\\ \ddot{y}& =-2\omega (\cos \lambda \dot{z}+\sin \lambda \dot{x}),\\ \ddot{z}& =-g+2\omega \cos \lambda \dot{y}.\end{array}$$当 $h\ll R$ 时忽略 $\omega \dot{x},\omega \dot{y}$, 有$$\{\begin{array}{rl}\ddot{x}& =0,\\ \ddot{y}& =-2w\cos \lambda \dot{z},\\ \ddot{z}& =-g.\end{array}$$积分两次, 结合初始条件$$\begin{array}{rl}(x(0),y(0),z(0))& =(0,0,h),\\ (\dot{x}(0),\dot{y}(0),\dot{z}(0))& =(0,0,0),\end{array}$$得$$\{\begin{array}{rl}x& =0,\\ y& =\frac{1}{3}\omega g{t}^3\cos \lambda ,\\ z& =h-\frac{1}{2}g{t}^2.\end{array}$$从后两个方程中消去 $t$, 得轨道方程$$y^2=-\frac{8}{9}\frac{{\omega }^2{\cos }^2\lambda }{g}(z-h{)}^3.$$到达地面时 $z=0$, 向东的偏移值为$$y=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{8h^3}{g}}\omega \cos \lambda .$$取 $\lambda =45^{\circ }$, $h=100$ 米, 有 $y\approx 1.535$ 厘米, 该值很小, 故难以察觉.

习题 22. 位于竖直平面里的光滑滑钢丝圈的半径为 $r$, 其上套一质量为 $m$ 的小环. 若钢丝圈以恒定加速度 $a$ 沿竖直方向运动, 求小环相对速度的量值 $v^{\prime }$ 及圈对小环的约束力 $\mathbf{R}$, 用极角 $\theta$ 表示, 设 $x$ 轴竖直向下.

解答.

解答. 功能原理表明$$(mg-ma)(r\cos {\theta }_0-r\cos \theta )=\frac{1}{2}m{v}^{\prime 2}-\frac{1}{2}m{v_0^{\prime }}^2,$$故$$v^{\prime }=\sqrt{{v_0^{\prime }}^2+2(g-a)(r\cos {\theta }_0-r\cos \theta )}.$$以钢丝圈为参照系, 径向的受力平衡为$$R=\frac{m{v}^{\prime 2}}{r}-(mg-ma)\cos \theta ,$$得到$$R=\frac{m{v_0^{\prime }}^2}{r}+(mg-ma)(2\cos {\theta }_0-3\cos \theta ).$$$\square$

习题 23. 竖直的 $Oxy$ 平面内固定有一光滑曲线 $y=f(x)$, $Oxy$ 平面绕竖直轴 $y$ 以角速度 $\mathbf{\omega }$ 转动. 一质量为 $m$ 的小环穿在曲线上, 并可在曲线上任意位置实现相对平衡. 求曲线的方程和小环所受的约束力, 设曲线过原点 $O$.

解答.

解答. 约束力 $\mathbf{R}$ 与曲线的切线垂直, 于是有$$f^{\prime }(x)=\frac{m{\omega }^{2}x}{mg},$$即$$f(x)=\frac{{\omega }^2{x}^2}{2g}.$$$\mathbf{R}$ 的大小为$$R=m\sqrt{g^2+({\omega }^{2}x{)}^2}.$$$\square$

习题 24. 一质点在北纬 $\lambda$ 处自地面竖直上抛, 它到达的最大高度为 $h$, 求它回至地面时, 相对于初位置的偏离.

解答.

解答. 以最高时为 $t=0$, 设抛起时 $t=t_0<0$, 落地时 $t=t_1>0$. 现在的条件是$$\begin{array}{rl}(x(t_0),y(t_0),z(t_0))& =(0,0,0),\\ \dot{x}(t_0)=\dot{y}(t_0)& =0,\\ z(0)=h,\dot{z}(0)& =0,\end{array}$$得$$\{\begin{array}{rl}x& =0,\\ y& =\omega g\cos \lambda (\frac{1}{3}g{t}^3-\frac{1}{2}{t}_0{t}^2+\frac{1}{6}{t}_0^3),\\ z& =h-\frac{1}{2}g{t}^2.\end{array}$$抛起与落地时 $z=0$, 有 $-t_0=t_1=\sqrt{\frac{2h}{g}}$, 对应$$y(t_0)=-y(t_1)=2\omega g\cos \lambda \sqrt{\frac{8h^3}{g^3}}=\frac{2}{3}\omega \cos \lambda \sqrt{\frac{8h^3}{g}},$$故向东偏离的距离是$$y=y(t_1)-y(t_0)=-\frac{4}{3}\omega \cos \lambda \sqrt{\frac{8h^3}{g}}.$$$\square$

习题 25. 在北纬 $\lambda$ 处以仰角 $\alpha$ 向东抛出一质点, 因地球的自转, 质点的落地点将发生向南的横向偏移, 证明偏移量为 $\frac{4v_0^3\omega \sin \lambda {\sin }^2\alpha \cos \alpha }{g^2}$. 式中 $\omega$ 是地球自转角速度, $v_0$ 为质点初速度.

证明.

证明. 由近似 $\omega \dot{y}\ll g,\omega \ll v_0$, 方程成为$$\{\begin{array}{rl}\ddot{x}& =2\dot{y}\omega \sin \lambda ,\\ \dot{y}& =v_0\cos \alpha ,\\ \ddot{z}& =-g,\end{array}$$以及初速度为$$(\dot{x}(0),\dot{y}(0),\dot{z}(0))=(0,v_0\cos \alpha ,v_0\sin \alpha ),$$解得$$\{\begin{array}{rl}x& =\omega v_0\cos \alpha \sin \lambda t^2,\\ y& =v_0\cos \alpha t,\\ z& =-\frac{1}{2}g{t}^2+v_0\sin \alpha ,\end{array}$$并且落地时 $t=\frac{2v_0\sin \alpha }{g}$, 对应$$x(t)=\omega \cos \alpha \sin \lambda \frac{4v_0^3{\sin }^2\alpha }{g^2}.$$$\square$

2拉格朗日力学

本章参考材料为 [Ar] 第三、四章.

变分法

变分学可以参考 [Zh].

$C^1$ 曲线构成的空间 $C^1([t_0,t_1])$ 在范数$$\Vert \gamma (t){\Vert }_{C^1}=\underset{t\in [t_0,t_1]}{\max }|\gamma (t)|+|{\gamma }^{\prime }(t)|$$下构成一个 Banach 空间.

令 $X=\{x=x(t)\in C^1([t_0,t_1];{\mathbb{R}}^n)\mid x(t_0)=x_0,x(t_1)=x_1\}$.

定理 2.1. 曲线 $\gamma \in C^2([t_0,t_1];{\mathbb{R}}^n)\cap X$ 是泛函 $\Phi (x)={\int }_{t_0}^{t_1}L(x,\dot{x},t)dt$ 在 $X$ 中的极值, 当且仅当 $x=\gamma (t)$ 满足 E–L 方程$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=\frac{\partial L}{\partial x},\forall t\in [t_0,t_1].$$

为此, 需要两个准备工作:

$\boxed{\text{(i) }\Phi \text{ 的微分.}}$ $\Phi (x)={\int }_{t_0}^{t_1}L(x,\dot{x},t)dt$ 是 $C^1([t_0,t_1])$ 中可微的泛函, 微分是$$F(h)={\int }_{t_0}^{t_1}[\frac{\partial L}{\partial x}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}]hdt+\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}h\right){|}_{t_0}^{t_1}.$$这是因为$$\begin{array}{rl}\Phi (x+h)-\Phi (x)& ={\int }_{t_0}^{t_1}[L(x+h,\dot{x}+\dot{h},t)-L(x,\dot{x},t)]dt\\ & ={\int }_{t_0}^{t_1}[\frac{\partial L}{\partial x}h+\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\dot{h}]dx+O(h^2)\\ & ={\int }_{t_0}^{t_1}[\frac{\partial L}{\partial x}-\underset{分部积分得到}{\underbrace{\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}]hdt+(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}h){|}_{t_0}^{t_1}}}+O(h^2).\end{array}$$$\boxed{\text{(ii) 一个标准的引理.}}$ 若 $f\in C([t_0,t_1])$ 对一切适合 $h(t_0)=h(t_1)=0$ 的 $h\in C^1([t_0,t_1])$ (其实 $C^{\infty }([t_0,t_1])$ 即可) 均有 ${\int }_{t_0}^{t_1}fh=0$, 则 $f\equiv 0$.

