用户: Solution/ 讲义: 代数几何初步/光滑性

1Zariski 切空间

定义 1.1 (Zariski 切空间 (Tangent Space) ). 令仿射簇 $X\subset {\mathbb{A}}^n$ 由 $\mathcal{I}(X)$ 定义. 则对于 $p\in X$, 定义该点处的 Zariski 切空间 $T_{p}X:=\mathcal{V}(\{{\sum }_{i=1}^n\frac{\partial F}{\partial X_i}(p)X_i\mid F\in \mathcal{I}(X)\})$.

定义 1.2 (导算子 (Derivative) ). 若 $X$ 是仿射簇, 且 $A(X)$ 是其正则函数环, 则在 $p\in X$ 处, $X$ 的一个导算子指一个 $k$-线性映射 $D:A(X)\to k$ 满足 $D(fg)=f(p)D(g)+D(f)g(p)$. 点 $p$ 处的全体导算子在显然的意义下构成一个 $k$-模, 记作 ${\Omega }_{p}X$.

点 $p$ 处的导算子与其切空间 $T_{p}X$ 是一一对应的. 对于 $a=(a_1,\cdots ,a_n)\in T_{p}X$, 定义 $D_a(f)={\sum }_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial X_i}{a}_i$. 由定义, 对于 $f\in \mathcal{I}(X)$, 有 $D_a(f)=0$, 故可将 $D_a$ 定义在 $A(X)$ 上. 故 $D:T_{p}X\to {\Omega }_{p}X;a\mapsto D(a)$ 是一个同态.

反之, $F:{\Omega }_{p}X\to T_{p}X;D\to (D(X_i){)}_i$ 也是一个良定义的同态, 且与 $D$ 互逆. 故可视 $T_{p}X$ 与 ${\Omega }_{p}X$ 为等同.

定义 1.3 (Zariski 余切空间 (Cotangent Space) ). 令仿射簇 $X\subset {\mathbb{A}}^n$ 由 $\mathcal{I}(X)$ 定义. 对于 $p\in X$, 由 Hilbert 零点定理, 令 ${\mathfrak{m}}_p$ 为 $p$ 对应的极大理想. 定义 ${\mathfrak{m}}_p/{\mathfrak{m}}_p^2$ 为 $p$ 处的余切空间. 注意到 ${\mathfrak{m}}_p/{\mathfrak{m}}_p^2$ 是一个 $A(X)/{\mathfrak{m}}_p\cong k$-线性空间.

可以证明 ${\mathfrak{m}}_p/{\mathfrak{m}}_p^2$ 确实是 $T_{p}M$ 的对偶空间.

命题 1.4. 我们有 $T_{p}X\cong ({\mathfrak{m}}_p/{\mathfrak{m}}_p^2{)}^{\ast }={\mathrm{Hom}}_k({\mathfrak{m}}_p/{\mathfrak{m}}_p^2,k)$.

证明. 若 $D:A(X)\to k$ 是一个导算子, 则 $D{\mid }_{{\mathfrak{m}}_p^2}=0$. (由于对于 $f,g\in {\mathfrak{m}}_p$, 我们有 $D(fg)=D(f)g(p)+f(p)D(g)=0$.) 故 $D{\mid }_{{\mathfrak{m}}_p}\in ({\mathfrak{m}}_p/{\mathfrak{m}}_p^2{)}^{\ast }$. 故 $F:T_{p}X\to ({\mathfrak{m}}_p/{\mathfrak{m}}_p^2{)}^{\ast }$ 是一个 $k$-模同态. 反之, 对于 $l\in ({\mathfrak{m}}_p/{\mathfrak{m}}_p^2{)}^{\ast }$, 定义线性算子 $D_l$ 为 $D_l:=l(\overline{f-f(p)})$. 其 $k$-线性是显然的, 且$$\begin{array}{rl}l(fg)& =l(\overline{fg-f(p)g(p)})=l(\overline{(f-f(p))g(p)}+\overline{f(p)(g-g(p))}+\overline{(f-f(p))(g-g(p))})\\ & =g(p)l(\overline{f-f(p)})+f(p)l(\overline{g-g(p)})=D_l(f)g(p)+D_l(g)f(p).\end{array}$$故 $D_l$ 是一个导算子, 从而 $G:({\mathfrak{m}}_p/{\mathfrak{m}}_p^2{)}^{\ast }\to T_{p}X;l\mapsto D_l$. 而 $F$ 与 $G$ 互逆, 故 $T_{p}X=({\mathfrak{m}}_p/{\mathfrak{m}}_p^2{)}^{\ast }$.

$\square$

2光滑点与奇异点

一则重要事实是 ${\dim }_p{X}_p\le \dim X\le {\dim }_k{T}_{p}X$. 前者是显然的, 我们证明后者:

命题 2.1. 若 $X$ 是拟射影簇, 则 $\delta :X\to {\mathbb{Z}}_{\ge 0};x\mapsto {\dim }_k{T}_{x}X$ 上半连续.

