用户: Solution/ 讲义: 代数几何初步/射影空间与射影代数簇

1射影空间与射影簇

定义 1.1 (射影空间 (Projective Space) ). 在 ${\mathbb{A}}^{n+1}-\{0\}$ 中定义等价关系 “$u\sim v$ 若存在 $\lambda \in k^{\times }$$u=\lambda v$”, 并记 $u$ 所在的等价类为 $u=(x_0:\cdots :x_n)$. 定义 $n$ 维射影空间 ${\mathbb{P}}^n:=\{[u]\mid u\in {\mathbb{A}}^{n+1}-\{0\}\}$.

对于 $k$-线性空间 $E$, 可定义 $\mathbb{P}(E)$ 为 $E$ 穿过原点的所有直线. 显然, 若 $F\subset E$ 是线性空间的包含, 则 $\mathbb{P}(F)\subset \mathbb{P}(E)$.

定义 1.2 (标准开集 (Standard Affine Charts) ). 在 ${\mathbb{P}}^n$ 中定义 $U_i:=\{(x_0:\cdots :x_n)\mid x_i\ne 0\}$. 作为集合 (事实上, 是代数簇间的同构) 有 $U_i\cong {\mathbb{A}}^n$, 其映射由 $(x_0:\cdots :x_n)\mapsto (\frac{x_0}{x_i}:\cdots :\frac{x_{i-1}}{x_i}:\frac{x_{i+1}}{x_i}:\cdots :\frac{x_n}{x_i})$. 故而 ${\mathbb{P}}^n$ 实则可以为 $n+1$ 个 ${\mathbb{A}}^n$ 所覆盖. 事实上, 在建立了 ${\mathbb{P}}^n$ 上的 Zariski 拓扑后, 我们会知道 $U_i$ 都是开集.

在射影空间中定义良定的代数集, 我们需要多项式是齐次的, 也即

定义 1.3 (齐次多项式 (Homogeneous Polynomial) ). 称 $f\in A=k[X_0,\cdots ,X_n]$ 是 $d$ 次齐次多项式, 若 $f(\lambda x_0,\cdots ,\lambda x_n)={\lambda }^{d}f(x_0,\cdots ,x_n)$.

这样的多项式都形如 $f={\sum }_{|I|=d}{a}_I{X}^I$. 且注意到 $f(x)=0$ 与 $f(\lambda x)=0,\forall \lambda \in k^{\times }$ 等价. 故对于射影空间中的点 $x=(x_0:\cdots :x_n)\in {\mathbb{P}}^n$, 记号 $f(x)=0$ 是良定的. 故可以定义射影空间中与代数簇对应的概念.

定义 1.4 (射影簇 (Projective Variety) ). 对于齐次多项式子集 $S\subset k[X_0,\cdots ,X_n]$, 定义 ${\mathbb{P}}^n$ 的子集 $\mathcal{V}(S):=\{(x_0:\cdots :x_n)\mid f(x_0,\cdots ,x_n)=0,\forall f\in S\}$. 称 $\mathcal{V}(S)$ 为射影簇.

今后, ” 代数簇 “指代仿射情形的多项式公共零点集, 而” 射影簇 “则指代射影空间的情形.

我们称由一个齐次多项式定义的射影簇 $\mathcal{V}(S)$ 为超曲面 (hypersurface) . 若 $\mathrm{deg}(F)=n$, 则称 $\mathcal{V}(S)$ 为 $n$ 次曲面.

注 1.5. 上述提到的标准开集 $U_i$ 实则上即 $\mathcal{V}(X_i{)}^c$, 故确实是开集. 且由于映射与逆映射都逆向保持闭集, 故上面定义的 $U_i$ 到 ${\mathbb{A}}^n$ 的双射实际上是同胚.

我们也可以定义齐次理想的概念:

定义 1.6 (齐次理想 (Homegeneous Ideal) ). 称 $I⊲R=k[X_0,\cdots ,X_n]$ 为齐次理想, 若 $I$ 可由齐次多项式生成.

若定义 $R_d:=\{f\mid f齐次，且\mathrm{deg}(f)=d\}$. 显然 $R={⨁}_{n\ge 0}{R}_n$. 那么齐次理想也可以等价地定义为满足 $I={⨁}_{n\ge 0}(R_n\cap I)$ 的理想.

类似于仿射空间中的情形, 我们也可以对每个齐次理想定义 $\mathcal{V}(I)=\{(x_0:\cdots :x_n)\mid f((x_0:\cdots :x_n))=0,\forall f\in I\}$. 且仍具有 $\mathcal{V}(S)=\mathcal{V}(⟨S⟩)$. 这里注意到齐次多项式子集 $S$ 生成的理想是齐次理想.