对任意 $t_{\ast }\in (t_0,t_1)$, 取 $h(t)={\chi }_{\epsilon }(t-t_{\ast })$, 其中 $\{{\chi }_{\epsilon }{\}}_{\epsilon \to 0}$ 是逼近恒等 (如图) , 即得 $f(t_{\ast })=0$.

2.1 的证明. 对 $x\in X$, 对一切适合 $h(t_0)=h(t_1)=0$ 的 $h\in C^1([t_0,t_1])$ 有 $x+h\in X$, 则 $F(h)=0$. 由 (i) 的表达式, 其中第二项为零, 有$${\int }_{t_0}^{t_1}[\frac{\partial L}{\partial x}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}]hdt=0.$$又由 (ii), 得证.

$\square$

定理 2.2. 当 $L$ 与 $t$ 无关, 即 $L=L(x,\dot{x})$ 时, Hamilton 函数$$H(x,\dot{x})=\dot{x}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}-L$$是常数.

证明. 直接计算有$$\begin{array}{rl}\frac{d}{dt}H(x,\dot{x})& =\dot{x}\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}+\ddot{x}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}-\dot{x}\frac{\partial L}{\partial x}-\ddot{x}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\\ & =\dot{x}[\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}-\frac{\partial L}{\partial x}]=0.\end{array}$$注: 这即是定理 2.13. 下面的两题要用, 所以提前给出.

$\square$

习题 1. 设平面与地平面垂直, $A,B$ 是此平面上的两点, $y_A>y_B$ 且 $x_A\ne x_B$. 质点 $M$ 在重力作用下沿曲线 $AB$ 由 $A$ 点滑落到 $B$ 点, 初速度为零, 所需时间为 $T_{AB}$. 令 $AB$ 为光滑曲线 $y=y(x)$, 求泛函 $T_{AB}(y(x))$, 并进一步求出泛函 $T_{AB}$ 所对应的 Lagrange 方程.

解答.

解答. 设 $A$ 为原点, 根据功能原理,$$mgy=\frac{1}{2}m{v}^2,$$即$$v=\sqrt{2gy}.$$为了计算 $t$ 关于 $x$ 的变化率, 设 $M$ 走了长度 $s$, 有$$\frac{dt}{dx}=\frac{ds}{dx}/\frac{ds}{dt}=\frac{\sqrt{1+{\dot{y}}^2}}{\sqrt{2gy}}.$$故$$T_{AB}={\int }_{t_A}^{t_B}dt={\int }_{x_A}^{x_B}\frac{\sqrt{1+{\dot{y}}^2}}{\sqrt{2gy}}dx.$$E–L 方程是$$0=\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}-\frac{\partial L}{\partial y}=\frac{d}{dx}\frac{\dot{y}}{\sqrt{2gy}\sqrt{1+{\dot{y}}^2}}+\frac{\sqrt{1+{\dot{y}}^2}}{2\sqrt{2gy}y}.$$由于 Hamilton 量守恒, $$\frac{{\dot{y}}^2}{\sqrt{2gy}\sqrt{1+{\dot{y}}^2}}-\frac{\sqrt{1+{\dot{y}}^2}}{2\sqrt{2gy}}=C,$$化为$$y(1+{\dot{y}}^2)=C/2.$$换元 $y=C(1-\cos \theta )$, 得$$1+{\dot{y}}^2=\frac{1}{2(1-\cos \theta )}=1+{\cot }^2\frac{\theta }{2},$$于是$$\cot \frac{\theta }{2}=\dot{y}=C\sin \theta \dot{\theta },$$那么$$\frac{dx}{d\theta }=1/\dot{\theta }=C(1-\cos \theta ),$$故曲线的参数方程为$$\{\begin{array}{rl}x& =C(\theta -\sin \theta ),\\ y& =C(1-\cos \theta ),\end{array}$$$\theta \in [0,\Theta ]$, 其中 $C,\Theta$ 由 $B$ 的坐标给出.

$\square$

习题 2. (旋转极小曲面) 在平面上给定两点 $P_1=(x_1,y_1),P_2=(x_2,y_2)$, $y_1,y_2>0$, $x_1<x_2$. 求连接这两点的一个函数 $u\in C^1[x_1,x_2]$, 使得它的图像绕 $x$ 轴旋转后, 所得到的旋转曲面的面积最小.

解答.

解答. 面积为$$S=2\pi {\int }_{x_1}^{x_2}u(x)\sqrt{1+\dot{u}(x{)}^2}dx.$$由于 Hamilton 量守恒, $$\frac{u{\dot{u}}^2}{\sqrt{1+{\dot{u}}^2}}-u\sqrt{1+{\dot{u}}^2}=C,$$化为$$\frac{\dot{u}}{\sqrt{(u/C{)}^2-1}}=1,$$积分得$$u=C\cosh (\frac{x}{C}+C^{\prime }),$$其中 $C,C^{\prime }$ 由边界点给出.

$\square$

拉格朗日方程组

我们把下面两个方程相比较:

∘	牛顿方程 $\frac{d}{dt}(m_i{\dot{r}}_i)+\frac{\partial U}{\partial r_i}=0$.
∘	拉格朗日方程 $\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}=\frac{\partial L}{\partial r}$.

定理 2.3 (Hamilton 最小作用量原理). 力学系统的运动恰好是 $\Phi (\gamma )={\int }_{t_0}^{t_1}Ldt$ 的驻定曲线, 这里$$L=T-U=\frac{1}{2}{m}_i{\dot{r}}_i^2-U(\mathbf{r}).$$

证明. $\gamma$ 是 $\Phi (\gamma )={\int }_{t_0}^{t_1}Ldt$ 的驻定曲线当且仅当 $\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}=\frac{\partial L}{\partial r}$, 代入 $L=\frac{1}{2}{m}_i{\dot{r}}_i^2-U(r_i)$, 即得$$\frac{d}{dt}(m_i{\dot{r}}_i)=-\frac{\partial U}{\partial r_i}.$$$\square$

推广 2.4 (重要!). 这一原理能立即推广到任意一组坐标, 也就是说不一定要用欧式坐标 $r_i(i=1,\cdots ,n)$, 换成曲线坐标 $q_i(i=1,\cdots ,n)$ (比方说 ${\mathbb{R}}^3$ 用球面坐标 $r,\theta ,\phi$) , 把 $L$ 用 $q_i$ 及其导数 ${\dot{q}}_i$ 写出来 (即 $L=L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)$) , $\gamma$ 依然是 $\Phi$ 的驻定点, 因此$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}=\frac{\partial L}{\partial q_i},i=1,\cdots ,n.$$

对于力学系统的 $L$, 我们有$$\frac{\partial L}{\partial {\dot{r}}_i}=m_i{\dot{r}}_i=p_i,\frac{\partial L}{\partial r_i}=-\frac{\partial U}{\partial r_i}=F_i.$$模仿这个, 在新坐标系 $q_i$ 下 (称 $q_i$ 为广义坐标, ${\dot{q}}_i$ 为广义速度) , 定义广义动量和广义力为$$\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}=p_i,\frac{\partial L}{\partial q_i}=F_i.$$此时 Euler–Lagrange 方程就写成$${\dot{p}}_i=F_i.$$

习题 3. 证明在连接 $A=\mathbf{r}(t_0),B=\mathbf{r}(t_1)$ 的所有光滑曲线中, 直线 $AB$ 不仅使泛函 ${\int }_{t_0}^{t_1}({\dot{q}}_1^2+{\dot{q}}_2^2+{\dot{q}}_3^2)dt$ 达到极值, 而且是最小值.

证明.

证明. 用 E–L 方程求$$E={\int }_{t_0}^{t_1}({\dot{q}}_1^2+{\dot{q}}_2^2+{\dot{q}}_3^2)dt$$的极值点, 有$$0=\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}-\frac{\partial L}{\partial q_i}=2{\dot{q}}_i,$$于是 $q_i$ 均为常数, 曲线 $\mathbf{r}$ 是线段 $AB$. 这时 $E$ 是最小值是因为, 对任意光滑曲线 $\mathbf{r}$ 都有$$\begin{array}{rl}E(\mathbf{r})& ={\int }_{t_0}^{t_1}({\dot{q}}_1^2+{\dot{q}}_2^2+{\dot{q}}_3^2)dt\\ & \ge \frac{1}{t_1-t_0}\left(\right|{\int }_{t_0}^{t_1}{\dot{q}}_{1}dt{|}^2+|{\int }_{t_0}^{t_1}{\dot{q}}_{2}dt{|}^2+|{\int }_{t_0}^{t_1}{\dot{q}}_{3}dt{|}^2)\\ & =\frac{1}{t_1-t_0}|AB{|}^2=E(AB).\end{array}$$

$\square$

例 2.5. 考虑有心力场中的平面运动. 用极坐标 $q_1=r,q_2=\theta$, 动能写为$$T=\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}m({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\theta }}^2),$$则$$L=\frac{1}{2}m({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\theta }}^2)-U(r).$$广义动量为$$p_1=\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}=m\dot{r},p_2=\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta }}=m{r}^2\dot{\theta }.$$第一个 Lagrange 方程 ${\dot{p}}_1=\partial L/\partial r$ 是$$m\ddot{r}=mr{\dot{\theta }}^2-\frac{\partial U}{\partial r}.$$$L$ 中不出现 $\theta$, 所以第二个 Lagrange 方程是 ${\dot{p}}_2=\partial L/\partial \theta =0$, 系 $p_2=$ 常数, 这正是角动量守恒定律.