证明. 不妨设 $X$ 是代数簇. 令 $\mathcal{I}(X)=⟨F_1,\cdots ,F_s⟩$, 则对于任意 $p\in X$, 由于 $T_{p}X=\{(p_1,\cdots ,p_n)\in {\mathbb{A}}^n\mid {\sum }_{i=1}^n\frac{\partial F_j}{X_i}(p)p_i=0,1\le j\le s\}$. 则 $\delta ({\mathbb{Z}}_{\ge l})=\{x\mid {\dim }_k{T}_{x}X\ge l\}=\{x\mid \dim \ker (M_x)\ge l\}=\{x\mid \mathrm{rank}(M_x)\le n-l\}=\mathcal{V}({\bigcup }_{M为M_x的(n-k+1)阶子式}\det (M))$ 是闭集. 其中 $M_x=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial F_1}{\partial X_1}(x)& \cdots & \frac{\partial F_1}{\partial X_n}(x)\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial F_s}{\partial X_1}(x)& \cdots & \frac{\partial F_s}{\partial X_n}(x)\end{array}\right)$.

$\square$

命题 2.2. 若 $X$ 是不可约拟射影簇, 则对于任意 $p\in X$, 有 ${\dim }_k{T}_{p}X\ge \dim X$. 且存在稠密开集 $U\subset X$ 使得 ${\dim }_k{T}_{p}X=\dim X$ 对于任意 $p\in U$ 成立.

证明. 令 $\dim X=n$. 先设 $X\subset {\mathbb{A}}^{n+1}$ 是一个超曲面, 即 $X=\mathcal{V}(F)$, 其中 $F\in k[X_1,\cdots ,X_{n+1}]$ 不可约. 那么对于任意 $p\in X$, $T_{p}X$ 是由 ${\sum }_{i=1}^{n+1}\frac{\partial F}{\partial X_i}(p)X_i=0$ 定义的, 故 ${\dim }_k{T}_{p}X\ge n=\dim X$.

若不存在 $p\in X$ 使得 ${\dim }_k{T}_p(X)=n$, 则这意味着 ${\sum }_{i=1}^{n+1}\frac{\partial F}{\partial X_i}$ 是一个零线性泛函, 故 $\frac{\partial F}{\partial X_i}$ 皆为零. 对于 $\mathrm{Char}k=0$, 这是不可能的. 对于 $\mathrm{Char}k=p>0$, 则存在多项式 $G$ 使得 $F(X_1,\cdots ,X_n)=G(X_1^p,\cdots ,X_{n+1}^p)=G(X_1,\cdots ,X_{n+1}{)}^p$, 与 $F$ 的不可约性矛盾. 故存在 $p\in X$ 使得 ${\dim }_k{T}_p(X)=n$. 所以 ${\delta }^{-1}(n)=X-{\delta }^{-1}(n+1)$ 是非空开集, 故稠密.

对于一般情形, 存在双有理映射 $\phi :X⇢Y\subset {\mathbb{A}}^{n+1}$, 其中 $Y$ 是不可约超曲面. 那么存在稠密开集 $U\subset Y$ 使得对于任意 $q\in U$, 有 ${\dim }_k{T}_{q}Y=\dim Y=\dim X$. 那么 ${\phi }^{-1}(U)$ 在 $X$ 中稠密, 且在其上有 ${\dim }_k{T}_{p}X=\dim X$. 由于 $X-{\delta }^{-1}({\mathbb{Z}}_{\ge n})$ 开, 故若其非空, 则与 ${\phi }^{-1}(U)$ 有非空交, 矛盾! 故 $X-{\delta }^{-1}({\mathbb{Z}}_{\ge n})$ 空. 这即完成了证明.

$\square$

由上述结果, 我们可以定义光滑点与奇异点:

定义 2.3 (光滑点与奇异点 (Smooth Point and Singularity) ). 若 $X$ 是一个拟射影簇, 则称 $p\in X$ 是一个光滑点, 若 ${\dim }_k{T}_{p}X={\dim }_{p}X$. 否则称 $p$ 为奇异点.

定义 2.4 (光滑簇 (Smooth Variety) ). 称拟射影簇 $X$ 是光滑簇, 若其每个点都是光滑的.

注 2.5. 记 $X$ 上的全体奇异点为 $\mathrm{Sing}(X)$, 则这即 ${\delta }^{-1}({\mathbb{Z}}_{\ge \dim X+1})$, 故闭, 且是 $X$ 的真闭子集.

例 2.6. 取 $X=\mathcal{V}(XZ,YZ)=\mathcal{V}(X,Y)\cup \mathcal{V}(Z)\subset {\mathbb{A}}^3$. 则在 $\mathcal{V}(X,Y)-0$ 上有 ${\dim }_p\mathcal{V}(X,Y)={\dim }_k{T}_p\mathcal{V}(X,Y)=1$, 在 $\mathcal{V}(Z)-0$ 上有 ${\dim }_p\mathcal{V}(Z)={\dim }_k{T}_p\mathcal{V}(Z)=2$. 但在 $0$ 处, 我们有 ${\dim }_{0}X=2<3={\dim }_k{T}_{0}X$.