与仿射情形类似, 射影簇也具有闭集结构, 即:

命题 1.7. 若 $S_i$ 是 $k[X_0,\cdots ,X_n]$ 中由齐次多项式子集, 则

(1)	${\bigcap }_{i\in I}\mathcal{V}(S_i)=\mathcal{V}({\bigcup }_{i\in I}{S}_i)$.
(2)	$V(S_1{S}_2)=V(S_1)\cup V(S_1)$. 注意到齐次多项式全体是乘闭的.

该证明与仿射情形完全类似, 故略去. 需要注意的一点是, ${\mathbb{P}}^n$ 也不是 Hausdorff 空间.

注 1.8. 若 $I$ 是齐次理想, 则 $\sqrt{I}$ 也是. 令 $f=f_k+f_{k+1}+\cdots +f_d$, 其中 $f_i$ 为 $f$ 的 $i$ 次项, 若 $f^m\in I$, 则 $f_d^m$ 正好是 $f^m$ 的 $dm$ 次项. 依定义 $f_d^m\in I$. 故而 $f_d,f-f_d\in \sqrt{I}$. 由归纳, 任意 $f_i$ 均属于 $\sqrt{I}$. 这即是说 $\sqrt{I}$ 是根理想.

这保证了我们可以将 Hilbert 零点定理推广到射影空间的情形上去. 与仿射情形类似, 定义 $\mathcal{I}(V):=\{f齐次\mid f(p)=0,\forall p\in V\}$.

定理 1.9 (射影 Hilbert 零点定理). 假定 $k$ 代数闭, $I$ 是 $k[X_0,\cdots ,X_n]$ 的齐次理想. 那么

(1)	$\mathcal{V}(I)=\varnothing$ 当且仅当存在 $n\in \mathbb{N}$ 使得 $I\supset {\mathfrak{m}}^n$. 其中 $\mathfrak{m}=⟨X_0,\cdots ,X_n⟩$.
(2)	若 $\mathcal{V}(I)\ne \varnothing$, 则 $\mathcal{I}(\mathcal{V}(I))=\sqrt{I}$.

证明. 对于齐次理想, 我们引入仿射锥 (Affine Cone) 的概念: 定义 $\mathcal{C}\mathcal{V}(I)\subset {\mathbb{A}}^{n+1}$ 为 $\mathcal{V}(I)$ 在 ${\mathbb{A}}^{n+1}$ 中对应的簇. 该概念是形象的.

(1)

记投影 $\pi :{\mathbb{A}}^{n+1}\backslash \{0\}\to {\mathbb{P}}^n;(X_0,\cdots ,X_n)\mapsto (X_0:\cdots :X_n)$. 那么事实上, 我们有 $\mathcal{C}\mathcal{V}(I)\backslash \{0\}={\pi }^{-1}(\mathcal{V}(I))$. 那么 $\mathcal{V}(I)=\varnothing$ 等价于 $\mathcal{C}\mathcal{V}(I)\subset \{0\}$. 而由仿射 Hilbert 零点定理, 这即 $\sqrt{I}=\mathfrak{m}$ 或 $\sqrt{I}=k[X_0,\cdots ,X_n]$, 也即存在 $n\in \mathbb{N}$ 使得 $I\supset {\mathfrak{m}}^n$.

(2)

作为齐次理想, 显然具有 $f\mid \mathcal{V}(I)=0$ 当且仅当 $f|\mathcal{C}\mathcal{V}(I)$, 故由仿射 Hilbert 零点定理, 我们有 $\mathcal{I}(\mathcal{V}(I))=\mathcal{I}(\mathcal{C}\mathcal{V}(I))=\sqrt{I}$. $\square$

推论 1.10. 射影 Hilbert 零点定理给出了如下一一对应: $$\begin{array}{rl}\{{\mathbb{P}}^n中的射影簇\}& \stackrel{1:1}{⟷}\{不为\mathfrak{m}的齐次根理想\};\\ V& ⟼\mathcal{I}(V);\\ \mathcal{V}(I)& ⟵I.\end{array}$$

2正则映射

以下假设 $\mathbf{k}$ 代数闭.

定义 2.1 (拟射影簇 (Quasi-projective Variety) ). 射影簇 $V\subset P^n$ 的 Zariski 开子集称为拟射影簇, 即形如 $U^c\cap V$ 的子集, 其中 $U,V$ 都是射影簇.

下文众多命题讲广泛地建立在拟射影簇上, 因为该概念已经包含仿射簇与射影簇.

定义 2.2 (正则函数 (Regular Function) ). 若 $X$ 是一个拟射影簇, 则称 $X$ 上的函数 $f:X\mapsto k$ 在 $p\in X$ 处正则, 若存在次数相等的齐次多项式 $F$ 与 $G$, $G(p)\ne 0$ 使得在 $p$ 的一个开领域 $p\in U\subset X$ 上有 $f(x)=\frac{F(x)}{G(x)}$. 称 $f$ 是 $X$ 上的正则函数, 若 $f$ 在 $X$ 的每点处均正则.

