用户: Solution/ 讲义: 代数几何初步/代数簇与Hilbert零点定理

1仿射代数簇

记域上的 $\mathbf{n}$ 维仿射空间即线性空间为 $k^n$. 在代数几何中, 我们将其记作 ${\mathbb{A}}^n(k)$. 以下无歧义时简记为 ${\mathbb{A}}^n$.

对于任一映射 $f:{\mathbb{A}}^n(k)\to k$, 其零点集即 $0$ 处的纤维 $\mathcal{V}(f):=\{x\in {\mathbb{A}}^n(k)\mid f(x)=0\}$. 代数几何学家感兴趣的是 $f$ 为多项式时的情形.

定义 1.1. 称 ${\mathbb{A}}^n$ 中的子集 $F$ 为仿射代数簇, 若存在 $k[X_1,\cdots ,X_n]$ 中的子集 $S$, 使得 $F=\{a\in {\mathbb{A}}^n\mid f(a)=0,\forall f\in S\}$.

记子集 $S$ 对应的代数簇为 $\mathcal{V}(S)$.

一些简单的例子或性质如下:

例 1.2.

(1)	$\mathcal{V}(1)=\varnothing$, $\mathcal{V}(0)={\mathbb{A}}^n$.
(2)	若 $S=\{X_1-s_1,\dots ,X_n-s_n\}$, 则 $\mathcal{V}(S)=\{(s_1,\cdots ,s_n)\}$. 故而单点集是代数簇.
(3)	若 $S_1\subset S_2$, 则 $\mathcal{V}(S_1)\supset \mathcal{V}(S_2)$.
(4)	对于 $S\subset A$, 记 $S$ 生成的理想为 $⟨S⟩$, 则 $\mathcal{V}(S)=\mathcal{V}(⟨S⟩)$. 这是由定义可验证的. 故而定义 1.1 中考虑 $A$ 的子集与 $A$ 的理想并无区别.

设 $A$ 是交换幺环. 其中理想 $I⊲A$ 的根理想定义为 $\sqrt{I}:=\{f\in A\mid \text{存在正整数 }n\text{ 使得 }{f}^n\in I\}$. 可验证 $\sqrt{I}$ 确实是一个理想 (这依赖于 $A$ 的交换性) , 且 $\mathcal{V}(I)=\mathcal{V}(\sqrt{I})$. (这是因为域是既约的)

例 1.3. 素理想都是根理想.

注 1.4. 也可以将代数簇定义为有限集 $F\subset k[X_1,\dots ,X_n]$ 的公共零点. 这则定义与定义 1.1 是等价的. 一个方向是简单的, 而另一个方向则是由 Hilbert 基定理 (若 $R$ 是诺特环, 则 $R[X_1,\dots ,X_n]$ 是诺特环) , 若 $I⊲A$, 则 $I$ 有有限生成元组 $f_1,\cdots ,f_n$, 故 $\mathcal{V}(I)=\mathcal{V}(f_1,\cdots ,f_n)$.

我们希望在 ${\mathbb{A}}^n$ 上建立一种新的拓扑, 使得其能代替繁琐的消元等繁琐的多项式运算. 幸运的是, 这种拓扑定义起来并不麻烦. 其依赖于以下事实:

命题 1.5. 对于一族子集 $\{S_{\alpha }{\}}_{\alpha \in I}\subset k[X_1,\dots ,X_n]$, 其中 $I$ 为指标集, 我们有

(1)	${\bigcap }_{\alpha }\mathcal{V}(S_{\alpha })=\mathcal{V}({\bigcup }_{\alpha }{S}_{\alpha })$.
(2)	$\mathcal{V}(S_1)\cup \mathcal{V}(S_2)=\mathcal{V}(S_1{S}_2)$.

证明.

(1)

“$\subset$”: 若 $p\in {\bigcap }_{\alpha }\mathcal{V}(S_{\alpha })$, 则对任意 $f\in S_{\alpha }$ 与 $\alpha \in I$ 有 $f(p)=0$, 即 $p\in \mathcal{V}({\bigcup }_{\alpha }{S}_{\alpha })$. “$\supset$”: 若对于任意 $f\in {\bigcup }_{\alpha }{S}_{\alpha }$ 有 $f(p)=0$, 则对于任意 $\alpha \in I$ 有 $p\in \mathcal{V}(S_{\alpha })$, 即 $p\in {\bigcap }_{\alpha }\mathcal{V}(S_{\alpha })$.