注 2.7. 若 $X$ 与 $Y$ 都是拟射影簇, 则可证 $\mathrm{Sing}(X\times Y)=(\mathrm{Sing}(X)\times Y)\cup (X\times \mathrm{Sing}(Y))$.

3正则局部环

设 $(R,\mathfrak{m},k)$ 是诺特局部环.

定义 3.1 (正则局部环 (Regular Local Ring) ). 一般来说, 对于诺特局部环 $R$, 我们有 ${\dim }_k\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2\ge \dim R$. 若此处等号成立, 我们就称 $R$ 是一个正则局部环.

下面我们给出一个后面常用的结果

命题 3.2. Assume $X$ is an irreducible variety with $\dim X=n$, $Y\subset X$ has pure codimension of $1$. Let $y\in Y$ be a smooth point of $X$, then there exist affine open neighborhood $y\in U$ and $f\in A(U)$ such that $U\cap Y$ is defined by $f$.

注 3.3. pure codimension 仅仅保证我们可以 “不妨设 $Y$ 是不可约簇”, 本命题见 [Sh] 定理 2.10.

有了上述命题, 我们可以把它推广到一般的情形, 即

推论 3.4. 对于 $\mathrm{codim}=r$ 的子簇 $Y$ 上的光滑点 $x$ 可以找到仿射开集 $x\in U$ 以及 $f_1,\cdots ,f_r\in A(U)$ 使得 $U\cap Y$ 是 $\mathcal{V}(f_1,\cdots ,f_r)$ 的不可约分支.

4Zariski 主定理

定理 4.1 (Zariski 主定理). 若 $\phi :X⇢Y$ 是不可约拟射影簇间的双有理映射, 且 $Y$ 光滑, 则存在稠密开集 $V\subset Y$, 使得

(1)	有同构 ${\phi }^{-1}(V)\cong V$.
(2)	令 $X\backslash {\phi }^{-1}(U)$ 的不可约分解为 ${\bigcup }_{i=1}^r{E}_i$, 则 $\dim E_i=n-1$, 且 $\dim \overline{\phi (E_i)}\le n-2$.

证明. 由于 $\phi$ 是双有理的, 故存在 $Y$ 中的极大开子集 $U$ 使得 ${\phi }^{-1}(U)\stackrel{\phi }{\cong }U$. 令 $x\in X$, 而 $y=\phi (x)\in Y$, 则取 $x$ 的开邻域 $\tilde{U}$ 与 $y$ 的开邻域 $\tilde{V}$, 满足 $\phi (\tilde{U})=\tilde{V}$. 从而这诱导了交换图表

若 ${\phi }^{\ast }:{\mathcal{O}}_{Y,y}\to {\mathcal{O}}_{X,x}$ 是同构, 则可找到 $y$ 的开邻域 $V$ 使得 $\phi :{\phi }^{-1}(V)\to V$ 是同构, 方法如下. 令 $t_1,\cdots ,t_n$ 生成了 $A(\tilde{U})$. 由同构, 存在 $\frac{a_i}{b_i}\in {\mathcal{O}}_{Y,y}$ 使得 ${\phi }^{\ast }(\frac{a_i}{b_i})=t_i$, 其中 $a_i,b_i\in A(\tilde{V})$. 令 $b=b_1\cdots b_n$, 则令 $V=\mathcal{V}(b{)}^c\subset \tilde{V}$, 而 $U=\mathcal{V}({\phi }^{\ast }(b){)}^c\subset \tilde{U}$, 那么 $A(V)=A(\tilde{V}{)}_b$, 而 $A(U)=A(\tilde{U}{)}_{{\phi }^{\ast }(b)}$, 且 ${\phi }^{\ast }:A(V)\to A(U)$ 也是同构. 而对于 $x^{\prime }\in U_x$, $\phi (x^{\prime })\in \mathcal{V}(b{)}^c=V$. 这等价于 $b(\phi (x^{\prime }))\ne 0$, 也即 ${\phi }^{\ast }(b)(x^{\prime })\ne 0$. 这即 $\phi (x^0)\in V$. 故 $\phi :U={\phi }^{-1}(V)\to V$ 是同构.

$\square$

推论 4.2.

(1)	若 $X$ 是不可约曲线, 而 $Y$ 是光滑曲线, 且 $\phi :X⇢Y$ 是双有理映射, 则 $\phi (X)$ 是 $Y$ 中的开集, 且 $\phi :X\to \phi (X)$ 是同构. 特别地, $X$ 是光滑的.
(2)	若 $X$ 是不可约曲面, $Y$ 是光滑曲面, 且 $\phi :X⇢Y$ 是双有理映射, 则存在 $p_1,\cdots ,p_m\in Y$, 使得 ${\phi }^{-1}(p_i)$ 是等维数曲线, 且 $X\backslash {\bigcup }_{i=1}^m{\phi }^{-1}(p_i)$ 是 $Y\backslash {\bigcup }_{i=1}^m{p}_i$ 中的开集.