(一般地说, 若场不是有心场, 即 $U=U(r,\theta )$, 得到 ${\dot{p}}_2=-\frac{\partial U}{\partial \theta }$. )

这个例子启示我们把角动量守恒定律推广如下.

定义 2.6. 对 $L=L(q_1,\cdots ,q_n,{\dot{q}}_1,\cdots ,{\dot{q}}_n,t)$, 若 $L$ 不含坐标 $q_i$ (即 $\frac{\partial L}{\partial q_i}=0$) , 称 $q_i$ 为循环坐标.

定理 2.7. 对应于循环坐标的广义动量守恒, 即 $p_i=$ 常数.

证明. $\frac{d{p}_i}{dt}=\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}=\frac{\partial L}{\partial q_i}=0$.

$\square$

勒让德变换

定义 2.8. 在集合 $S=\{f(x)\in C^{\infty }(\mathbb{R})\mid f^{\prime \prime }(x)>0,f(x)\text{ 超线性}\}$ 上, 定义 $f(x)$ 的勒让德变换 $Lf$ 为一个关于新变量 $p$ 的函数 $g$, $$Lf:=g(p)=\underset{x\in \mathbb{R}}{\sup }(px-f(x)).$$

例 2.9. 设 $\alpha ,\beta >1$, $1/\alpha +1/\beta =1$, $f(x)=x^{\alpha }/\alpha$, 勒让德变换是$$g(p)=\underset{x\in \mathbb{R}}{\sup }(px-x^{\alpha }/\alpha )=(px-x^{\alpha }/\alpha ){|}_{p=x^{\alpha -1}}=p^{\beta }/\beta .$$

定理 2.10. $f$ 是 $S$ 上的对合变换, 即: 对 $f\in S$, 有 $Lf\in S$, 且 $L^2=\mathrm{id}$.

定义 2.11. Hamilton 函数 $H(\mathbf{p},\mathbf{q},t)=\mathbf{p}\dot{\mathbf{q}}-L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)$.

定理 2.12. Lagrange 方程组等价于 $2n$ 个一阶方程组 (Hamilton 方程组) $$\dot{\mathbf{p}}=-\frac{\partial H}{\partial \mathbf{q}},\dot{\mathbf{q}}=\frac{\partial H}{\partial \mathbf{p}}.$$

证明. 对 $H$ 的表达式两边取微分, 得$$\frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}}=-\frac{\partial H}{\partial \mathbf{q}},\dot{\mathbf{q}}=\frac{\partial H}{\partial \mathbf{p}}.$$故 Hamilton 方程组的前 $n$ 个等价于 $\dot{\mathbf{p}}=\frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}}$, 后 $n$ 个自动成立.

$\square$

推论 2.13. $\frac{dH}{dt}=\frac{\partial H}{\partial t}$. 特别地, 若 $H$ 不显含时间 $t$ (即 $\frac{\partial H}{\partial t}=0$) , 则能量守恒定律成立: $H(\mathbf{p},\mathbf{q})=$ 常数.

证明. $$\frac{dH}{dt}=\frac{\partial H}{\partial \mathbf{p}}\cdot (-\frac{\partial H}{\partial \mathbf{q}})+\frac{\partial H}{\partial \mathbf{q}}\cdot \frac{\partial H}{\partial \mathbf{p}}+\frac{\partial H}{\partial t}=\frac{\partial H}{\partial t}.$$$\square$

刘维尔定理

定义 2.14. 设常微分方程$$\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x}),x\in {\mathbb{R}}^n,$$相流是单参数变换群$$g^t:\mathbf{x}(0)\mapsto \mathbf{x}(t).$$

定理 2.15. 令 $D(0)$ 是 $\mathbf{x}$ 空间中一个有界区域, $v(0)$ 为其体积, $v(t)$ 为 $D(t)$ 的体积, 这里 $D(t)=g^{t}D(0)$. 若 $\mathrm{div}\mathbf{f}=0$, 则 $v(t)=v(0)$.

证明. $$v(t)={\int }_{D(t)}dx={\int }_{g^{t}D(0)}dx={\int }_{D(0)}\left|\det \frac{\partial g^t\mathbf{x}}{\partial \mathbf{x}}\right|dx,$$其中$$g^t\mathbf{x}=\mathbf{x}+\mathbf{f}(\mathbf{x})t+O(t^2)\Rightarrow \frac{\partial g^t\mathbf{x}}{\partial \mathbf{x}}=I+\frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{x}}t+O(t^2)$$推出$$\left|\det \frac{\partial g^t\mathbf{x}}{\partial \mathbf{x}}\right|=1+\mathrm{tr}\frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{x}}t+O(t^2)=1+\mathrm{div}\mathbf{f}t+O(t^2),$$于是$$v(t)={\int }_{D(0)}1+\mathrm{div}\mathbf{f}t+O(t^2)dx.$$求导并代入 $\mathrm{div}\mathbf{f}=0$, 得$$\frac{dv(t)}{dt}={\int }_{D(0)}\mathrm{div}\mathbf{f}dx=0.$$$\square$

特别地, 对哈密顿方程组有$$\mathrm{div}H=\frac{\partial }{\partial \mathbf{p}}(-\frac{\partial H}{\partial \mathbf{q}})+\frac{\partial }{\partial \mathbf{q}}\left(\frac{\partial H}{\partial \mathbf{p}}\right)=0.$$

习题 1. 对线性方程组 $\dot{\mathbf{x}}=A(t)\mathbf{x}$ 的 Wronsky 行列式 $W$, 证明 $W=W_0{e}^{\int \mathrm{tr}Adt}$.

证明.

证明. $W$ 是 $\frac{\partial x_1(t)}{\partial \mathbf{x}},\cdots ,\frac{\partial x_n(t)}{\partial \mathbf{x}}$ 为边的平行多面体 $V$ 的有向体积, $$W(t+\Delta t)={\int }_{V(t+\Delta t)}dx={\int }_{g^{\Delta t}V(t)}dx={\int }_{V(t)}\det \frac{\partial g^{\Delta t}\mathbf{x}}{\partial \mathbf{x}}dx.$$现在$$\det \frac{\partial g^{\Delta t}\mathbf{x}}{\partial \mathbf{x}}=1+\mathrm{tr}A(t)\Delta t+O((\Delta t{)}^2),$$于是$$\frac{dW(t)}{dt}={\int }_{V(t)}\mathrm{tr}A(t)dx=\mathrm{tr}A(t)W(t).$$$\square$

习题 2. 证明哈密顿方程在相空间中不可能有渐近稳定点.

证明.

证明. 设稳定点存在, 以之为原点, 对哈密顿方程组的固定的初值很小的解, 由于 $A(t)=\left(\begin{array}{cc}0& -I_n\\ I_n& 0\end{array}\right)$, $\mathrm{tr}A=0$, $W$ 为非零常数; 稳定点又说当 $t\to \infty$ 时 $W\to 0$, 矛盾.

$\square$

庞加莱回归定理

定理 2.16. $(X,\mathcal{S},\mu )$ 是一个概率空间, $f:X\to X$ 是一保测变换, 即 $\forall E\in \mathcal{I}$, $\mu (f^{-1}(E))=\mu (E)$, 则 $\forall E\in \mathcal{S}$, $E$ 中满足 $f^{n}x\notin E,\forall n>0$ 的点是零测集.

证明. 令 $A_n=\bigcup _{k=n}^{\infty }\{x\in X:f^{k}x\in E\}=\bigcup _{k=n}^{\infty }{f}^{-k}(E)$, 有 $E\subset A_0$, $A_i\subset A_j$, $A_i=f^{j-i}{A}_j$, $j\le i$.

对于 $n>0$, $\mu (E-A_n)\le \mu (A_0-A_n)=\mu (A_0)-\mu (A_n)=0$. 特别地, $\mu (E-A_1)=0$.