(2)

“$\subset$”: 若 $p\in \mathcal{V}(S_1)\cup \mathcal{V}(S_2)$, 则不妨设对于任意 $f\in S_1$, 有 $f(p)=0$. 那么任意 $g\in S_1{S}_2$, 有 $g=fh$, 其中 $f\in S_1$, $h\in S_2$. 那么 $g(p)=f(p)h(p)=0$, 即 $p\in \mathcal{V}(S_1{S}_2)$. “$\supset$”: 反之, 若 $p\notin \mathcal{V}(S_1)\cup \mathcal{V}(S_2)$, 则存在 $f\in S_1$ 与 $g\in S_2$ 使得 $f(p),g(p)\ne 0$, 故由整性知 $f(p)g(p)\ne 0$. 但 $fg\in S_1{S}_2$, 故 $p\notin \mathcal{V}(S_1{S}_2)$. $\square$

这实际上是说, ${\mathbb{A}}^n$ 中的全体仿射代数簇有闭集结构. 因此, 我们可以在 ${\mathbb{A}}^n$ 定义一个全新的拓扑结构, 使其中闭集恰好为全体仿射代数簇. 我们称这个拓扑为 Zariski 拓扑. 以下无特殊说明时, ${\mathbb{A}}^n$ 装备 Zariski 拓扑.

注 1.6. 注意到取 $k$ 为 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$, 则 Zariski 拓扑其实严格粗于 Euclid 拓扑. 这是由于 Euclid 拓扑下, 多项式函数都是连续函数, 但连续函数显然可以不是多项式函数. 若 $n=1$, 则 Zariski 拓扑即余有限拓扑.

而取 $k$ 为有限域, 则 Zariski 拓扑就是离散拓扑.

值得注意的是, Zariski 拓扑不是 Hausdorff 拓扑. ${\mathbb{A}}^n$ 不是 Hausdorff 空间. 这是因为 ${\mathbb{A}}^n$ 中的任意两个非空开集都是相交的: 它们都形如 $\mathcal{D}(S)=\mathcal{V}(S{)}^{\mathrm{c}}$.

我们也可以定义子簇:

定义 1.7 (子簇). 称 $U$ 为代数簇 $V$ 的子簇, 若 $U$ 是 $V$ 的闭子集. 这也等价于说 $U$ 是代数簇且 $U\subset V$.

在代数几何中, 我们时常用到一些 ${\mathbb{R}}^n$ 中不太可能出现的拓扑性质.

定义 1.8 (诺特空间). 称拓扑空间 $X$ 为诺特空间, 若 $X$ 满足闭集降链条件, 即任一闭集降链 $F_1⊊\cdots ⊊F_n⊊\cdots$ 长度有限. (也即满足开集升链条件, 即开集升链有界.)

例 1.9.

(1)	欧氏空间 ${\mathbb{R}}^n$ 中的诺特子空间即有限点集与空集.
(2)	仿射空间 ${\mathbb{A}}^n$ 是诺特空间. 这是因为对任一闭集降链 $V(I_1)⊋\cdots ⊋V(I_m)⊋\cdots$, 有 $I_1⊊\cdots ⊊I_m⊊\cdots$. 而由于 $A=k[X_1,\cdots ,X_n]$ 是诺特环, 故理想升链有界. 故而对应的闭集降链有界.
(3)	诺特空间的子空间都诺特. (由子空间拓扑定义)
(4)	在代数几何中, “紧” 通常称为 “拟紧”, 而 “紧” 一词指代 “拟紧且 Hausdorff”. 对于拓扑空间 $X$, 其诺特性等价于每一个子空间都拟紧. (见 Atiyah 习题 6.6.)

另一个代数几何中的特有拓扑概念是 “不可约” 性.

定义 1.10 (不可约空间). 称拓扑空间 $X$ 不可约, 若它不能写为两个真闭子集的并. 这也等价于任意非空开子集稠密.

称 $X$ 的子集不可约, 若该子集作为子空间不可约.

注 1.11.

1.	在欧氏空间中, 不可约子集只有单点集与空集.
2.	取 $k=\mathbb{C}$, 则仿射直线 ${\mathbb{A}}_{\mathbb{C}}^1$ 不可约. (只需注意到这时的 Zariski 拓扑是余有限拓扑.)
3.	连续映射正向保持不可约性.
4.	子集 $V$ 为不可约集当且仅当 $\overline{V}$ 为不可约集.
5.	不可约空间是连通的.