推论 4.3. 若 $X$ 是光滑不可约拟射影簇, 而 $\phi :X⇢{\mathbb{P}}^n$ 是双有理映射, 则 $\phi$ 的定义域包含一个开集 $U\subset X$, 且 $\mathrm{codim}(X\backslash U)\ge 2$.

推论 4.4. 若 $C$ 是一个光滑曲面, 则任一有理映射 $\phi :C⇢{\mathbb{P}}^n$ 都是簇的态射.

定义 4.5 (正规点 (Normal Point) ). 称簇 $X$ 上的点 $p$ 正规, 若 $O_{X,p}$ 是正规环, 即整闭整环. 若 $X$ 上各点正规, 则称 $X$ 是正规簇 (Normal Variety) .

定理 4.6. 若 $X$ 是拟射影簇, 且 $\phi :X\to Y$ 是支配态射, 且存在开集 $V\subset Y$ 使得对于任意 $y\in V$, 有 ${\phi }^{-1}(y)$ 连通. 若 $y\in \phi (X)$ 是正规点, 则 ${\phi }^{-1}(y)$ 是连通的.

5光滑态射

有了切空间后, 我们自然可以仿照微分几何, 定义切映射:

定义 5.1 (切映射 (Tangent Map) ). 若 $\phi :X\to Y$ 是簇之间的态射, 且 $\phi (x)=y$, 那么 $\phi$ 诱导了局部环间的局部映射 ${\phi }^{\ast }:O_{Y,y}\to O_{X,x}$, 且 $({\phi }^{\ast }{)}^{-1}({\mathfrak{m}}_x)={\mathfrak{m}}_y$. 那么这进一步诱导了 $k$-线性空间的线性映射 ${\Omega }_{y}Y={\mathfrak{m}}_y/{\mathfrak{m}}_y^2\to {\Omega }_{x}X={\mathfrak{m}}_x/{\mathfrak{m}}_x^2$. 这再次诱导了对偶空间的映射: $$T_x\phi :T_{x}X\to T_{y}Y.$$该映射称为切映射.

例 5.2. 考虑 $\phi :{\mathbb{A}}^m\to {\mathbb{A}}^n;p\mapsto (F_1(p),\cdots ,F_n(p))$, 其中 $F_i$ 均是 $m$ 元多项式. 那么 $T_p\phi =(\frac{\partial F_i}{\partial X_j}(p){)}_{1\le i\le n,1\le j\le m}$.

注 5.3.

(1)	对于态射 $\phi :X\to Y$ 与 $\varphi :Y\to Z$, 由 Leibniz 法则有 $T_p(\varphi \circ \phi )=T_{\phi (p)}\varphi \circ T_p\phi$.
(2)	令 $X_x:={\phi }^{-1}(\phi (x))$, 那么 $\tilde{\phi }:\phi \circ i$ 是常值映射, 其中 $i:X_x\hookrightarrow X$. 故而 $T_x\tilde{\phi }$ 是零映射. 由 (1) 知 $T_x{X}_x\subset \ker (T_x\phi )$. 这说明 $\mathrm{rank}(T_x\phi )\le \dim T_{x}X-\dim T_x{X}_x$.

可以证明以下命题:

引理 5.4. 设 $\phi :X\to Y$ 是簇的态射. 那么映射 $\delta :X\to \mathbb{Z};x\mapsto \dim (\ker T_x\phi )$ 上半连续.

证明. 即证 ${\delta }^{-1}({\mathbb{Z}}_{\ge r})$ 闭. 不妨设 $X\subset {\mathbb{A}}^n$ 由多项式 $F_1,\cdots ,F_s$ 定义, 并令 $\phi$ 是多项式映射 ${\mathbb{A}}^n\to {\mathbb{A}}^m;p\mapsto (G_1(p),\cdots ,G_m(p))$ 在 $X$ 上的限制. 那么对于任意一点 $p\in X$, $T_p\phi$ 是 $(\frac{\partial G_i}{\partial X_j}(p))$ 限制在 Zariski 切空间 $T_{p}X$, 其中 $T_{p}X$ 是$$\left\{(X_1,\cdots ,X_j)|\sum _{j=1}^n\frac{\partial F_i}{\partial X_j}(p)X_j=0\right\}.$$记 $M_p=(\frac{\partial F_i}{\partial X_j}(p)),G_p=(\frac{\partial G_i}{\partial X_j}(p))$ 分别为 $s\times n,m\times n$ 的矩阵, 那么 $\ker T_p\phi =\ker M_p\cap \ker G_p$, 故 $\dim (\ker T_p\phi )\ge r$ 等价于 $\mathrm{rank}\left(\begin{array}{c}{M}_p\\ G_p\end{array}\right)\le n-r$.

$\square$

例 5.5. 考虑 $\phi :{\mathbb{A}}^3\to {\mathbb{A}}^2;(x,y,z)\mapsto (z,x^{2}z+y^2)$. 注意到$$\begin{array}{r}{T}_{(x,y,z)}\phi =\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 2xz& 2y& z^2\end{array}\right).\end{array}$$和 $\mathrm{rank}\ge 1\iff \dim \ker \le 2$, 于是 ${\delta }^{-1}(2)=\{(0,0,z),z\in k\}\cup \{(x,0,0),x\in k\}$ is closed, ${\delta }^{-1}(1)={\mathbb{A}}^3$, too.

