用户: Solution/ 讲义: 代数几何初步/实例: Grassmannian簇

1Grassmannian 簇

记 $G(r,n)$ 为仿射空间 ${\mathbb{A}}^n$ 的全体 $r$ 维线性子空间. 我们将在 $G(r,n)$ 上赋予簇结构. 记 $V={\mathbb{A}}^n$, 定义如下映射: $$\begin{array}{rl}\mathcal{P}:G(r,n)& ⟶\mathbb{P}({\bigwedge }^{r}V)={\mathbb{P}}^{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}\right)-1}\\ W& ⟼[{\bigwedge }^{r}W]\end{array}$$该映射是良定的: 我们要证明这与 $\mathcal{P}(W)$ 与 $W$ 的基的选取无关. 显然 ${\bigwedge }^{r}W$ 是一个 $1$ 维线性空间. 若 $\mathcal{U}=\{e_1,\cdots ,e_r\}$ 与 $\mathcal{V}=\{f_1,\cdots ,f_r\}$ 都是 $W$ 的一组基, 那么存在可逆方阵 $A\in G{L}_r(k)$ 使得 $(e_1,\cdots ,e_r)A=(f_1,\cdots ,f_r)$. 那么我们立即有 $\det (A)e_1\wedge \cdots \wedge e_r=f_1\wedge \cdots \wedge f_r$. 这说明 $[W_{\mathcal{U}}]=[W_{\mathcal{V}}]$.

例 1.1. 当 $r=1$ 时的 Grassmannian 簇即射影空间 ${\mathbb{P}}^n$.

进一步地, 上述映射是单射.

命题 1.2 (Plucker 嵌入). $\mathcal{P}$ 是单射.

证明. 注意到 $W=\{v\in V\mid v\wedge w=0\in {\bigwedge }^{r+1}V,\forall w\in {\bigwedge }^{r}W\}$. 若 $W\ne V$, 则存在 $u\in W\backslash V$, 那么存在 $w\in {\bigwedge }^{r}W$ 使得 $u\wedge w\ne 0$.

$\square$

我们称 $\mathcal{P}$ 为 Plucker 嵌入, 并称 $W$ 在 Plucker 嵌入下的像在 $\mathbb{P}({\bigwedge }^{r}V)$ 的齐次坐标为 $W$ 的 Plucker 坐标.

注 1.3. 事实上, 这组坐标是可以显式地写出来的. 首先, $W$ 由一个 $r\times n$ 阶矩阵表出 (记 $V$ 的一组基为 $\{e_1,\cdots ,e_n\}$, 则 $W$ 中的一组基向量的每一个都由 $V$ 中的基向量线性表出. 而这对应了一个 $r\times n$ 阶矩阵) . 该矩阵在相差一个 $r$ 阶可逆方阵的左乘下是唯一的, 记作 $M_W$. 那么 Plucker 坐标显然是 $M_W$ 的所有 $r\times r$ 阶子式的行列式构成的. 这个表示方法是良定的, 因为相差一个 $r$ 阶方阵, 即意味着两者的所有 $r\times r$ 阶子式的行列式相应地相差一个非零常数. 而在 ${\mathbb{P}}^{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}\right)-1}$ 中, 两者是一样的.

更进一步地, Plucker 嵌入是闭嵌入. 这即是说 $\mathcal{P}(G(r,n))$ 是 ${\mathbb{P}}^{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}\right)-1}$ 中的一个簇.

定义 1.4 (可分解性 (Decomposibility) ). 称 $w\in {\bigwedge }^{r}V$ 是一个可分解的, 若存在 $v_1,\cdots ,v_r\in V$, 使得 $w=v_1\wedge \cdots \wedge v_r$. 若存在 $\phi \in {\bigwedge }^{r-1}V$, 使得 $w=v\wedge \phi$. 其中 $v\in V$, 则称 $\mathbf{v}$ 整除 $\mathbf{w}$, 并记作 $v|w$

若 $w=v_1\wedge \cdots \wedge v_r$, 则称 $w$ 是完全可分解 (totally decomposable) 的.

引理 1.5. 若 $v\in V$, 且 $w\in {\bigwedge }^{r}V$, 则 $v$ 整除 $w$ 当且仅当 $v\wedge w=0$.

证明. “$\Rightarrow$”: 显然.

“$\Leftarrow$”: 不妨设 $v\ne 0$, 则取 $V$ 包含 $v=v_1$ 的一组基, 记为 $\{v_1,v_2,\cdots ,v_n\}$.