我们将会看到, 不可约集是一个很好处理的对象. 下述定理保证了不可约集在诺特空间中具有某种一般性.

定理 1.12 (不可约分解). 对于诺特空间 $X$, 存在有限个不可约闭子集 $Y_i\subset X$ 使得

(1)	$X={\bigcup }_{i=1}^n{Y}_i$;
(2)	且对于任意 $i\ne j$ 有 $Y_i\not\subset Y_j$.

且这样的分解在差一个 $\{Y_i\}$ 的重排的意义下是唯一的.

证明.

存在性: 先证明满足条件 (1) 的分解存在.

不妨设 $X$ 可约, 否则 $X=X$ 即为这样的分解. 若 $X$ 不满足这样的性质 (即不能写为有限个不可约闭子集的并) , 令 $X=X_1\cup Y_1$, 其中 $X_1,Y_1$ 是 $X$ 的真闭子集. 由假设, 不妨设 $X_1$ 可约, 则可分解为 $X_1=X_2\cup Y_2$, 其中 $X_2,Y_2$ 是 $X_1$ 的真闭子集, 故自动是 $X$ 的真闭子集 (由于可写为两个闭集的交) . 由假设, 不妨设 $X_i$ 可约, 则继续操作得真闭子集 $X_{i+1}$. 如此得一闭子集降链 $X\supset X_1\supset \cdots \supset X_i\supset \cdots$ 与诺特性矛盾.

唯一性: 若 $Y={\bigcup }_{i=1}^n{Y}_i={\bigcup }_{j=1}^m{Z}_j$ 是满足条件 (1) 与 (2) 的分解, 则 $Z_j=Z_j\cap Y={\bigcup }_{i=1}^n(Z_j\cap Y_i)$. 由 $Z_j$ 的不可约性及条件 (2), 存在唯一 $\sigma (j)$ 使得 $Z_j=Y_{\sigma (j)}\cap Z_j$, 即 $Z_j\supset Y_{\sigma (j)}$. 同理, 存在 $\tau (\sigma (j))$ 使得 $Z_{\tau (\sigma (j))}\subset Y_{\sigma (j)}\subset Z_j$. 由条件 (2) 知 $\tau (\sigma (j))=j$, 且 $Z_j=Y_{\sigma (j)}$. 那么 $\sigma :\{1,\cdots ,m\}\to \{1,\cdots ,n\}$ 与 $\tau :\{1,\cdots ,n\}\to \{1,\cdots ,m\}$ 是互逆的映射, 从而 $\tau$ 是双射, 且 $n=m$. 故 $\{Z_j\}$ 实则是 $\{Y_i\}$ 的一个重排.

$\square$

注 1.13. 不可约分解不一定是无交并. 例如 $\mathcal{V}(XY)\subset {\mathbb{A}}^2$ 的不可约分解为 $\mathcal{V}(XY)=\mathcal{V}(X)\cup \mathcal{V}(Y)$, 两个不可约分支有交点 $(0,0)$. 但当 $V$ 是代数群时, 不可约分解确实是无交并.

上述定理用在 ${\mathbb{A}}^n$ 上即:

推论 1.14. 若 $V$ 是一个仿射代数簇, 则存在有限个互不包含的不可约子簇 $\{V_i{\}}_{i=1}^n$, 使得 $V={\bigcup }_{i=1}^n{V}_i$. 且这样的分解是唯一的.

进而许多关于代数簇的命题将得以化归到仿射代数簇上讨论.

Hilbert 零点定理

对于理想 $I⊲A=k[X_1,\cdots ,X_n]$, 可以定义代数簇 $\mathcal{V}(I)\subset {\mathbb{A}}^n$. 反之, 我们也可以定义一个代数簇对应的理想.

定义 1.15 (定义理想). 对于仿射空间 ${\mathbb{A}}^n$ 中的代数簇 $V$, 定义 $\mathcal{I}(V):=\{f\in A\mid f(p)=0,\forall p\in V\}$.

可以注意到以下事实:

命题 1.16. 若 $V\subset {\mathbb{A}}^n$ 是一个代数簇, 则 $V$ 是仿射代数簇当且仅当 $\mathcal{I}(V)$ 是素理想.