我们定义光滑态射的概念:

定义 5.6 (光滑态射 (Smooth Morphism) ). 若 $X$ 与 $Y$ 是不可约的光滑簇, 而 $\phi :X\to Y$ 是簇的态射. 称 $\phi$ 在 $x\in X$ 处光滑, 若 $T_x\phi$ 满. 称 $\phi$ 光滑, 若它在每个 $x\in X$ 处光滑.

例 5.7. 还是上面的例子, 由定义可知 $\phi$ 在 ${\delta }^{-1}(2)$, 即 $\mathcal{V}(Y)$ 与 $\mathcal{V}(XZ)$ 处不光滑.

注 5.8. $T_x\phi$ 满只是关于切空间的一个局部性质, 并不能推出 $X\to Y$ 是满的 (当然后面会证是 dominant) , 例如选择 $X$ 是光滑簇 $Y$ 中一个开集 $U$ 做嵌入.

命题 5.9. 若 $X$ 与 $Y$ 是不可约的光滑簇, 而 $\phi :X\to Y$ 是光滑态射. 那么

(1)	$\phi$ 是支配态射. 且 $\phi$ 的非空纤维都是等维数的, 且维数为 $\dim X-\dim Y$.
(2)	若 $Z$ 是 $Y$ 的光滑闭子簇, 则 ${\phi }^{-1}(Z)$ 也是光滑的.

证明.

(1)

${\dim }_k{T}_x{X}_x\le \dim X-\dim Y$: 对于任意 $x\in X$, 由于 $T_x{X}_x\subset \ker T_x\phi$, 故 ${\dim }_k{T}_x{X}_x\le {\dim }_k(\ker T_x\phi )={\dim }_k{T}_{x}X-{\dim }_k{T}_{\phi (x)}Y=\dim X-\dim Y$, 其中最后一个等号用到了簇的光滑性条件. 另一方面, 根据维数理论, 我们有$${\dim }_k{T}_x{X}_x\ge {\dim }_x{X}_x\ge \dim X-\dim \overline{\phi (X)}\ge \dim X-\dim Y.(\ast )$$综上知 ${\dim }_k{T}_x{X}_x=\dim X-\dim Y$. 且由 $(\ast )$ 知 ${\dim }_k{T}_x{X}_x={\dim }_x{X}_x$, 故而 $\phi$ 的非空纤维都是等维数的. 且由 $(\ast )$ 的最后一个不等号可取等, 知 $\dim Y=\dim \overline{\phi (X)}$. 故 $\phi$ 是支配态射.

(2)

对于 $x\in {\phi }^{-1}(Z)$, 由于 $T_x{\phi }^{-1}(Z)\subset T_{x}X$, 故 $(T_x\phi )(T_{x}X)\subset T_{\phi (x)}Z$. 故而 ${\dim }_k{T}_x{\phi }^{-1}(Z)\le \dim T_{\phi (x)}Z+\dim (\ker T_x\phi )=\dim Z+(\dim X-\dim Y)=\dim X-{\mathrm{codim}}_{Y}Z$, 其中第一个等号用到光滑性. 而在 $\phi (x)$ 的一个仿射开邻域 $V$, 存在 $r$ 个多项式 $f_1,\cdots ,f_r\in \mathcal{I}(Z)\subset A(Y)$ 使得 $Z\cap V$ 是 $\mathcal{V}(f_1,\cdots ,f_r)$ 的不可约分支. (课堂上老师没有证明这点, 但本人认为这不是平凡的事实. 详见 Remark.) 那么 ${\phi }^{-1}(Z)\cap {\phi }^{-1}(V)$ 是一些 $\mathcal{V}({\phi }^{\ast }{f}_1,\cdots ,{\phi }^{\ast }{f}_r)$. 由 Krull 主理想定理, 我们有 ${\mathrm{codim}}_X{\phi }^{-1}(Z)\le r\le {\mathrm{codim}}_{Y}Z$. 这也即 $\dim {\phi }^{-1}(Z)\ge \dim X-{\mathrm{codim}}_{Y}Z$. 综上, 有 $\dim {\phi }^{-1}(Z)\ge \dim X-{\mathrm{codim}}_{Y}Z\ge {\dim }_k{T}_x{\phi }^{-1}(Z)$. 由于 $x\in {\phi }^{-1}(Z)$ 任取, 故这即是说 ${\phi }^{-1}(Z)$ 光滑. $\square$

注 5.10. 上述证明的解释: 由于 $Y$ 光滑, 故 $O_{Y,\phi (x)}$ 是 $r$ 维正则局部环, 故而 ${\mathfrak{m}}_{\phi (x)}$ 可由 $r$ 个元素生成 (见 Atiyah 命题 11.22) . 再由 Shafarevich 中 P110 页引理可得.