$\square$

习题 1. 验证 $A_i=f^{j-i}{A}_j$, $j\le i$.

证明. $f^{j-i}{A}_j=f^{j-i}\bigcup _{k=j}^{\infty }{f}^{-k}(E)=\bigcup _{k=i}^{\infty }{f}^{-k}(E)=A_i$.

$\square$

习题 2. 事实上 $E$ 中几乎每个点均无穷次回归.

证明. $\mu (E-\bigcap _{n=1}^{\infty }{A}_n)=\mu (\bigcup _{n=1}^{\infty }(E-A_n))=0$.

$\square$

定理 2.17 (弱的版本). 设 $D\subset {\mathbb{R}}^n$ 是有界区域, $g:D\to D$ 是保持体积的一对一的同胚, 则对于 $D$ 的任何点 $x_0$ 及开邻域 $U$, 存在 $x\in U,n\ge 1$ 使 $g^{n}x\in U$.

证明. $\forall D$ 中可测集 $E$, $\mu (g^{-1}(E))=\mu (g(g^{-1}(E)))=\mu (E)$, 从而满足前一定理的条件, 所以不回归点零测, 更不能有开邻域那样大.

$\square$

定理 2.18. 设 $\gamma$ 是无理数, $\{\gamma \},\{2\gamma \},\cdots ,\{n\gamma \},\cdots$ 在 $[0,1)$ 上均匀分布.

证明见 [SS] Chapter 4 Theorem 2.1 (P107-110).

习题 3. $2^n$ 的首位数的排列为 $1,2,4,8,1,3,6,\cdots$, 证明数字 $7$ 出现的次数与数字 $8$ 出现的次数的比例趋于 $\frac{\log 8-\log 7}{\log 9-\log 8}$.

证明. $\{n\lg 2\}$ 在 $[0,1)$ 上均匀分布, 特别地$$\#\{\{n\lg 2\}\in [\lg 7,\lg 8):1\le n\le N\}/N\to \lg 8-\lg 7=\lg e(\log 8-\log 7),$$$$\#\{\{n\lg 2\}\in [\lg 9,\lg 8):1\le n\le N\}/N\to \lg 9-\lg 8=\lg e(\log 9-\log 8).$$$\square$

近几十年来, Furstenberg 把庞加莱回归定理推广为如下的多重回归定理:

定理 2.19. 设 $(X,\mathcal{S},\mu )$ 是测度空间, $T_1,\cdots ,T_l$ 是交换的保测变换, 则对任意 $E\in \mathcal{S}$ 使 $\mu (E)>0$, 存在正整数 $n$ 使 $\mu (E\cap T_1^{-n}E\cap \cdots \cap T_l^{-n}E)>0$.

由此有下面的推论, 这两个结论具体参考 [Fu] 3.7 节 (p.77) . 设 $S$ 是 $\mathbb{Z}$ 的子集, 称 $S$ 的上 Banach 密度为$$\underset{\text{区间 }|I|\to \infty }{\mathrm{limsup}}\frac{|S\cap I|}{|I|}.$$

定理 2.20 (Szemerédi). 设 $S$ 是 $\mathbb{Z}$ 的上 Banach 密度为正的子集, 则 $S$ 包含任意长的等差数列.

诺特定理

 Fraulein Noether was the most significant creative mathematician thus far produced since the higher education of women began.

— Albeit Einstein

$\circ$ 诺特定理在场和基本粒子的现代理论中有着非常广泛的应用.

$\circ$ 20 世纪下半叶, 诺特定理成为了粒子物理学标准模型的基础. 标准模型描述了微观尺度的世界, 并预言了希格斯玻色子的存在. 今天, 物理学家在谱写新理论时, 仍然依赖于诺特定理.

定理 2.21 (诺特定理). 若系统 $(M,L)$ 容许一个单参数微分同胚群 $h^s:M\to M,s\in \mathbb{R}$, 则相应于 $L$ 的拉格朗日方程组有一个首次积分 $I:TM\to \mathbb{R}$. 在 $M$ 的局部坐标 $\mathbf{q}$ 下, 首次积分 $I$ 可写为$$I(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}})=\frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}}\frac{d{h}^s(\mathbf{q})}{ds}{|}_{s=0}.$$

证明. 仅对 $M={\mathbb{R}}^n$ 的情况给出证明. 令 $\mathbf{q}=\mathbf{q}(t):\mathbb{R}\to M$ 是拉格朗日方程组的解, 记 $\Phi (s,t)=h^s(\mathbf{q}(t))$, 由 $h^s$ 是容许映射, 可以证明 $\forall s\in (-1,1)$, $h^s(\mathbf{q}(t))$ 也是方程 $\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}}=\frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}}(\ast )$ 的解 (习题 4) .

目标证明 $\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}}(\Phi ,\dot{\Phi })\frac{d\Phi }{ds})=0$, 用 $\dot{}$ 记对 $t$ 的导数, 用 ${}^{\prime }$ 记对 $s$ 的导数, 即$$\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}}(\Phi ,\dot{\Phi })){\Phi }^{\prime }+\frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}}(\Phi ,\dot{\Phi })\frac{d{\Phi }^{\prime }}{dt}=0.$$由 $(\ast )$, 这等价于$$\frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}}(\Phi ,\dot{\Phi }){\Phi }^{\prime }+\frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}}(\Phi ,\dot{\Phi })\frac{d{\Phi }^{\prime }}{dt}=0.$$$h^s$ 为容许映射表明$$\frac{\partial L}{\partial s}(\Phi ,\dot{\Phi })=0,$$此即上式.

$\square$

习题 4. 若系统 $({\mathbb{R}}^n,L)$ 容许一个单参数微分同胚群 $h^s:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n,\forall s$, $\mathbf{q}(t)$ 为相应于 $L$ 的拉格朗日方程组的解. 证明 $\forall s\in (-1,1)$, $h^s(\mathbf{q}(t))$ 也是相应于 $L$ 的拉格朗日方程组的解.

证明. 记 $S=\int L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}})$, 有 $S(\mathbf{q}+\mathbf{h})-S(\mathbf{q})=O({\mathbf{h}}^2)$, 于是 $S(h^s(\mathbf{q}+\mathbf{h}))-S(h^s\mathbf{q})=O({\mathbf{h}}^2)=O((h^s\mathbf{h}{)}^2)$, 故 $h^s\mathbf{q}$ 也是 $L$ 对应的拉格朗日方程的解.

$\square$

3哈密顿力学

本章参考材料为 [MR], 第 2 章.

线性辛空间上的哈密顿系统

定义 3.1. 设 $Z$ 是实 Banach 空间, $\Omega :Z\times Z\to \mathbb{R}$ 为 $Z$ 上的连续双线性形式, 映射 ${\Omega }^{♭}:Z\to Z^{\ast },z\to \Omega (z,\cdot )$. 若 ${\Omega }^{♭}$ 单, 即 $\forall z_2\in Z,\Omega (z_1,z_2)=0$ 蕴含 $z_1=0$, 称 $\Omega$ 为弱非退化形式. 若 ${\Omega }^{♭}$ 单且满, 称 $\Omega$ 为强非退化形式.

定义 3.2. 向量空间 $Z$ 上的一个辛形式 $\Omega$ 是 $Z$ 上的一个非退化的斜对称双线性形式, $(Z,\Omega )$ 称为一个辛向量空间.

例 3.3. $({\mathbb{R}}^{2n},\mathbb{J})$, $\mathbb{J}(u,v)=⟨u,Jv⟩$ (${\mathbb{R}}^{2n}$ 中内积) , $J=\left(\begin{array}{cc}0& I_n\\ -I_n& 0\end{array}\right)$.

例 3.4 (正则形式). 设 $W$ 为赋范线性空间, $W^{\prime }$ 为其对偶空间, $Z=W\times W^{\prime }$, 定义 $Z$ 上的正则辛形式为 $\Omega ((w_1,{\alpha }_1),(w_2,{\alpha }_2))={\alpha }_2(w_1)-{\alpha }_1(w_2)$.

例 3.5 (与内积空间相关联的辛形式). 设 $W$ 为实内积空间, $Z=W\times W$, 定义 $Z$ 上的正则辛形式为 $\Omega ((w_1,w_2),(z_1,z_2))=⟨z_2,w_1⟩-⟨z_1,w_2⟩$.

例 3.6 (${\mathbb{C}}^n$ 上的辛形式). $\forall z,w\in {\mathbb{C}}^n$, 记 $z=x+iy,w=u+iv$, $$z\cdot \bar{w}=(x+iy)\cdot (u-iv)=(x,y)\cdot (u,v)-i(x\cdot v-y\cdot u),$$即 $\mathrm{Re}(z\cdot \bar{w})=(x,y)\cdot (u,v)$ 是 ${\mathbb{R}}^{2n}$ 中内积, $-\mathrm{Im}(z\cdot \bar{w})=x\cdot v-y\cdot u=\Omega ((x,y),(u,v))$ 是辛形式.