令 $w={\sum }_{i_1<\cdots <i_r}{a}_{i_1\cdots i_r}{v}_{i_1}\wedge \cdots \wedge v_{i_r}$. 则 $v\wedge w=0$ 即 $a_{i_1\cdots i_r}=0$ 对于任意 $i_1\ne 1$ 成立.

$\square$

引理 1.6. 记 $D_w=\{v\in V\mid v|w,w\in {\bigwedge }^{r}V\}$, 则这是 $V$ 的一个线性子空间. 那么 $w$ 完全可分当且仅当 $\dim D_w=r$.

证明. 若 $w$ 完全可分解, 令 $w=v_1\wedge \cdots \wedge v_r$, 其中 $v_1,\cdots ,v_r$ 线性无关, 则 $D_w=\{v\in V\mid v\wedge v_1\wedge \cdots \wedge v_r=0\}$. 将 $\{v_1,\cdots ,v_r\}$ 延拓为 $V$ 的一组基 $\{v_1,\cdots ,v_r,v_{r+1},\cdots ,v_n\}$, 则令 $v=a_1{v}_1+\cdots +a_n{v}_n$, 故若 $v\in D_w$, 则 $(a_1{v}_1+\cdots +a_n{v}_n)\wedge v_1\wedge \cdots \wedge v_r=0$, 这意味着 $a_i=0\forall i=r+1,\cdots ,n$. 故 $v\in \mathrm{span}(v_1,\cdots ,v_r)$, 从而 $D_w=\mathrm{span}(v_1,\cdots ,v_r)$, 从而 $\dim D_w=r$.

反之, 令 $D_w=\mathrm{span}(v_1,\cdots ,v_r)$, 则将其延拓至 $\{v_1,\cdots ,v_r,v_{r+1},\cdots ,v_n\}$. 令 $w={\sum }_{|I|=r}{a}_I{v}_I$, 其中 $I=i_1,\cdots ,i_r$ 且 $i_j<i_{j+1}$, 而 $v_I=v_{i_1}\wedge \cdots \wedge v_{i_r}$. 由于 $v_j\wedge w=0$ 对 $j=1,\cdots ,r$ 成立, 故 $a_I{v}_I\ne 0$ 当且仅当 $I$ 中出现所有的 $1,\cdots ,r$. 这意味着 $I=\{1,\cdots ,r\}$, 从而 $w=a_{1,\cdots ,r}{v}_1\wedge \cdots \wedge v_r$. 故 $w$ 完全可分解.

$\square$

推论 1.7. 考虑映射$$\begin{array}{rl}\phi (w):V& ⟶{\bigwedge }^{r+1}V;\\ v& \mapsto v\wedge w.\end{array}$$以及 $\phi :w\mapsto \phi (w)$, 那么 $w$ 完全可分解当且仅当 $\mathrm{rank}(\phi (w))=n-r$.

证明. 这是因为由引理, $w$ 完全可分解当且仅当 ${\dim }_k{D}_w=r$, 而 $D_w=\ker \phi (w)$, 故该推论得证.

$\square$

有了以上准备后, 我么便可以给 $G(r,n)$ 赋予簇结构.

命题 1.8 (Grassmanian 簇). 像集 $\mathcal{P}(G(r,n))$ 是一个射影簇.

证明. 由于 $w\in {\bigwedge }^{r}V$ 为完全可分解元当且仅当存在某个 $r$ 维子空间 $W$ 使得 $\mathrm{span}(w)={\bigwedge }^{r}W$. 而 $w$ 完全可分解又当且仅当 $\mathrm{rank}(\phi (w))=n-r$, 这再次当且仅当 $\phi (w)$ 的 $(n-r+1)\times (n-r+1)$ 阶子式的行列式 (都是多项式) 全为零. 而 $\phi (w)$ 一定是 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r+1}\right)\times n$ 阶矩阵, 故 $\mathcal{P}(G(r,n))$ 事实上是有限多项式的公共零点集.

$\square$

注 1.9. 事实上, Grassmanian 簇是一族二次多项式的零点.