定理 5.11 (一般光滑性 (General Smoothness) ). 假设 $\mathrm{Char}k=0$. 令 $X$ 与 $Y$ 是不可约簇, 且 $\phi :X\to Y$ 是支配态射. 那么存在 $Y$ 的非空光滑开子集 $V\subset Y$ 及非空光滑开的 $U\subset {\phi }^{-1}(V)$, 使得 $\phi {\mid }_U:U\to V$ 是光滑态射.

证明. 不妨设 $X\subset {\mathbb{A}}^n$ 与 $Y\subset {\mathbb{A}}^m$ 是闭子簇, 且 $\phi$ 是多项式映射 $u:{\mathbb{A}}^n\to {\mathbb{A}}^m$ 的限制. 由于 $X$ 与其图像 $\Gamma \subset X\times Y$ 同构, 故以 $\Gamma$ 替代 $X$. 可认为 $\phi$ 是投影映射 $\pi :{\mathbb{A}}^{n+m}\to {\mathbb{A}}^m;(y,x_1,\cdots ,x_n)\mapsto y$ 在 $\Gamma$ 上的限制.

不妨设 $n=1$. 若 $X_1$ 是 $A(Y)$ 上的超越元, 则 $A(X)=k(Y)\otimes k[X_1]\cong A(Y\times {\mathbb{A}}^1)$. 故 $X\cong Y\times {\mathbb{A}}^1$. 此时 $\phi$ 是投影映射, 故显然光滑.

若 $X_1$ 是 $A(Y)$ 上的代数元, 那么考虑 $X_1$ 的极小多项式 $G(T)=a_d(Y)T^d+\cdots +a_1(Y)T+a_0(Y)$, 其中故可缩小 $Y$ 至 $Y\cap \mathcal{V}(a_d)$. 故可认为 $a_d=1$, 则 $\mathcal{I}(X)=⟨\mathcal{I}(Y),G(T)⟩$. 这里我们假设 $A({\mathbb{A}}^n)=k[Y_1,\cdots ,Y_{m-1},T]$, 如此假设成立是因为经过调整后的 $Y$ 维数正好是 $m-1$. 对于点 $p=(y,x)\in X$, 其中 $y\in Y$ 是光滑点, 可知 $X$ 在 $p$ 处光滑当且仅当 $\frac{\partial G}{\partial T}(p)\ne 0$. 且此时 $T_p\phi$ 是线性空间的投影, 故必然满秩. 由 $\mathrm{Char}k=0$ 以及 $G(T)$ 不可约, 知 $R(G(T),\frac{\partial G}{\partial T})\ne 0$ 故令 $V=\mathcal{V}(G(T){)}^c\cap X$ 以及 $U=Y\cap \mathcal{V}(a_d)$ 即可, 这里 $Y$ 是原先未被缩小过的 $Y$.

$\square$

注 5.12. 这里 $\mathrm{Char}k=0$ 的假设是必要的. 若 $\mathrm{Char}k=p>0$, 则取 $k$ 为完美域, 并考虑 Frobenius 自同态 $f:{\mathbb{A}}^1\to {\mathbb{A}}^1;x\mapsto x^p$. 这显然是支配态射. 但对于任意 $x\in X$, 我们有 $T_{x}f=0$. 故 $f$ 无处光滑.

定理 5.13 (另一版本的一般光滑性). 假设 $\mathrm{Char}k=0$. 令 $X$ 与 $Y$ 是不可约簇, 且 $\phi :X\to Y$ 是支配态射. 那么存在 $Y$ 的非空光滑开子集 $V\subset Y$ 使得 ${\phi }^{-1}(V)\backslash \mathrm{Sing}(X)\to V$ 是光滑态射.

证明. 不妨设 $X$ 与 $Y$ 都是光滑的 (否则可取光滑开集) . 令 $d=\dim Y$, $Z:=\{x\in X\mid \mathrm{rank}(T_x\phi )<d\}$. 由上半连续, $Z$ 是闭集. 令 $X^{\prime }$ 是 $Z$ 的一个不可约分支, $Y^{\prime }$ 是 $\overline{\phi (X^{\prime })}$ 的一个不可约分支, 那么 $\phi {\mid }_{X^{\prime }}:X^{\prime }\to Y^{\prime }$ 是支配态射. 由一般光滑性, 存在光滑开集 $U^{\prime }\subset X^{\prime }$ 与 $V^{\prime }\subset Y^{\prime }$ 使得 $\phi {\mid }_{U^{\prime }}:U^{\prime }\to V^{\prime }$ 是光滑态射. 对于 $x\in U^{\prime }$, $\mathrm{rank}{T}_x(\phi {\mid }_{U^{\prime }})\le \mathrm{rank}{T}_x\phi <d$. 由光滑性, 这即 $\dim V^{\prime }=\dim Y^{\prime }<d$. 由于 $\dim \overline{\phi }(Z)<d=\dim Y$, 故 $\overline{\phi (Z)}$ 是 $Y$ 中的真闭子簇. 故令 $V=\overline{\phi (Z)}$ 即可.