例 3.7 (量子力学的辛形式). 复 Hilbert 空间 $\mathcal{H}$ 上, 例如 $\mathcal{H}=L^2({\mathbb{R}}^n)$, 令 $\Omega ({\psi }_1,{\psi }_2)=-2\hslash \mathrm{Im}⟨{\psi }_1,{\psi }_2⟩$, 其中 $\hslash$ 是普朗克常数.

辛几何初步

定义 3.8 (辛向量空间). 设 $V^{2n}$ 为 $2n$ 维向量空间, $\Omega :V^{2n}\times V^{2n}\to \mathbb{R}$ 是一个非退化双线性的反对称 $2$-形式. 称 $(V^{2n},\Omega )$ 为辛向量空间, 称该 $2$-形式为斜数量积. 辛空间中两向量 $\xi$ 与 $\eta$ 若 $\Omega (\xi ,\eta )=0$, 称为斜正交, 记为 $\xi \perp \eta$.

例 3.9. ${\mathbb{R}}^{2n}$ 上的斜数量积 $\Omega ((u_1,u_2),(v_1,v_2))=v_2\cdot u_1-v_1\cdot u_2$.

定义 3.10 (辛基). $V^{2n}$ 中的辛基是 $2n$ 个向量 $e_{p_1},\cdots ,e_{p_n},e_{q_1},\cdots ,e_{q_n}$ 满足 $\Omega (e_{p_i},e_{p_j})=\Omega (e_{p_i},e_{q_j})=\Omega (e_{q_i},e_{q_j})=0,\forall i,j=1,\cdots ,n$, 除了 $\Omega (e_{p_i},e_{q_i})=1,\forall i=1,\cdots ,n$.

定理 3.11. 每一个 $2n$ 维辛向量空间均存在一组辛基, 而且能取任何非零向量 $e$ 作为第一个基向量, $e$ 称为辛一基 (划掉) .

推论 3.12. 所有同维数的辛空间均与标准辛空间 $({\mathbb{R}}^{2n},\Omega )$ 同构.

定义 3.13. 辛空间 ${\mathbb{R}}^{2n}$ 到自身的线性变换 $S:{\mathbb{R}}^{2n}\to {\mathbb{R}}^{2n}$ 称为辛变换, 若 $\Omega (S\xi ,S\eta )=\Omega (\xi ,\eta ),\forall \xi ,\eta \in {\mathbb{R}}^{2n}$. ${\mathbb{R}}^{2n}$ 上所有辛变换之集称为辛群, 记作 $\mathrm{Sp}(n,\mathbb{R})$.

定理 3.14. 辛变换的行列式为 $1$.

定理 3.15. 线性变换 $S:{\mathbb{R}}^{2n}\to {\mathbb{R}}^{2n}$ 为辛变换等价于它将某一个 (从而也将任一个) 辛基底变为辛基底.

证明. 基向量的线性组合之斜数量积可以用基向量的斜数量积来表示. 若此变换不改变基向量的斜数量积, 则亦不改变任何向量的斜数量积.

$\square$

定义 3.16 (辛矩阵). 称满足 $A^{T}JA=J$ 的实 $2n$ 阶矩阵 $A$ 为辛矩阵.

定理 3.17. 辛矩阵 $A$ 的特征多项式 $p(\lambda )=\det (A-\lambda I)$ 是反射的, i.e. $p(\lambda )={\lambda }^{2n}p\left(\frac{1}{\lambda }\right)$.

证明. $A=J^{-1}{A}^{T-1}J$, 故$$\begin{array}{rl}p(\lambda )& =\det (J^{-1}{A}^{T-1}J-\lambda I)=\det (A^{T-1}-\lambda I)=\det (A^{-1}-\lambda I)\\ & =\det (I-\lambda A)={\lambda }^{2n}\det (\frac{1}{\lambda }I-A)={\lambda }^{2n}p\left(\frac{1}{\lambda }\right).\end{array}$$

$\square$

推论 3.18. 若 $\lambda$ 是辛矩阵 $A$ 的特征根, 则 $\frac{1}{\lambda }$ 也是其特征根.

习题. 设 $(Z,\Omega )$ 为一个有限维辛向量空间, $V\subset Z$ 为一个子空间. 令$$V^{\Omega }=\{z\in Z\mid \Omega (z,v)=0,\forall v\in V\},$$称为 $V$ 的辛正交补. 证明:

(1) $V\subset W\Rightarrow W^{\Omega }\subset V^{\Omega }$.
(2) $Z/V^{\Omega }$ 和 $V^{\ast }$ 是同构的向量空间.
(3) $\dim V+\dim V^{\Omega }=\dim Z$.
(4) $V^{\Omega \Omega }=V$.
(5) 假设 $V$ 是辛的, 即 $\Omega$ 限制在 $V\times V$ 上是非退化的, 则 $V^{\Omega }$ 是辛的且 $Z=V\oplus V^{\Omega }$.

证明. (1) 显然.
(2) ${\Omega }^{♭}:Z\to V^{\ast },z\mapsto \Omega (z,\cdot )$, $\ker {\Omega }^{♭}=V^{\Omega }$.
(3) $\dim Z-\dim V^{\Omega }=\dim V^{\ast }=\dim V$.
(4) $V\subset \{z\in Z\mid \Omega (z,v)=0,\forall v\in V^{\Omega }\}=V^{\Omega \Omega }$, 且 $\dim V=\dim V-\dim V^{\Omega }=\dim V^{\Omega \Omega }$.
(5) $V$ 是辛的说明 $V\cap V^{\Omega }=0$, 由 (3) 有 $Z=V\oplus V^{\Omega }$.
设对 $\tilde{v}\in V^{\Omega }$ 成立 $\Omega (\tilde{v},V^{\Omega })=0$, 又 $\Omega (\tilde{v},V)=0$, 那么 $\Omega (\tilde{v},Z)=0$, 故 $\tilde{v}=0$.

$\square$

哈密顿方程

定义 3.19. 设 $(Z,\Omega )$ 是辛向量空间, $Z$ 上的向量场 $X:Z\to Z$ 称为哈密顿的, 若 $\forall z\in Z$ 及某一个 $H\in C^1(Z)$, 有 ${\Omega }^{♭}(X(z))=dH(z)$, i.e. $\Omega (X(z),v)=dH(z)(v),\forall v\in Z$.

若 $H$ 存在, 称 $H$ 为哈密顿函数, 对应的向量场 $X(z)$ 亦记为 $X_H(z)$, 称之为 $H$ 的哈密顿向量场.

称 $\dot{z}=X_H(z)$ 为哈密顿方程.

注 3.20. 这是梯度在辛流形上的类比:
黎曼流形上可微函数 $H$ 的梯度 $\nabla H$ 就是满足对任何向量场 $Y$, $⟨\nabla H,Y⟩=YH$ 的向量场 $\nabla H$;
辛流形上可微函数 $H$ 的哈密顿向量场 $X_H$ 就是满足对任何向量场 $Y$, $\Omega (X_H,Y)=YH$ 的向量场 $X_H$.

注 3.21. 若 $Z$ 为有限维, 则 ${\Omega }^{♭}:Z\to Z^{\ast },z\mapsto dH(z)$ 是双射.

定义 3.22. $$\begin{array}{rl}函数的拉回& {\phi }^{\ast }f=f\circ \phi .\\ 函数的推进& {\phi }_{\ast }g=g\circ {\phi }^{-1}.\\ 向量场的推进& {\phi }_{\ast }X(\phi (z))=D\phi (z)\cdot X(z).\\ 向量场的拉回& {\phi }^{\ast }Y=({\phi }^{-1}{)}_{\ast }Y.\end{array}$$

典则变换或辛变换

定义 3.23. 设 $(Z,\Omega ),(Y,\Xi )$ 为辛度量空间, 一个光滑映射 $f:Z\to Y$ 称为辛的或典则的, 若 $f$ 保持辛形式, 即 $\Xi (Df(z)\cdot z_1,Df(z)\cdot z_2)=\Omega (z_1,z_2)$ 对所有 $z\in Z,z_1,z_2\in Z$ 成立, 简写为 $f^{\ast }\Xi =\Omega$.