例 1.10. 不妨设 $\mathrm{Char}k\ne 2$. 考虑一种最简单的非平凡 Grassmannian 簇: $G(2,4)$. 其 Plucker 映射为 $\mathcal{P}:G(2,4)\to \mathbb{P}({\bigwedge }^2{\mathbb{A}}^4)={\mathbb{P}}^5$. 由于 $w\in {\bigwedge }^{2}V$ 可分解当且仅当 $\mathrm{rank}(\phi (w))\ge 2$. 这当且仅当 $w\wedge w=0$. 写成坐标分量, 这即$$X_{12}{X}_{34}-X_{13}{X}_{24}+X_{14}{X}_{23}=0.$$其中 $w=(X_{12}{e}_1+X_{34}{e}_2)\wedge (X_{14}{e}_3+X_{23}{e}_4)$. 这是事实上给出了 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=6$ 个二次曲面. 由上述事实, 这 $6$ 个二次曲面生成了 $\mathcal{I}(G(2,4))$.

定义 1.11 (有理簇 (Rational Variety) ). 称拟射影簇 $X$ 是有理的, 若其双有理等价于某个 ${\mathbb{P}}^n$.

我们将要证明以下三个事实:

(1)	Grassmannian 簇是有理簇.
(2)	簇 $G(k,n)$ 维数为 $k(n-k)$.
(3)	Grassmannian 簇不可约.

命题 1.12. 簇 $G(k,n)$ 不可约.

证明. 考虑代数群 $GL(V)$ 在 $G(k,n)$ 上的自然传递作用, 那么固定 $W\in G(k,n)$, 作用 $\phi :GL(V)\to G(k,n);M\mapsto M\cdot W$ 是满射, 且是簇的态射, 故连续. 由于代数群 $GL(V)$ 不可约 (因为是 ${\mathbb{A}}^{n^2}$ 的开子集) , 故其连续像 $\phi (GL(V))=G(k,n)$ 不可约.

$\square$

命题 1.13. 簇 $G(k,n)$ 是 $k(n-k)$ 维有理簇.

证明. 由于我们已经证得 $G(k,n)$ 的不可约性, 故 $\mathcal{P}(G(k,n))$ 也不可约, 且我们只需要研究 $\mathcal{P}(G(k,n))\subset \mathbb{P}({\bigwedge }^{k}V))$ 即可.

令 $\Gamma \subset V$ 是一个 $n-k$ 维子空间, 而 $V$ 是一个 $n$ 维线性空间. 其对应的 $k$ 次楔积 $w_{\Gamma }\in {\bigwedge }^{n-k}V=({\bigwedge }^{n-k}V{)}^{\ast }$ 可被认为是 $\mathbb{P}({\bigwedge }^{k}V)$ 中的一个齐次线性映射. 取一个标准开集 $U=\{w_{\Gamma }\ne 0\}$, 则 $[w]\in \mathcal{P}(G(k,n))\cap U$ 当且仅当 $w\wedge w_{\Gamma }\ne 0\in {\bigwedge }^{n}V$. 这也等价于 $W\cap \Gamma =0$, 其中 $\mathcal{P}(W)=[w]$. 故 $G(k,n)\cap U$ 正好是 $\Gamma$ 在 $V$ 中的全体直和补空间. 而这些子空间都可被等同于 $V/\Gamma \to \Gamma$ 的线性映射的图像, 从而 $G(k,n)\cap U\cong \mathrm{Hom}(V/\Gamma ,\Gamma )\cong {\mathbb{A}}^{k(n-k)}$. 这即证明了 $\dim G(k,n)=k(n-k)$.

加之 ${\mathbb{P}}^{k(n-k)}$ 的任一标准开集也同构于 ${\mathbb{A}}^{k(n-k)}$, 故 $G(k,n)$ 与 ${\mathbb{P}}^{k(n-k)}$ 是双有理等价的.

$\square$

注 1.14. 一些题外话:

当 $k=\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$ 时, Grassmannian 簇 $G(k,n)$ 也是微分几何的研究对象, 即一个微分流形. 它的一组坐标卡是$$U_{v_1,\cdots ,v_n}:=\{\mathrm{span}(v_1+\sum _{i=k+1}^n{a}_{1,i}{v}_i,\cdots ,v_k+\sum _{i=k+1}^n{a}_{k,i}{v}_i)\mid a_{ij}\in k\}.$$这其中 $\{v_1,\cdots ,v_n\}$ 取遍 ${\mathbb{A}}^n$ 的基. 另外, 作为微分流形, $G(k,n)$ 也是 $k(n-k)$ 维的.

当然, 对于 Grassmannian 簇, 我们也有如下另一种看法. 这种看法与 Venerose 映射有着异曲同工之妙. 令 $S=k[Z_0,\cdots ,Z_n]$ 为 ${\mathbb{P}}^n$ 的齐次坐标环. 这是一个分次环, 而我们取其 $d$ 次齐次项 $S_d$. 注意到 $S_d$ 事实上是全体 $d$ 次齐次多项式构成的线性空间.