$\square$

注 5.14. 这里 $\mathrm{Char}k=0$ 的假设是必要的. 若 $\mathrm{Char}k=p>0$, 则取 $k$ 为完美域, 并考虑 $f:{\mathbb{A}}^2\to {\mathbb{A}}^1;(x,y)\mapsto x^2-y^p$. 这显然是支配态射. 但对于任意 $a\in {\mathbb{A}}^1$, 有 $f^{-1}(a)={\mathcal{X}}^2-{\mathcal{Y}}^p-a\subset {\mathbb{A}}^2$. 故而 ${\phi }^{-1}(a)$ 上的点 $(0,a)$ 永远都是奇点.

6Bertini 定理

对于有关光滑性的命题, 有一则定理保证了我们可以使用对空间维数做归纳的方法去研究. 这即 Bertini 定理.

定义 6.1. 若 $X\subset {\mathbb{P}}^n$ 是射影簇, 则称 $X\cap H$ 为超平面截面, 其中 $H\subset {\mathbb{P}}^n$ 是超平面.

注 6.2. 可以认为超平面 $H$ 是 $({\mathbb{P}}^n{)}^{\ast }:=Gr(n-1,{\mathbb{P}}^n)$ 中的元素.

定理 6.3 (Bertini-1). 假设 $\mathrm{Char}k=0$, $X$ 是一个光滑簇, 且 $\phi :X\to {\mathbb{P}}^n$ 是一个态射, 则存在开集 $U\subset ({\mathbb{P}}^n{)}^{\ast }$, 使得对于任意超平面 $H\in U$, ${\phi }^{-1}(H)$ 是光滑的.

证明. 假设 $X$ 不可约, 且 $\dim X\ge 1$. 考虑闭子簇 $I\subset X\times ({\mathbb{P}}^n{)}^{\ast }$, 其中 $I:=\{(x,H)\in X\times ({\mathbb{P}}^n{)}^{\ast }\mid \phi (x)\in H\}$. 考虑如下投影. 则对于任意 $x\in X$, 纤维 $p^{-1}(X)\cong \{包含x的超平面\}\cong {\mathbb{P}}^{n-1}$. 故而 $I$ 不可约, 且 $\dim I=\dim X+n-1$.

另一方面, 对于任意 $H\in ({\mathbb{P}}^n{)}^{\ast }$, 有 $q^{-1}(H)\cong {\phi }^{-1}(H)$. 则以第二形式的一般光滑性, 存在稠密开集 $V\subset ({\mathbb{P}}^n{)}^{\ast }$ 使得投影的限制 $q:q^{-1}(V)\cap I_{Smooth}\to V$ 是光滑映射. 故只需证 $I$ 光滑, 则有 ${\phi }^{-1}(V)\cong q^{-1}(V)\cong q^{-1}(V)\cap I_{Smooth}$ 光滑.

对于 $(p,H_0)\in I$, 不妨设 $\phi (p)=(1:0:\cdots :0)$, 且 $H_0=\{X_n=0\}$, 且 $\phi (x)=(1:f_1(x):\cdots :f_n(x))$ 其中 $f_i$ 在 $p$ 的一个仿射开邻域中正则. 令 $U_n\subset ({\mathbb{P}}^n{)}^{\ast }$ 为包含 $H_0$ 的标准开集, 则 $U_n$ 中的超平面皆可表示为 ${\sum }_{i=0}^{n-1}{b}_i{X}_i+X_n=0$. 故在 $(p,H_0)\in U\times U_n=\{(x,b_0,\cdots ,b_{n-1})\}\subset X\times ({\mathbb{P}}^n{)}^{\ast }$ 其中 $\{(x,b_0,\cdots ,b_{n-1})\}$ 是 $({\mathbb{P}}^n{)}^{\ast }$ 的开子集. 则 $I$ 由 $b_0+b_1{f}_1(x)+\cdots +b_{n-1}{f}_{n-1}(x)+f_n(x)$. 由于 $\frac{\partial F}{\partial b_0}=1$, 且 $\frac{\partial F}{\partial b_i}\ne 0$, 故 $I$ 在每个 $(p,H_0)$ 处都光滑, 即 $I$ 光滑.

$\square$

注 6.4. 上述定理中, $k$ 是代数闭域的条件是必须的. 若 $\mathrm{Char}k=p>0$, 则定义 $\phi :{\mathbb{A}}^n\to {\mathbb{A}}^n;(x_1,\cdots ,x_n)\mapsto (x_1^p,\cdots ,x_n^p)$. 那么对于任一超平面 $H=\mathcal{V}({\sum }_{i=1}^n{a}_i{X}_i)$, 总有 ${\phi }^{-1}(H)=\mathcal{V}({\sum }_{i=1}^n{a}_i{X}_i^p)$. 但该曲面上的 Jacobi 矩阵处处零秩.

定理 6.5 (Bertini-2). 若 $X\subset {\mathbb{P}}^n$ 是一个光滑子簇, 则存在开集 $U\subset ({\mathbb{P}}^n{)}^{\ast }$, 使得对于任意超平面 $H\in U$, $H\cap X$ 是光滑的.