证明. 若 $V$ 是仿射代数簇, 则 $V$ 不可约, 则若多项式 $f$ 与 $g$ 满足 $fg\in \mathcal{I}(V)$, 则 $V\subset \mathcal{V}(fg)=\mathcal{V}(f)\cup \mathcal{V}(g)$. 那么由不可约性, 不妨设 $V\subset \mathcal{V}(f)$. 这意味着 $f\in \mathcal{I}(V)$. 这即证明 $\mathcal{I}(V)$ 是素理想.

反之, 若 $V$ 可约, 则存在真闭子集分解 $V=V_1\cup V_2$. 故而 $\mathcal{I}(V_i)⊋\mathcal{I}(V)$. 取 $f_i\in \mathcal{I}(V_i)\backslash \mathcal{I}(V)$, 则 $f_1{f}_2\in \mathcal{I}(V)$. 这说明 $\mathcal{I}(V)$ 不是素理想.

$\square$

注 1.17. 由上述命题可知对于无限域 $k$ 来说, ${\mathbb{A}}^n$ 不可约, 因为 $\mathcal{I}({\mathbb{A}}^n)=(0)$. 若 $k$ 是有限域 ${\mathbb{F}}_{p^l}$, 则 $\mathcal{I}({\mathbb{A}}^n)=({\prod }_{i=1}^n(X_i^{p^l}-X_i))$. 这并不是一个素理想.

对于 $\mathcal{V}(-)$ 与 $\mathcal{I}(-)$, 若 $Z\subset {\mathbb{A}}^n$, 则具有 $\mathcal{V}(\mathcal{I}(Z))=\overline{Z}$. 这是因为显然 $Z\subset \mathcal{V}(\mathcal{I}(Z))$, 且 $\mathcal{V}(\mathcal{I}(Z))$ 闭, 故有 $\mathcal{V}(\mathcal{I}(Z))\supset \overline{Z}$. 反之, 若 $p\in \mathcal{V}(\mathcal{I}(Z))$, 那么对于任意 $\mathcal{V}(S)\supset Z$, $f\in S$, 有 $f{\mid }_Z=0$, 则依定义有 $f(p)=0$, 即 $p\in \mathcal{V}(S)$. 故而 $p\in {\bigcap }_{\mathcal{V}(S)\supset Z}\mathcal{V}(S)=\overline{Z}$.

那么对于 $\mathcal{I}(\mathcal{V}(I))$ 有无类似结果呢? Hilbert 给出了在代数闭域下的解答. 该问题的结果称为 Nullstellensatz, 即 Hilbert 零点定理. 德语中的 Nullstelle 是零点集的意思, 而 satz 则是定理的意思.

定理 1.18 (强形式 Hilbert 零点定理). 若 $k$ 是代数闭域, 则 $\mathcal{I}(\mathcal{V}(I))=\sqrt{I}$.

证明. 只需证明 $\mathcal{I}(\mathcal{V}(I))\subset \sqrt{I}$. 由 Hilbert 基定理, 令 $I=⟨f_1,\cdots ,f_m⟩$. 对于 $g\in \mathcal{I}(\mathcal{V}(I))$, 取环 $k[X_1,\cdots ,X_n,Y]$ 中的理想 $J=⟨f_1,\cdots ,f_m,Yg-1⟩$. 由于 $f_i$ 与 $g$ 都是与 $Y$ 无关的多项式, 且由定义若 $p\in {\mathbb{A}}^{n+1}$ 使得 $f_i(p)=0$, 则有 $g(p)=0$, 故 $p_{n+1}g(p)-1=-1$. 故 $\mathcal{V}(J)\subset {\mathbb{A}}^{n+1}$ 是空集, 即 $J=k[X_1,\cdots ,X_n,Y]$. 故而存在 $h_i\in k[X_1,\cdots ,X_n,Y]$ 使得 $1=h_1{f}_1+\cdots +h_m{f}_m+h_{m+1}(Yg-1)$. 视右端为 $k[X_1,\cdots ,X_n](Y)$ 的元素, 并令 $Z=Y^{-1}$, 则诸 $h_i$ 可视为以 $X_i$ 与 $Z^{-1}$ 为变元的多项式. 则存在充分大的 $N$ 使得 $Z^N=Z^N(h_1{f}_1+\cdots +h_m{f}_m+h_{m+1}(Yg-1))=j_1{f}_1+\cdots +j_m{f}_m+j_{m+1}(g-Z)$. 其中 $j_i=Z^N{h}_i$ 与 $j_{m+1}=Z^{N-1}{h}_{m+1}$ 为以 $Z$ 与 $X_i$ 为变量的多项式. 代入 $Z=g$ (即考虑这些多项式在 $k[X_1,\cdots ,X_n](Y)/(Y^{-1}-g)$ 中的像) 即得 $g^N=j_1{f}_1+\cdots +j_m{f}_m$. 由于经过赋值 (即在商环中的像) , $j_i$ 都是以 $X_i$ 为变元的多项式, 故 $g^N\in \mathcal{I}(\mathcal{V}(I))$. 故 $\mathcal{I}(\mathcal{V}(I))\subset \sqrt{I}$.