例 3.24. 设 $f$ 是 $q$ 的光滑函数, $q=(q_1,\cdots ,q_n)$, 定义 $\phi :({\mathbb{R}}^{2n},\mathbb{J})\to ({\mathbb{R}}^{2n},\mathbb{J})$, $$\phi (q,p)=(q,p+df(q))=(q_1,\cdots ,q_n,p_1+\frac{\partial f}{\partial q_1},\cdots ,p_n+\frac{\partial f}{\partial q_n}).$$$\phi$ 是辛变换, 这是因为 $D:=D\phi =\left[\begin{array}{cc}I& \\ f_{qp}& I\end{array}\right]$ 符合 $D^{T}JD=J$.

命题 3.25. 设 $(Z,\Omega )$ 是辛向量空间, $H\in C^1(Z)$ 为哈密顿函数, 则$$H(z)-H(0)={\int }_0^1\Omega (X_H(tz),z)dt.$$

证明. $$H(z)-H(0)={\int }_0^1\frac{dH(tz)}{dt}dt={\int }_0^{1}dH(tz)\cdot zdt={\int }_0^1\Omega (X_H(tz),z)dt.$$$\square$

命题 3.26. 设 $(Z,\Omega ),(Y,\Xi )$ 为辛向量空间, $f:Z\to Y$ 是一个微分同胚, 则 $f$ 是辛变换当且仅当对 $Y$ 上所有哈密顿向量场 $X_H$, 有 $f_{\ast }{X}_{H\circ f}=X_H$, 即 $Df(z)\cdot X_{H\circ f}(z)=X_H(f(z))$.

证明. 当 $f$ 是辛的, $$\begin{array}{rl}& \Xi (Df(z)\cdot X_{H\circ f}(z),Df(z)\cdot u)=\Omega (X_{H\circ f}(z),u)\\ & =d(H\circ f)(z)\cdot u=dH(f(z))\cdot f_{\ast }(z)\cdot u\\ & =\Xi (X_H(f(z)),f_{\ast }(z)\cdot u).\end{array}$$反过来, 有$$\Xi (Df(z)\cdot X_{H\circ f}(z),Df(z)\cdot u)=\Omega (X_{H\circ f}(z),u),$$恰当地选择哈密顿函数 $H$, $X_{H\circ f}(z)$ 能取到任一 $z\in Z$, 因而 $f$ 是辛的.

$\square$

习题. 设 ${\mathbb{R}}^{2n}$ 上的斜对称双线性形式 $\Omega$ 有矩阵$$\left[\begin{array}{cc}B& I\\ -I& 0\end{array}\right],$$其中 $B=[B_{ij}]$ 是一个 $n\times n$ 斜对称矩阵, $I$ 是单位阵.
(a) 证明 $\Omega$ 是非退化的, 从而是 ${\mathbb{R}}^{2n}$ 上的辛形式.
(b) 证明关于 $\Omega$ 的哈密顿方程在标准坐标下为$$\frac{d{q}^i}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p_i},\frac{d{p}_i}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial q^i}-B_{ij}\frac{\partial H}{\partial p_j}.$$

证明. 设 $z(t)=(q^i(t),p_i(t))$, 用$$\left[\begin{array}{cc}B& I\\ -I& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-B& -I\\ I& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}I& 0\\ 0& I\end{array}\right],$$得$$\frac{dz}{dt}=X_H(z)=\nabla H\cdot \left[\begin{array}{cc}-B& -I\\ I& 0\end{array}\right],$$即$$\left(\frac{d{q}^i}{dt},\frac{d{p}_i}{dt}\right)=\left(\frac{\partial H}{\partial q^i},\frac{\partial H}{\partial p_i}\right)\left[\begin{array}{cc}-B& -I\\ I& 0\end{array}\right]=\left(\frac{\partial H}{\partial p_i},-\frac{\partial H}{\partial q^i}-B_{ij}\frac{\partial H}{\partial p_j}\right).$$$\square$

例 3.27. 设 $({\mathbb{R}}^{2n},\mathbb{J})$ 是标准的 $2n$ 维辛向量空间, 正则坐标为 $(q^i,p_i)$, $X_H:Z\to Z$ 由$$X_H=J\cdot \nabla H$$给出, 这就是经典的哈密顿方程$$(\frac{d{q}^i}{dt},\frac{d{p}_i}{dt})=(\frac{\partial H}{\partial p_i},-\frac{\partial H}{\partial q^i}).$$

命题 3.28 (能量的保持). 设 $c(t)$ 为 $X_H$ 的一条积分曲线, 则 $H(c(t))$ 为常数.
设 ${\phi }_t$ 为 $X_H$ 的流, 即 ${\phi }_t$ 是方程 $\dot{z}=X_H(z)$ 的初始条件为 $z(0)=z\in Z$ 的解, 则 $H\circ {\phi }_t=H$.

证明. $$\frac{d}{dt}H(c(t))=dH(c(t))\cdot \dot{c}(t)=\Omega (H(c(t)),\dot{c}(t))=\Omega (H(c(t)),H(c(t)))=0.$$从而 $H(c(t))=H(c(0))$, 即 $H\circ {\phi }_t(z)=H(z)$.

$\square$

方程何时是哈密顿的

命题 3.29. 设 $X:Z\to Z$ 是辛向量空间 $(Z,\Omega )$ 的光滑向量场, 则 $X=X_H$ 对某个 $H:Z\to \mathbb{R}$ 成立当且仅当 $\forall z$, $DX(z)$ 是 $\Omega$-斜的.

证明. 设 $X=X_H$, 在 $u$ 方向上, 关于 $z$ 对$$\Omega (X_H(z),v)=dH(z)\cdot v$$微分, 得到$$\Omega (D{X}_H(z)\cdot u,v)=D^{2}H(z)(v,u).$$用二阶偏导数的对称性, 得到$$\Omega (D{X}_H(z)\cdot u,v)=D^{2}H(z)(u,v)=\Omega (D{X}_H(z)\cdot v,u)=-\Omega (u,D{X}_H(z)\cdot v).$$反过来, 设 $\Omega (D{X}_H(z)\cdot u,v)=-\Omega (u,D{X}_H(z)\cdot v)$, 定义$$H(z)={\int }_0^1\Omega (X(tz),z)dt,$$则有 $X=X_H$, 这是因为$$\begin{array}{rl}& \Omega (X_H(z),u)=dH(z)\cdot u\\ & ={\int }_0^1\Omega (DX(tz)\cdot tu,z)dt+{\int }_0^1\Omega (X(tz),u)dt\\ & =-{\int }_0^1\Omega (tu,DX(tz)\cdot z)dt+{\int }_0^1\Omega (X(tz),u)dt\\ & ={\int }_0^1\Omega (tDX(tz)\cdot z,u)dt+{\int }_0^1\Omega (X(tz),u)dt\\ & ={\int }_0^1\Omega (tDX(tz)\cdot z+X(tz),u)dt\\ & ={\int }_0^1\Omega (\frac{d}{dt}(X(tz)t),u)dt\\ & =\Omega (X(z),u).\end{array}$$

$\square$

推论 3.30. 设 $X(z)=Az$ 是线性向量场, 则 $A$ 是哈密顿的当且仅当 $\Omega (Au,v)=-\Omega (u,Av)$ 对任意 $u,v\in Z$, 并且这时$$H={\int }_0^1\Omega (tAz,z)dt=\frac{1}{2}\Omega (Az,z).$$

习题. 设 $(Z,\Omega )$ 是辛向量空间, 令 $A:Z\to Z$ 是线性映射, 且假设 $I-A$ 是可逆的. 证明: $A$ 是哈密顿的, 当且仅当它的 Cayley 变换$$(I+A)(I-A{)}^{-1}$$是辛的. 给出一个哈密顿向量场的例子, 使得 $I-A$ 不是可逆的.

证明. $$\begin{array}{rl}& \Omega ((I+A)(I-A{)}^{-1}{z}_1,(I+A)(I-A{)}^{-1}{z}_2)=\Omega (z_1,z_2)\\ \iff & \Omega ((I+A)z_1,(I+A)z_2)=\Omega ((I-A)z_1,(I-A)z_2)\\ \iff & \Omega (A{z}_1,z_2)+\Omega (z_1,A{z}_2)=\Omega (-A{z}_1,z_2)+\Omega (z_1,-A{z}_2)\\ \iff & \Omega (A{z}_1,z_2)=-\Omega (z_1,A{z}_2).\end{array}$$例子 i. $({\mathbb{R}}^{2n},\mathbb{J})$ 上, $A=\left(\begin{array}{cc}{I}_n& 0\\ 0& -I_n\end{array}\right)$.

例子 ii. 令 $Z$ 是一个无限维 Hilbert 空间, $A=iT$, $T$ 是 $Z$ 上的对称而不自伴的算子 (具体例子见 [ZG] 例 6.1.6, 6.1.7 等) , 则 $I-A$ 不映满整个 $Z$ (见 [ZG] 定理 6.2.4) .