证明. 不妨设 $X$ 不可约, 且 $\dim X\ge 1$. 对于任意 $x\in X$, 定义 $L_x:=\{H\in ({\mathbb{P}}^n{)}^{\ast }\mid X\subset H或x\in H\cap X在处奇异\}$. 欲证 ${\bigcup }_{x\in X}{L}_x⊊({\mathbb{P}}^n{)}^{\ast }$.

不妨设 $x=(1:0:\cdots :0)\in X$. 则经过 $X$ 的超平面可刻画为 ${\sum }_{i=1}^n{b}_i{X}_i=0$, 且全体这样的超平面通过 $\{{\sum }_{i=1}^n{b}_i{X}_i=0\}\mapsto (b_1:\cdots :b_n)\in {\mathbb{P}}^{n-1}=\mathbb{P}(V^{\ast })$, 其中 $V=T_x{\mathbb{P}}^{\ast }$. 注意到若 $X\subset H$ 或 $x\in H\cap X$ 奇异, 则 $T_{x}X\subset T_{x}H$. 前一条件显然, 而后一条件是因为此时 $X\not\subset H$, 故 $\dim X\cap H=\dim X-1$. 而 $x\in X\cap H$ 意味着 ${\dim }_k{T}_x(H\cap X)\ge \dim H\cap X+1=\dim X=\dim T_{x}X$. 故而 $T_x(H\cap X)=T_{x}X\subset T_{x}H$. 故而 $L_x\subset \{H\in ({\mathbb{P}}^n{)}^{\ast }\mid T_{x}X\subset T_{x}H=H\}\cong {\mathbb{P}}^{n-1-\dim X}$. 定义 $I=\{(x,H)\mid x\in H\in ({\mathbb{P}}^n{)}^{\ast }\}\subset X\times ({\mathbb{P}}^n{)}^{\ast }$, 而 $Z=\{(x,H)\mid x\in H\in ({\mathbb{P}}^n{)}^{\ast },且X\subset H或x\in X\cap H奇异\}\subset I$. 由于 $Z$ 是一个闭子簇, 且 $({\pi }_X{\mid }_Z{)}^{-1}(x)\cong L_x$. 由于 $\dim L_x\le n-1-\dim X$, 而 $\dim Z\le (n-1-\dim X)+\dim X=n-1$. 故 $\dim \overline{{\pi }_{({\mathbb{P}}^n{)}^{\ast }}(Z)}=\dim {\pi }_{({\mathbb{P}}^n{)}^{\ast }}(Z)\le n-1$. 故取 $U=(\overline{{\pi }_{({\mathbb{P}}^n{)}^{\ast }}(Z)}{)}^c$ 即可.

$\square$

定理 6.6 (Bertini-3). 若 $X$ 是不可约簇, 且 $\phi :X\to {\mathbb{P}}^n$ 是态射, 且 $\overline{\phi (X)}\ge 2$. 则存在开集 $U\subset ({\mathbb{P}}^n{)}^{\ast }$, 使得对于任意超平面 $H\in U$, ${\phi }^{-1}(H)$ 是不可约的.

证明. 参见 Hartshone 第三章命题 7.9.

$\square$

注 6.7. (A Piece of Homework) 若 $X\subset {\mathbb{P}}^n$ 是次数大于等于 $2$ 光滑超曲面. 若 $\Gamma \subset X$ 是 ${\mathbb{P}}^n$ 中的线性子空间, 则 $\dim \Gamma \le \frac{1}{2}\dim X$.

证明. 否则, 存在线性子空间 $\Gamma \subset X$, 使得 $\dim \Gamma \ge \frac{1}{2}\dim X=\frac{1}{2}(n-1)$. 不妨设 $\Gamma =\{(x_0:\cdots :x_n)\mid x_{l+1}=\cdots =x_n=0\}$, 其中 $l=\dim \Gamma$. 那么题目条件即为 $2l\ge n-1$. 若 $X=\mathcal{V}(f)$ 其中 $f\in k[X_0,\cdots ,X_n]$ 是齐次多项式, 且 $\mathrm{deg}f\ge 2$. 故 $f(x_0,\cdots ,x_l,0,\cdots ,0)=0$ 对于任意 $x_0,\cdots ,x_l\in k$. 则对于 $0\le i\le l$ 有 $\frac{\partial f}{\partial X_i}=0$. 由于 $\mathrm{deg}f\ge 2$, 故对于 $l+1\le i\le n$ 有 $\frac{\partial f}{\partial X_i}$ 都是非常数多项式. 由于 $n-l\le l+1$, 故该 $n-l$ 个多项式的公共零点 $\mathcal{V}(\frac{\partial f}{\partial X_{l+1}},\cdots ,\frac{\partial f}{\partial X_n}=0)$ 交 $\Gamma$ 非空. 而这些零点是 $X$ 的奇异点, 故 $X$ 非光滑, 矛盾.

$\square$