$\square$

若 $I$ 是根理想, 那么 $\mathcal{I}(\mathcal{V}(I))=I$. 且若 $V$ 是代数簇, 则 $\mathcal{V}(\mathcal{I}(V))=V$. 加之命题 1.16, 我们可以得到以下一一对应:

定理 1.19. 若 $k$ 是代数闭域, 则有如下一一对应$$\begin{array}{rl}\{{\mathbb{A}}^n\text{ 中是代数簇}\}& \stackrel{1:1}{⟷}\{A=k[X_1,\cdots ,X_n]\text{ 中的根理想}\}；\\ \{{\mathbb{A}}^n\text{ 中是仿射代数簇}\}& \stackrel{1:1}{⟷}\{A=k[X_1,\cdots ,X_n]\text{ 中的素理想}\}=\mathrm{Spec}k[X_1,\cdots ,X_n]；\\ V& ⟼\mathcal{I}(V)；\\ \mathcal{V}(I)& ⟵I;\end{array}$$事实上, 由 $\mathcal{V}(-)$ 与 $\mathcal{I}(-)$ 的反向包含关系知还有如下对应: $$\begin{array}{rl}\{{\mathbb{A}}^n\text{ 中的点}\}& \stackrel{1:1}{⟷}\{A=k[X_1,\cdots ,X_n]\text{ 中的极大理想}\}=\mathrm{Max}k[X_1,\cdots ,X_n]；\end{array}$$

注 1.20. 代数闭域的条件是必要的. 若 $k=\mathbb{R}$, 则 $(X^2+1)$ 是 $\mathbb{R}[X]$ 的极大理想, 但 $V(X^2+1)=\varnothing$. 这时单点集与极大理想不再一一对应. 不过一则有趣的事实是 $\mathrm{Max}\mathbb{R}[X,Y]/(X^2+Y^2+1)$ 与 $\mathbb{R}{\mathbb{P}}^2\backslash (0,0,1)$ 是一一对应的. (见刘青习题 2.1.3.)

作为 Hilbert 零点定理的应用, 我们可以得到一个符合直觉的命题:

推论 1.21 (弱形式 Hilbert 零点定理). 若 $k$ 是代数闭域, $f_1,\cdots ,f_m\in A=k[X_1,\cdots ,X_n]$ 是有限个多项式, 则 $f_1,\cdots ,f_m$ 没有公共零点当且仅当存在 $g_1,\cdots ,g_m\in A$ 使得 ${\sum }_{i=1}^m{f}_i{g}_i=1$.

证明. “$\Leftarrow$” 是显然的. 我们只证明 “$\Rightarrow$”. 这是由于 $\sqrt{⟨f_1,\cdots ,f_m⟩}=A$, 故而 $⟨f_1,\cdots ,f_m⟩=A$, 故存在 $g_1,\cdots ,g_m\in A$ 使得 ${\sum }_{i=1}^m{f}_i{g}_i=1$.

$\square$

我们也有相对版本的 Hilbert 零点定理.

定理 1.22 (相对版本的 Hilbert 零点定理). 记 ${\pi }_V:k[X_1,\cdots ,X_n]\to A(V)$ 以及 $\mathcal{V}(W):={\pi }_V(\mathcal{I}(W))$. 则 $W\mapsto {\mathcal{I}}_V(W)$ 与 ${\pi }_V(I)\mapsto V\cap \mathcal{V}(I)$ 建立了如下一一对应: $$\begin{array}{rl}\{V\text{ 中代数子簇}\}& \stackrel{1:1}{⟷}\{A(V)\text{ 中的根理想}\}；\\ \{V\text{ 中是仿射代数子簇}\}& \stackrel{1:1}{⟷}\{A(V)\text{ 中的素理想}\}；\\ \{V\text{ 中的点}\}& \stackrel{1:1}{⟷}\{A(V)\text{ 中的极大理想}\}；\end{array}$$

代数簇的态射

我们来研究代数簇之间的态射.