$\square$

习题. 设 $(Z,\Omega )$ 是有限维辛向量空间, 令 $\phi :Z\to Z$ 是满足 $\det \phi =1$ 的线性辛映射. 如果 $\lambda$ 是重数为 $k$ 的特征值, 则 $1/\lambda$ 也是. 利用 $\phi$ 的特征多项式证明之.

证明. 设 $\phi$ 的特征多项式是 $p(x)=(x-\lambda {)}^{k}q(x)$, 则$$p(x)=x^{2n}p\left(\frac{1}{x}\right)=x^{2n}(\frac{1}{x}-\lambda {)}^{k}q(\frac{1}{x})=(1-\lambda x{)}^k{x}^{2n-k}q\left(\frac{1}{x}\right).$$$\square$

哈密顿流

考察辛向量空间 $(Z,\Omega )$ 上的哈密顿向量场 $X_H$, 这里 $H:Z\to \mathbb{R}$, 其上定义流 ${\phi }_t:Z\to Z$ 满足$$\frac{d}{dt}{\phi }_t(z)=X_H\circ {\phi }_t(z),\forall z\in Z,t\in \mathbb{R}.$$

命题 3.31. 哈密顿向量场 $X_H$ 的流 ${\phi }_t$ 是典则变换. 反之, 若一个向量场 $X$ 的流是典则变换, 则它是哈密顿的.

证明. 对哈密顿向量场 $X_H$ 的流 ${\phi }_t$, 用命题 3.29, $$\begin{array}{rl}& \frac{d}{dt}\Omega (D{\phi }_t(z)\cdot u,D{\phi }_t(z)\cdot v)\\ & =\Omega (D(\frac{d}{dt}{\phi }_t(z))\cdot u,D{\phi }_t(z)\cdot v)+\Omega (D{\phi }_t(z)\cdot u,D(\frac{d}{dt}{\phi }_t(z))\cdot v)\\ & =\Omega (D(X_H\circ {\phi }_t(z))\cdot u,D{\phi }_t(z)\cdot v)+\Omega (D{\phi }_t(z)\cdot u,D(X_H\circ {\phi }_t(z))\cdot v)\\ & =\Omega (D{X}_H({\phi }_t(z))\cdot D{\phi }_t(z)\cdot u,D{\phi }_t(z)\cdot v)+\Omega (D{\phi }_t(z)\cdot u,D{X}_H({\phi }_t(z))\cdot D{\phi }_t(z)\cdot v)\\ & =0.\end{array}$$反之, ${\phi }_t^{\ast }\Omega =\Omega$ 说明$$\begin{array}{rl}0& =\frac{d}{dt}\Omega (D{\phi }_t(z)\cdot u,D{\phi }_t(z)\cdot v)\\ & =\Omega (DX({\phi }_t(z))\cdot D{\phi }_t(z)\cdot u,D{\phi }_t(z)\cdot v)+\Omega (D{\phi }_t(z))\cdot u,D(X({\phi }_t(z))\cdot D{\phi }_t(z)\cdot v).\end{array}$$取 $t=0$, $D{\phi }_0=I$, 就有$$0=\Omega (DX(z)\cdot u,v)+\Omega (u,DX(z)\cdot v),$$由命题 3.29 可知 $X$ 是哈密顿的.

$\square$

注 3.32. 在哈密顿系统标准理论中, 我们经常构造一个函数 $F(p,q)$, 用 $F(p,q)$ 生成的哈密顿向量场 $X_F$ 对应的时间 $1$ 映射作为辛变换, 记为 $X_F^1$.

泊松括号

定义 3.33. 设 $(Z,\Omega )$ 为辛向量空间, 定义两个函数 $F,G:Z\to \mathbb{R}$ 的泊松括号 $\{F,G\}:Z\to \mathbb{R}$ 如下: $$\{F,G\}(z)=\Omega (X_F(z),X_G(z)).$$Lie 导数 $L_{X}f=df\cdot X$ 在欧氏空间的标准坐标下$$L_{X}f=\left(\sum _{j=1}^n\frac{\partial f}{\partial z_j}d{z}_j\right)\left(\sum _{j=1}^n{X}_j{\partial }_{z_j}\right)=\sum _{j=1}^n\frac{\partial f}{\partial z_j}{X}_j.$$

这样$$\begin{array}{rl}\{F,G\}(z)& =\Omega (X_F(z),X_G(z))=dF(z)\cdot X_G(z)=L_{X_G}F(z)\\ & =-\Omega (X_G(z),X_F(z))=dG(z)\cdot X_F(z)=-L_{X_F}G(z).\end{array}$$

例 3.34. 设 $Z$ 是 $2n$ 维辛向量空间, 在其辛坐标 $q^i,p_i$ 下$$\{F,G\}=\Omega (X_F,X_G)=\Omega \left(\right(\frac{\partial F}{\partial p_i},-\frac{\partial F}{\partial q^i}),(\frac{\partial G}{\partial p_i},-\frac{\partial G}{\partial q^i}\left)\right)=\sum _{i=1}^n\frac{\partial F}{\partial q^i}\frac{\partial G}{\partial p_i}-\frac{\partial F}{\partial p_i}\frac{\partial G}{\partial q^i}.$$据此有$$\{q^i,q^j\}=0,\{p_i,p_j\}=0,\{q^i,p_j\}=\sum _{k=1}^n\frac{\partial q^i}{\partial q^k}\frac{\partial p_j}{\partial p_k}-\frac{\partial q^i}{\partial p_k}\frac{\partial p_j}{\partial q^k}={\delta }_j^i.$$

定义 3.35. 两个函数 $F,G:Z\to \mathbb{R}$ 称为对合的或泊松可交换的, 若 $\{F,G\}=0$.

给定 ${\mathbb{R}}^n$ 上的两个光滑向量场 $X,Y$, 通常 ${\phi }_X^t{\phi }_Y^s\ne {\phi }_Y^s{\phi }_X^t$ 对 $t,s\in \mathbb{R}$.

例 3.36. ${\mathbb{R}}^2$ 上的向量场 $X=\frac{\partial }{\partial x},Y=x\frac{\partial }{\partial y}$. $$\begin{array}{rl}X=\frac{\partial }{\partial x}& \Rightarrow \{\begin{array}{l}\dot{x}=1\\ \dot{y}=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x(t)=t+x_0\\ y(t)=y_0\end{array},\\ Y=x\frac{\partial }{\partial y}& \Rightarrow \{\begin{array}{l}\dot{x}=0\\ \dot{y}=x\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x(t)=x_0\\ y(t)=x_{0}t+y_0\end{array}.\end{array}$$那么$$\begin{array}{rl}{\phi }_X^t{\phi }_Y^s(x_0,y_0)& ={\phi }_X^t(x_0,x_{0}s+y_0)=(t+x_0,x_{0}s+y_0),\\ {\phi }_Y^s{\phi }_X^t(x_0,y_0)& ={\phi }_Y^s(t+x_0,y_0)=(t+x_0,ts+x_{0}s+y_0).\end{array}$$当 $ts\ne 0$ 时, $${\phi }_X^t{\phi }_Y^s(x_0,y_0)\ne {\phi }_Y^s{\phi }_X^t(x_0,y_0).$$

为了刻画 $X,Y$ 生成的流 ${\phi }_X^t,{\phi }_Y^s$ 的交换性, 定义 $[X,Y]$.

定义 3.37. 两个向量场 $X,Y$ 的 Jacobi–Lie 括号 $[X,Y]$ 定义如下: 对 $f\in C^{\infty }(Z)$, $$df[X,Y]=d(df\cdot Y)\cdot X-d(df\cdot X)\cdot Y,$$即$$L_{[X,Y]}f=L_X{L}_{Y}f-L_Y{L}_{X}f.$$

命题 3.38. $$[X,Y{]}^j=X^i\frac{\partial Y^j}{\partial z^i}-Y^i\frac{\partial X^j}{\partial z^i}=X{Y}^j-Y{X}^j.$$

证明. 后一等号就是 $X=X^i\frac{\partial }{\partial z^i},Y=Y^i\frac{\partial }{\partial z^i}$. 前一等号是因为$$\begin{array}{rl}[X,Y]f& =X^i\frac{\partial }{\partial z^i}\left(Y^j\frac{\partial f}{\partial z^j}\right)-Y^j\frac{\partial }{\partial z^j}\left(X^i\frac{\partial f}{\partial z^i}\right)\\ & =X^i\frac{\partial Y^j}{\partial z^i}\frac{\partial f}{\partial z^j}+X^i{Y}^j\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^i\partial z^j}-Y^j\frac{\partial X^i}{\partial z^j}\frac{\partial f}{\partial z^i}-Y^j{X}^i\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^j\partial z^i}\\ & =X^i\frac{\partial Y^j}{\partial z^i}\frac{\partial f}{\partial z^j}-Y^j\frac{\partial X^i}{\partial z^j}\frac{\partial f}{\partial z^i}.\end{array}$$注: 这就是说 $[X,Y]=(X{Y}^j-Y{X}^j)\frac{\partial }{\partial z^j}$.