定义 2.3 (正则函数环 (Regular Function Ring) ). 簇 $X$ 上的全体正则函数构成一个环, 记作 $A(X)$. 这个记号与仿射簇情形的坐标环实际上没有冲突. (见下文)

定理 2.4. 若 $X$ 是仿射代数簇, 则 $A(X)$ 中的元素全是多项式. 这即是说 $A(X)=k[X_1,\cdots ,X_n]/\mathcal{I}(X)$ 那么这与第一章定义的坐标环并无矛盾.

证明. 定义嵌入 $\phi :k[X_1,\cdots ,X_n]/\mathcal{I}(X)\hookrightarrow A(X)$. 只需证明这是满射. 对于 $X$ 上的正则函数 $f$, 由于 $X$ 拟紧, 故存在有限个开子集 $U_i$ 使得 ${\bigcup }_{i=1}^m{U}_i=X$, 且 $f{\mid }_{U_i}=\frac{G_i}{H_i}$. 其中 $G_i$ 与 $H_i$ 均是 $A/\mathcal{I}(X)$ 中的多项式, 且 $H_i$ 在 $U_i$ 上取值恒非零. 由定义, $U_i\cap U_j\ne \varnothing$, 且在其上有 $\frac{G_i}{H_i}=\frac{G_j}{H_j}$. 这即是说在 $U_i\cap U_j$ 上有 $G_i{H}_j-G_j{H}_i=0$ 由于 $X$ 不可约, 故 $U_i\cap U_j$ 在 $X$ 中稠密, 故这说明 $G_i{H}_j-G_j{H}_i\in \mathcal{I}(X)$. 由于诸 $H_i$ 在 $X$ 上没有公共零点, 故由 Hilbert 零点定理, 存在 $a_i\in k[X_1,\cdots ,X_n]/\mathcal{I}(X)$, 使得 ${\sum }_{i=1}^n{a}_i{H}_i=1$. 令 $g={\sum }_{i=1}^m{a}_i{G}_i$, 则在 $U_i$ 上, 有 $H_{i}g={\sum }_{j=1}^m{a}_j{H}_i{G}_j=G_i$, 故而 $g{\mid }_{U_i}=\frac{G_i}{H_i}$. 故 $\phi (g)=f$.

$\square$

注 2.5. 上述命题中, $k$ 代数闭的假设是必要的. 取 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R};t\mapsto \frac{1}{1+t^2}$, 则 $f$ 不可能写为多项式.

定义 2.6 (拟射影簇的态射). 若 $X$ 与 $Y$ 是拟射影簇, 则称映射 $\phi :X\to Y$ 正则, 若 $\phi$ 连续, 且对于任意 $Y$ 上的开集 $V$ 以及 $V$ 上的正则函数 $k$, 有 $f\circ \phi :{\phi }^{-1}(V)\to k$ 是 ${\phi }^{-1}(V)$ 上的正则函数. 我们定义拟射影簇间的态射为正则映射

与仿射情形类似, 我们也可以定义两个簇之间的同构.

例 2.7 (Veronese 映射). 定义 $v_d:{\mathbb{P}}^n\to {\mathbb{P}}^{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+d}{n}\right)-1};(x_0:\cdots :x_n)\mapsto (x_0^d:x_0^{d-1}{x}_1:x_0^d{x}_n,\cdots ,x_n^d)$, 其中分量遍历 $k[X_0,\cdots ,X_n]$ 中所有 $d$ 阶齐次多项式. 这是一个正则态射, 且是闭嵌入. 这是因为该映射显然是嵌入, 且像集为 $\mathcal{V}(\{Z_{I_1}{Z}_{I_2}-Z_{I_3}{Z}_{I_4}\mid I_1+I_2=I_3+I_4\})$. 这里 $I_i$ 均是 $n+1$ 元序列 $(i_0,\cdots ,i_n)$, 且 $i_0+\cdots +i_n=d$. 序列的加法为逐点加法. 而 $Z_I:=X_0^{i_0}\cdots X_n^{i_n}$.

3有理映射

定义 3.1 (有理映射 (Rational Map) ). 设 $X$ 与 $Y$ 是拟射影簇. 所谓有理映射即下述等价类: 对于 $X$ 中的稠密开集 $U$ 以及正则映射 $f_U:U\to Y$, 称 $(U,f_U)\sim (V,f_V)$, 若在 $U\cap V$ 上有 $f_U=f_V$. 有理映射记为 $f:X⇢Y$.