对于 $k$ 维线性子空间 $\Gamma \subset {\mathbb{A}}^n\subset {\mathbb{P}}^n$, 其是 ${\mathbb{P}}^n$ 中的闭子簇, 故对应了一个齐次理想 $\mathcal{I}(\Gamma )$. 取该齐次理想的 $d$ 次分量 $\mathcal{I}(\Gamma {)}_d\subset S_d$, 那么 $\mathcal{I}(\Gamma {)}_d$ 事实上是 $S_d$ 的余维 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+d}{d}\right)$ 的线性子空间. 故我们得到了一个正则映射: $$v_d^{\ast }:G(k,n)\to G((\genfrac{}{}{0ex}{}{n+d}{d})-(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+d}{d}),(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+d}{d})).$$对偶地, 也即$$v_d:G(k,n)\to G((\genfrac{}{}{0ex}{}{k+d}{d}),(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+d}{d})).$$

2旗簇

所谓线性空间中的旗 (Flag) 即一个子空间降链. 令 $V$ 为 $n$ 维线性空间, 而正整数 $0<a_1<\cdots <a_k$, 则定义相应的旗簇为$$\mathrm{Fl}(a_1,\cdots ,a_k;V)=\{V_1\subset \cdots \subset V_k\mid \dim V_i=a_i\}.$$这是 $G(a_1,V)\times \cdots \times G(a_k,V)$ 的一个子簇.

3入射面簇

对于正整数 $k<n$, 定义入射面 $I_{k,n}\subset G(k,n)\times {\mathbb{P}}^n$ 为 $I_{k,n}=\{(W,[p])\mid p\in W\}$.

若 $X\subset {\mathbb{P}}^n$ 是射影簇, 则定义 ${\mathcal{C}}_k(X)\subset G(k,n)$ 为与 $X$ 相交的所有 $k$ 维子空间.

容易注意到, ${\mathcal{C}}_k(X)$ 即 $X$ 同过 $I_{k,n}$ 的” 反射像 “. 这是说${\mathcal{C}}_k(X)$ 即 $q(p^{-1}(X))$. 其中 $p$ 与 $q$ 分别为投影, 而 $i$ 是包含.

4连接簇

若 $X,Y\subset {\mathbb{P}}^n$ 是射影簇, 且 $X\cap Y=\varnothing$, 则定义 $\mathcal{J}(X,Y):=\{直线l\subset {\mathbb{P}}^n\mid l\cap X,l\cap Y\ne \varnothing \}={\bigcup }_{x\in X,y\in Y}{L}_{xy}$. 其中, $L_{xy}$ 指连接 $x$ 与 $y$ 两点的直线.

我们可以用入射面簇描述 $\mathcal{J}(X,Y)$. 事实上, 这即 $p^{-1}(q(\mathcal{C}(X)\cap \mathcal{C}(Y)))$. 这里取 $k=1$.

5正割簇

若 $X\subset \mathbb{P}(V)$ 是一个闭子簇, 则称$$\phi :X\times X-\Delta (X)\to G(1,\mathbb{P}(V))；(x,y)\mapsto L_{xy}$$为割线映射, 其中 $L_{xy}$ 指连接 $x$ 与 $y$ 的直线.

记 $\mathrm{Sec}(X)=\overline{\mathrm{im}(\phi )}$, 以及 $\mathcal{S}(X)=p\circ q^{-1}(\mathrm{Sec}(X))$. 则称 $\mathcal{S}(X)$ 为 $X$ 的正割簇.

6Fano 簇

我们初步研究 Grassmannian 簇的一种重要子簇——Fano 簇.

定义 6.1 (Fano 簇). 设 $X\subset {\mathbb{P}}^n$, 则定义 Fano 簇 ${\mathcal{F}}_k(X):=\{Y\in G(k,n)\mid Y\subset X\}$.

首先, 我们证明这确实是一个簇.

命题 6.2. Fano 簇 ${\mathcal{F}}_k(X)$ 确实是一个簇.