$\square$

例 3.39. ${\mathbb{R}}^2$ 上的向量场 $X=\frac{\partial }{\partial x},Y=x\frac{\partial }{\partial y}$, 根据上式计算, $$[X,Y]=(X(0)-Y(1))\frac{\partial }{\partial x}+(X(x)-Y(0))\frac{\partial }{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}.$$

引理 3.40. $$[X_F,X_G](z)=d{X}_G(z)\cdot X_F(z)-d{X}_F(z)\cdot X_G(z).$$

证明. $\forall f\in C^{\infty }(Z)$, $$\begin{array}{rl}{L}_{[X_F,X_G]}f& =L_{X_F}{L}_{X_G}f-L_{X_G}{L}_{X_F}f\\ & =L_{X_F}(df\cdot X_G)-L_{X_G}(df\cdot X_F)\\ & =d(df\cdot X_G)\cdot X_F-d(df\cdot X_F)\cdot X_G\\ & =d^{2}f\cdot X_G\cdot X_F+df\cdot (d{X}_G\cdot X_F)-d^{2}f\cdot X_F\cdot X_G-df\cdot (d{X}_F\cdot X_G)\\ & =df\cdot (d{X}_G\cdot X_F-d{X}_F\cdot X_G)\\ & =L_{d{X}_G\cdot X_F-d{X}_F\cdot X_G}f.\end{array}$$

$\square$

推论 3.41. $$X_{\{F,G\}}=-[X_F,X_G].$$

证明. $$\begin{array}{rl}\Omega (X_{\{F,G\}},v)& =d\{F,G\}\cdot v\\ & =d(\Omega (X_F,X_G))\cdot v\\ & =\Omega (d{X}_F\cdot v,X_G)+\Omega (X_F,d{X}_G\cdot v)\\ & =\Omega (d{X}_F\cdot X_G,v)-\Omega (d{X}_G\cdot X_F,v)\\ & =\Omega (-[X_F,X_G],v).\end{array}$$

$\square$

Lie 代数

定义 3.42. 一个 Lie 代数是向量空间 $L$ 以及双线性反对称算子 $[-,-]:L\times L\to L$, 并且满足 Jacobi 恒等式$$[[A,B],C]+[[B,C],A]+[[C,A],B]=0.$$

定理 3.43. 泊松括号 $\{-,-\}:C^{\infty }(Z)\times C^{\infty }(Z)\to C^{\infty }(Z)$ 使得 $C^{\infty }(Z)$ 成为一个 Lie 代数.

证明. 由于$$\{F,G\}=\Omega (X_F,X_G)=dF\cdot X_G=X_G(F),$$得$$\begin{array}{rl}\{H,\{F,G\}\}& =-X_{\{F,G\}}H=[X_F,X_G]H\\ & =X_F{X}_{G}H-X_G{X}_{F}H\\ & =X_F\{G,H\}-X_G\{F,H\}\\ & =\{F,\{G,H\}\}-\{G,\{F,H\}\}\\ & =\{F,\{G,H\}\}+\{G,\{H,F\}\}.\end{array}$$

$\square$

推论 3.44. 设 $(Z,\Omega )$ 为有限维辛向量空间, $Z$ 上的哈密顿场 ${\mathcal{X}}_{\text{Ham}}(Z)$ 形成李代数 $\mathcal{X}(Z)$ 的李子代数.

证明. 对 $X_F,X_G\in {\mathcal{X}}_{\text{Ham}}(Z)$, $[X_F,X_G]=-X_{\{F,G\}}=X_{\{G,F\}}\in {\mathcal{X}}_{\text{Ham}}(Z)$.

$\square$

推论 3.45. 设 $X_H$ 是 $Z$ 上的哈密顿向量场, 其流为 ${\phi }_t$, 则对于 $F\in C^{\infty }(Z)$, $$\frac{d}{dt}(F\circ {\phi }_t)=\{F\circ {\phi }_t,H\}=\{F,H\}\circ {\phi }_t.$$

证明. $$\frac{d}{dt}(F\circ {\phi }_t)=dF\cdot \frac{d}{dt}{\phi }_t=dF\cdot X_H\circ {\phi }_t=\{F,H\}\circ {\phi }_t.$$$$\{F,H\}\circ {\phi }_t={\phi }_t^{\ast }\{F,H\}=\{{\phi }_t^{\ast }F,{\phi }_t^{\ast }H\}=\{F\circ {\phi }_t,H\circ {\phi }_t\}=\{F\circ {\phi }_t,H\}.$$$\square$

推论 3.46. 设 $F,G\in C^{\infty }(Z)$, 则 $F$ 沿 $X_G$ 的积分曲线为常数当且仅当 $G$ 沿 $X_F$ 的积分曲线为常数当且仅当 $\{F,G\}=0$.

证明. $$\frac{d}{dt}(F\circ {\phi }_t^G)=0\iff \{F,G\}\circ {\phi }_t=0\iff \{F,G\}=0.$$$\square$

定理 3.47. 设 $(Z,\Omega )$ 为 $2n$ 维辛向量空间, $Z$ 上的哈密顿函数 $H$ 在以 $F$ 为哈密顿函数的单参数变换群下不变, 则 $F$ 是 $X_H$ 之首次积分.

证明. 即 $\frac{d}{dt}(H\circ {\phi }_t^F)=0$ 推出 $\frac{d}{dt}(F\circ {\phi }_t^H)=0$, 事实上两者皆是 $\{F,H\}=0$.

$\square$

推论 3.48 (泊松定理). 具有哈密顿函数 $H$ 的方程组之两个首次积分 $F_1,F_2$ 的泊松括弧仍为首次积分.

证明. 现有 $\{F_1,H\}=0,\{F_2,H\}=0$, 由 Jacobi 恒等式, $\{\{F_1,F_2\},H\}=0$.

$\square$

习题. 验证 ${\phi }^{\ast }(L_{X}f)=L_{{\phi }^{\ast }X}({\phi }^{\ast }f)$.

证明. $$\begin{array}{rl}{L}_{{\phi }^{\ast }X}({\phi }^{\ast }f)(z)& =L_{{\phi }_{\ast }^{-1}X}f\circ \phi (z)\\ & =d(f\circ \phi )\cdot ({\phi }_{\ast }^{-1}X)(z)\\ & =df(\phi (z))\cdot D\phi (z)\cdot D{\phi }^{-1}(\phi (z))\cdot X(\phi (z))\\ & =df(\phi (z))\cdot X(\phi (z))=df(X)(\phi (z))\\ & =(L_{X}f)\circ \phi (z)={\phi }^{\ast }(L_{X}f)(z).\end{array}$$

$\square$

附: 重点概念英文及示例

mechanics (力学)	classical mechanics, Lagrangian mechanics, Hamiltonian mechanics
motion (运动)	equation of motion
velocity (速度)	relative velocity, angular velocity
acceleration (加速度)	centripetal acceleration, acceleration due to gravity
momentum (动量)	angular momentum, generalized momentum
force (力)	external force, frictional force, Coriolis force, Lorentz force
moment (矩)	moment of force
energy (能量)	potential energy, kinetic energy, total energy
conservation (守恒)	conservation law, conservation of momentum, conservation of energy

参考文献

[Li]	李书民. 经典力学概论. 中国科学技术大学出版社, 2007.
[Zh]	张恭庆. 变分学讲义. 现代数学基础. 高等教育出版社, 2001.
[Ar]	В. И. Arnold. 经典力学的数学方法. 俄罗斯数学教材选译. 高等教育出版社, 2006.
[SS]	E. M. Stein, R. Shakarchi. Fourier Analysis: An Introduction. Princeton Lectures in Analysis I. Princeton University Press, 2001.
[Fu]	H. Furstenberg. Recurrence in Ergodic Theory and Combinatorial Number Theory. Princeton University Press, 1981.
[MR]	J. E. Marsden, T. S. Raitu. 力学和对称性导论——经典力学系统初探. 应用数学译丛. 清华大学出版社, 1999.
[ZG]	张恭庆, 郭懋正. 泛函分析讲义 (下册) . 大学基础课教材. 北京大学出版社, 2001.