定义 1.23 (正则映射 (Regular Morphisms) ). 对于代数簇 $V\subset {\mathbb{A}}^n$ 与 $W\subset {\mathbb{A}}^m$, 称映射 $\phi :V\to W$ 为正则映射, 若 $\phi :x\mapsto (f_1(x),\cdots ,f_m(x))$, 其中 $f_i$ 为多项式. 这即是说在 $m$ 个分量上均为多项式的映射.

定义 1.24 (坐标环 (Coordinate Ring) ). 对于代数簇 $V$, 定义 $A(V):=k[X_1,\cdots ,X_n]/\mathcal{I}(V)$ 为 $V$ 的坐标环.

例 1.25.

(1)	$A({\mathbb{A}}^n)=k[X_1,\cdots ,X_n]$.
(2)	取 $V=\mathcal{V}(XY-1)\subset {\mathbb{A}}^2$, 则 $A(V)\cong k[X,X^{-1}]$.

注 1.26.

1.	在 Zariski 拓扑意义下, 正则态射是连续的, 因为 Zariski 拓扑本身是使多项式连续的最粗拓扑.
2.	正则映射的复合仍是正则映射.
3.	恒等态射是正则态射.

一个自然的问题是, 仿射簇间的正则映射是否在坐标环的层面反映出来. 事实上, 我们可以反变地定义坐标环间的映射

定义 1.27 (伴随映射 (Associated Map) ). 若 $\phi :V\to W$ 是仿射簇间的态射, 则定义 ${\phi }^{\ast }:A(W)\to A(V);f\mapsto f\circ \phi$.

由 Hilbert 零点定理, 事实上仿射簇 $V$ 与 $\mathrm{Max}A(V)$ 有着一一对应. 事实上, 我们有如下重要的一一对应:

定理 1.28. 若 $V\subset {\mathbb{A}}^n$ 与 $W\subset {\mathbb{A}}^m$ 是两个代数簇, 则 $\phi \mapsto {\phi }^{\ast }$ 建立了如下一一对应: $$\begin{array}{rl}\{V\text{ 与 }W\text{ 间的正则映射}\}& \stackrel{1:1}{⟷}\{A(W)\text{ 与 }A(V)\text{ 间的 }k\text{-代数态射}\};\\ \phi & \mapsto {\phi }^{\ast }.\end{array}$$

证明. 单: 令 $Y_1,\cdots ,Y_m$ 为 ${\mathbb{A}}^m$ 上的坐标函数 (即对分量的投影) , 且容易知道它们都是 $W\to {\mathbb{A}}^1$ 的正则映射. 那么注意到$$\begin{array}{rl}\phi (p)& =(\overline{Y_1}\circ \phi (p),\cdots ,\overline{Y_m}\circ \phi (p))\\ & =({\phi }^{\ast }(\overline{Y_1})(p),\cdots ,{\phi }^{\ast }(\overline{Y_m})(p))\\ & =({\phi }^{\ast }(\overline{Y_1}),\cdots ,{\phi }^{\ast }(\overline{Y_m}))(p),\end{array}$$而 $\overline{Y_i}$ 生成了 $A(W)$, 故 ${\phi }^{\ast }(Y_i)$ 完全决定了 $\phi$. 即证单性.

满: 若 $\varphi :A(W)\to A(V)$ 是一个 $k$-代数同态. 那么 $\tilde{\varphi }:V\to {\mathbb{A}}^m;p\mapsto (\tilde{\varphi }(\overline{Y_1}),\cdots ,\tilde{\varphi }(\overline{Y_m}))$ 是一个正则映射. 而对于任意 $f\in \mathcal{I}(W)$, $p\in V$, 那么$$\begin{array}{r}f(\tilde{\varphi }(p))=f((\tilde{\varphi }(\overline{Y_1}),\cdots ,\tilde{\varphi }(\overline{Y_m})))=\varphi (f(\overline{Y_1},\cdots ,\overline{Y_m}))(p)=\varphi (0)(p)=0.\end{array}$$故 $\tilde{\varphi }(V)\subset W$, 即 $\tilde{\varphi }:V\to W$. 且 ${\tilde{\varphi }}^{\ast }=\varphi$, 故知满性.