证明. 不妨设 $X$ 是超曲面, 否则作交即可. 令 $X$ 是 $d$ 次超曲面, 且 $X=\mathcal{V}(G)$. 如 Grassmannian 簇情形, 仍考虑$$v_d^{\ast }:G(k,n)\to G((\genfrac{}{}{0ex}{}{n+d}{d})-(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+d}{d}),(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+d}{d})).$$注意到 $G\in S_d$, 且记 $\Phi$ 为包含 $G$ 的全体 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+d}{d}\right)-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+d}{d}\right)$ 维线性子空间, 则 $\Phi$ 是 $S_d$ 中的闭子簇. 那么 $F_k(X)=(v_d^{\ast }{)}^{-1}(\Phi )$.

$\square$

若 $X$ 是 $d$ 次超曲面, 那么由定义, 以上证明中的 $\Phi$ 局部上是 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+d}{d}\right)$ 个方程定义的, 故 $\dim F_k(X)\ge \dim \Phi \ge \dim G(k,\mathbb{P}(V))-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+d}{d}\right)=(k+1)(n-k)-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+d}{d}\right)$. 我们称这个估计为 $F_k(X)$ 的预期维数.

一般来说, 我们没法精确地知道 Fano 簇的维数. Fano 簇是相当奇异的. 我们来看一些有趣的例子.

例 6.3. 若 $X\subset {\mathbb{P}}^3$ 是光滑三次超曲面, 则 $|F_1(X)|<\infty$. 更精确一点, $|F_1(X)|=27$.

而若 $n\ge 4$, 且 $X\subset {\mathbb{P}}^n$ 是光滑三次超曲面, 则 $F_1(X)$ 是不可约光滑簇, 且维数为预期维数 $(1+1)(n-1)-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+3}{3}\right)=2(n-1)-\frac{1}{6}(n+3)(n+2)(n+1)$.

7行列式簇

令 $\mathrm{Char}k=0$, $V=M_{m\times n}(k)$. 这是一个 $mn$ 维线性空间, 则 $\mathbb{P}(V)={\mathbb{P}}^{mn-1}$. 定义 $k$ 阶行列式簇 ${\mathcal{M}}_k^{m,n}:=\{[M]\in {\mathbb{P}}^{mn-1}\mid \mathrm{rank}(M)\le k\}$. 这显然是个簇, 其定义多项式为全体 $(k+1)\times (k+1)$ 阶子式的行列式 (显然都是齐次多项式) .

我们来计算行列式簇 ${\mathcal{M}}_k^{m,n}$ 的维数:

对于矩阵 $M\in M_{m\times n}(k)$, 记 $\phi (M)$ 为其对应的线性映射 ${\mathbb{A}}^m\to {\mathbb{A}}^n$. 那么 $[M]\in {\mathcal{M}}_k^{m,n}$ 当且仅当 ${\dim }_k(\ker (\phi (M)))\ge n-k$. 考虑入射面 $I=\{(M,W)\mid W\subset \ker (\phi (M))\}\subset {\mathcal{M}}_k^{m\times n}\times G(n-k,n)$. 我们有 $p^{-1}(W)=\{[M]\in {\mathcal{M}}_k^{m\times n}\mid W\subset \ker \phi (M)\}$. 若 $W=\mathrm{span}(e_1,\cdots ,e_{n-k})$, 则将 $W$ 零化的矩阵 $M\in {\mathcal{M}}_k^{m\times n}$ 可刻画为 $M=(O,M^{\prime })$, 其中 $O$ 是 $m\times n-k$ 阶零矩阵, 而 $M^{\prime }$ 是一个 $m\times k$ 阶矩阵. 如上刻画意味着 $p^{-1}(W)\cong {\mathbb{P}}^{mk-1}$. 由于 $p$ 显然满, 且其每根纤维的维数都是 $mk-1$, 故由 $G(n-k,n)$ 的不可约性, 我们得到了 $I$ 的不可约性以及维数 $\dim I=mk+k(n-k)-1$.

令 $\widetilde{{\mathcal{M}}_k^{m\times n}}={\mathcal{M}}_k^{m\times n}-{\mathcal{M}}_{k-1}^{m\times n}$. 这是 $M_k^{m\times n}$ 的一个开子集, 且对于 $[M]\in \widetilde{{\mathcal{M}}_k^{m\times n}}$, 有 $q^{-1}(M)=\{(M,\ker \phi (M))\}$, 故 $q$ 是一般有限映射, 且纤维都是一元的从而 $k(I)\cong k(M_{{\mathcal{M}}_k^{m\times n}})$, 故 $q$ 是双有理映射, 从而 $\dim {\mathcal{M}}_k^{m\times n}=k(m+n)-k^2-1$.