Lie 代数

Lie 代数是一种代数结构, 是 Lie 理论的主要研究对象之一, 它刻画了 Lie 群的无穷小元素. Lie 群刻画几何对象的连续对称性, 而 Lie 代数刻画几何对象的无穷小对称变换. 例如, 三维空间中的球面 $S^2$ 关于任何旋转都对称, 对应的无穷小的对称变换就是 “无穷小旋转”. 所有无穷小旋转构成一个 Lie 代数, 在这个例子中是特殊正交 Lie 代数 $\mathfrak{so}(3;\mathbb{R})$.

准确地说, Lie 代数是一个向量空间, 带有二元运算 $[-,-]$, 称为 Lie 括号. Lie 括号可以视为结合代数中交换子$$[x,y]=xy-yx$$的推广. Lie 括号应满足类似交换子的性质, 但不一定来自于某个结合代数中的交换子. 换言之, 在一般的 Lie 代数中, 并不总能定义乘法 $xy$ 和 $yx$, 使得上式成立.

Lie 代数表示是 Lie 理论和表示论中的重要研究对象. 给定 Lie 代数 $\mathfrak{g}$, 其表示就是带有 $\mathfrak{g}$ 所描述的无穷小对称性的向量空间. Lie 代数的表示论可以通过其泛包络代数而与结合代数的表示论联系起来.

在特征 $0$ 的代数闭域上, 某一类较为简单的 Lie 代数, 称为半单 Lie 代数, 能够通过 Dynkin 图完全分类, 即半单 Lie 代数分类定理.

1定义

定义 1.1 (Lie 代数). 设 $k$ 是交换环. 则 $k$ 上的 Lie 代数是二元组 $(\mathfrak{g},[-,-])$, 其中

•	$\mathfrak{g}$ 是 $k$-模.

•	$[-,-]:\mathfrak{g}\times \mathfrak{g}\to \mathfrak{g}$ 是 $k$-双线性映射, 称为 Lie 括号.

它们应满足以下条件:

•	(交错性) 对任意 $x\in \mathfrak{g}$, 有$$[x,x]=0.$$

•	(Jacobi 恒等式) 对任意 $x,y,z\in \mathfrak{g}$, 有$$[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0.$$

在无歧义时, 我们直接称 $\mathfrak{g}$ 是 Lie 代数.

在上述定义中, 交错性也蕴涵了以下性质: 对任意 $x,y\in \mathfrak{g}$,$$[x,y]=-[y,x].$$这可以由 $[x+y,x+y]=0$ 及 Lie 括号的双线性而得出. 事实上, 若 $k$ 是特征不为 $2$ 的域, 则上面的性质等价于定义中的交错性, 因此在不考虑特征 $2$ 的情形时, 这也常常用作交错性的定义.

定义 1.2 (Lie 代数同态). 设 $(\mathfrak{g},[-,-{]}_{\mathfrak{g}})$ 与 $(\mathfrak{h},[-,-{]}_{\mathfrak{h}})$ 是交换环 $k$ 上的两个 Lie 代数 (定义 1.1). 它们之间的同态是指 $k$-模同态$$f:\mathfrak{g}⟶\mathfrak{h},$$使得对任意 $x,y\in \mathfrak{g}$, 有$$f([x,y{]}_{\mathfrak{g}})=[f(x),f(y){]}_{\mathfrak{h}}.$$

定义 1.3 (Lie 代数范畴). 设 $k$ 是交换环. 则 $k$ 上的所有 Lie 代数 (定义 1.1) 及它们之间的同态 (定义 1.2) 构成一个范畴, 称为 $k$ 上的 Lie 代数范畴, 记为 ${\mathsf{LieAlg}}_k$.

2例子

•	设 $k$ 是交换环, $A$ 是 $k$ 上的结合代数. 对 $x,y\in A$, 定义$$[x,y]=xy-yx.$$则 $(A,[-,-])$ 是 $k$ 上的 Lie 代数. ∘ 特别地, 令 $A$ 为矩阵代数 ${\mathrm{M}}_n(k)$, 则得到的 Lie 代数即为 一般线性 Lie 代数 $\mathfrak{gl}(n;k)$, 它是一般线性群 $\mathrm{GL}(n;k)$ 的 Lie 代数.

•	三维空间 ${\mathbb{R}}^3$ 中, 向量外积赋予了它 Lie 代数的结构. 事实上, 这就是特殊正交 Lie 代数 $\mathfrak{so}(3;\mathbb{R})$.

•	对 Lie 群 $G$, 其在单位元 $1\in G$ 处的切空间 $\mathfrak{g}={\mathrm{T}}_{1}G$ 自然地带有 Lie 代数的结构. 此即 Lie 群–Lie 代数对应.

•	光滑流形 $X$ 上所有光滑向量场在 Lie 括号下构成 $\mathbb{R}$ 上的 Lie 代数.

3性质

Lie 群–Lie 代数对应

Lie 群–Lie 代数对应表明, 对任意 (实或复) Lie 群 $G$, 其在单位元 $1\in G$ 处的切空间 $\mathfrak{g}={\mathrm{T}}_{1}G$ 自然地带有 ($\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$ 上) Lie 代数的结构. 并且, Lie 群间的同态也会通过切映射而诱导 Lie 代数间的同态. 该构造实际上是相应 Lie 群范畴到 Lie 代数范畴的函子.

更进一步, 这一构造实际上给出了单连通 (实或复) Lie 群范畴到有限维 Lie 代数范畴的范畴等价. 这也就意味着, 对任何有限维 Lie 代数 $\mathfrak{g}$, 都能找到唯一的单连通 Lie 群 $G$, 使得其 Lie 代数为 $\mathfrak{g}$.

4相关概念

•	$L_{\infty }$ 代数

术语翻译

Lie 代数 • 英文 Lie algebra • 德文 Lie-Algebra (f) • 法文 algèbre de Lie (f) • 日文 Lie 代数 (Lie だいすう) • 韩文 Lie 대수 (Lie 代數)