$\square$

注 1.29. 今后论及代数簇间的正则映射时, 我们称正则映射为态射 (morphism) .

定义 1.30 (代数簇的同构). 称代数簇 $V$ 与 $W$ 同构, 若存在态射 $\phi :V\to W$ 与 $\varphi :W\to V$ 使得 $\phi \circ \varphi ={\mathrm{id}}_W$ 且 $\varphi \circ \phi ={\mathrm{id}}_V$.

上述一一对应为我们提供了一个两个代数簇是否同构的重要判据:

推论 1.31. 代数簇 $V$ 与 $W$ 同构当且仅当坐标环 $A(W)\cong A(V)$.

注 1.32. 坐标环是代数簇的内蕴环. 换句话说, 当代数簇 $V$ 以不同的方式嵌入任何仿射空间中时, 坐标环是同构意义下的不变量.

我们来看一些例子:

例 1.33.

1.	抛物线 $V=\mathcal{V}(X_1^2-X_2)\subset {\mathbb{A}}^2$ 那么 $\phi :V\to {\mathbb{A}}^1;(x_1,x_2)\mapsto x_1$. 若 $k$ 是代数闭域, 那么 $\phi$ 是双射. 且 $\phi :k[X]\to A(V)=k[X_1,X_2]/(X_1^2-X_2);X\mapsto X_1$ 是一个环同构, 故而 $V$ 与 ${\mathbb{A}}^1$ 是同构的.
2.	若 $V=\mathcal{V}(X^2-Y^3)\subset {\mathbb{A}}^2$, 则 $A(V)=k[X,Y]/(X^2-Y^3)$ 不是一个 UFD (由于 ${\overline{X}}^2-{\overline{Y}}^3$) , 故 $V$ 与仿射直线 ${\mathbb{A}}^1$ 不可能同构.

我们还有如下命题:

命题 1.34. 设 $\phi :V\to W$ 是态射, 若 ${\phi }^{\ast }:A(W)\to A(V)$ 满, 则 $\phi :V\to W$ 单.

证明. 若 $p$ 与 $q$ 是 $V$ 中两个不同的点, 则 $p$ 与 $q$ 可用一个正则映射 $f:V\to {\mathbb{A}}^1$ 分离 (即 $f(p)=0$, $f(q)\ne 0$) . 由 ${\phi }^{\ast }$ 满知存在正则映射 $g:V\to {\mathbb{A}}^1$ 使得 ${\phi }^{\ast }(g)=f$, 即 $g\circ \phi (p)=0$ 而 $g\circ \phi (q)\ne 0$. 故而 $\phi (p)\ne \phi (q)$.

$\square$

下面引入一则重要的正则态射, 称为支配态射.

定义 1.35 (支配态射 (Dominant Morphism) ). 称正则态射 $\phi :V\to W$ 是一个支配态射, 若 $\phi (V)$ 在 $W$ 中稠密.

这可以理解为泛函分析中的稠值域映射. 支配态射有着很方便的刻画.

命题 1.36. 正则映射 $\phi :V\to W$ 是一个支配态射 当且仅当 ${\phi }^{\ast }:A(W)\to A(V)$ 是单射.

证明. “$\Rightarrow$”: 若 $\phi$ 是支配态射, 则若 $f\in \ker {\phi }^{\ast }$, 则 $f\circ \phi =0$. 令 $f=\overline{F}$, 其中 $F\in k[Y_1,\cdots ,Y_m]$. 那么这等价于证明 $F\circ \varphi =0$, 其中 $\varphi$ 是 $V$ 至 $W$ 的多项式映射, 且 $\varphi {\mid }_V=\phi$. 那么 $\phi$ 支配即意味着 $\varphi (V)$ 在 $W$ 中稠密. 由于 $\mathcal{V}(F)\supset \varphi (V)$, 故取闭包即有 $W\subset \mathcal{V}(F)$. 但依定义有 $\mathcal{V}(F)\subset W$, 故 $\mathcal{V}(F)=W$. 故而 $f=0\in A(W)$.

“$\Leftarrow$”: 若 ${\phi }^{\ast }$ 单, 则若 $\overline{\phi (V)}⊊W$, 则存在 $A(W)$ 中的函数 $g\ne 0$ 使得 $g{\mid }_{\overline{\phi (V)}}=0$. 这即 $g\circ \phi (V)=0$, 即 ${\phi }^{\ast }(g)=0$, 矛盾!

$\square$

习题