上述等价类确实是一个映射, 因为其在每个点上的取值都是良定义的. 我们可以在 $X$ 中找到有理映射 $f:X⇢Y$ 的最大定义域 (是个开集)

例 3.2. 令映射 $f:{\mathbb{P}}^2\to {\mathbb{P}}^1;(x:y:z)\mapsto (x:y)$, 则该映射在 $(0:0:1)$ 处无法定义, 故而不是簇的正则映射. 但其在别处都可定义, 且在任一点 $p\ne (0:0:1)$, $U={\mathbb{P}}^2-(0:0:1)$ 都是 $f$ 可定义其上的 $p$ 的开邻域. 故 $f$ 是有理映射.

定义 3.3 (有理函数 (Rational Function) ). 设 $X$ 是拟射影簇, 则有理映射 $f:X\mapsto {\mathbb{A}}^1=k$ 被称为有理函数.

显然, 簇 $X$ 上的所有有理函数构成一个环, 记为 $k(X)$. 这里有理映射的加法与乘法分别由 $(U,f)+(V,g)=(U\cap V,f+g)$ 与 $(U,f)\cdot (V,g)=(U\cap V,fg)$ 给出.

命题 3.4. 设 $X$ 是拟射影簇.

(1)	对于 $X$ 的稠密开子集 $U$, 有 $k(X)=k(U)$.
(2)	若 $X$ 不可约, 则 $k(X)$ 是域.
(3)	若 $X$ 是仿射代数簇, 则 $k(X)=\mathrm{Frac}(A(X))$.

证明.

(1)	定义 $\phi :k(X)\mapsto k(U);[(V,f_V)]\mapsto [(V\cap U,f_V{\mid }_{V\cap U})]$. 这显然良定义, 且是满射. 且若 $\phi ([V,f_V])=0$, 则对于 $f_V\mid (U\cap V)=0$. 由于 $U\cap V$ 在 $V$ 中稠密, 故 $f_V=0$, 则依定义有 $[V,f_V]=[X,0]$ 为 $k(X)$ 的零元.
(2)	若 $(U,f_U)$ 是 $X$ 中的非零元, 则 $D(f_U)=(\mathcal{V}(f_U){)}^c$ 是 $X$ 的开子集, 故稠密, 则 $(D(f_U),\frac{1}{f_U{\mid }_{D(f_U)}})$ 是 $(U,f_U)$ 的逆元.
(3)	由定理 2.14 知有嵌入 $A(X)\hookrightarrow k(X);f\mapsto (X,f)$. 故由分式域的泛性质知有嵌入 $\mathrm{Frac}(A(X))\hookrightarrow K(X)$. 只需证明满. 若 $f:U\to k$ 是正则函数, 其中 $U$ 开, 则存在 $h\in A(X)$ 使得 $D(h)\subset U$. 由于 $D(h)$ 是仿射的, 故 $f$ 在 $D(h)\cap U$ 上是有理函数 (即可写为多项式的商) , 故 $(f,U)$ 是 $f{\mid }_{D(h)\cap U}$ 的像. $\square$

注 3.5. 对 ${\mathbb{P}}^n$ 中的不可约拟射影簇, 其上的有理映射 $f:X\to {\mathbb{P}}^m$ 可由 $x\mapsto (F_0(x),\cdots ,F_m(x))$ 表出, 其中 $F_i$ 是齐次多项式. 且 $f$ 在 $\mathcal{V}(F_0,\cdots ,F_m)$ 外正则.

定义 3.6 (支配有理映射). 称有理映射 $f:X⇢Y$ 是支配的, 若 $f$ 可被一个支配态射表出.

注 3.7. 一般来说, 两个有理映射的复合不一定能做复合, 但两个支配有理映射可以做复合. 若 $\varphi :X⇢Y$ 与 $\phi :Y⇢Z$ 是两个支配有理映射, 且由 $(U,{\varphi }_U)$ 与 $(V,{\phi }_V)$, 其中 $U\subset X$, $V\subset Y$. 定义 $W:=U\cap {\varphi }^{-1}(V)$, 则 $\phi \circ \varphi =(W,{\phi }_V\circ {\varphi }_U)$. 事实上, 只需要 $\varphi$ 是有理映射即可.

事实上, 我们有如下范畴的反变等价:

定理 3.8. 若 $X$ 与 $Y$ 是两个不可约拟射影簇, 则存在$$\{支配有理映射\varphi :X⇢Y\}$$与$$\{k\text{-}代数嵌入{\phi }^{\ast }:k(Y)\to k(X)\}$$间的一一对应.

证明. 若 $\theta :k(Y)\to k(X)$ 是 $k$-代数嵌入, 我们要以 $\theta$ 定义一个 $X$ 到 $Y$ 的有理映射 $\tau$ 使得 ${\tau }^{\ast }=\theta$. 由于 $Y$ 总能被仿射簇覆盖, 故我们不妨设 $Y$ 仿射. 令 $A(X)=k(X_1,\cdots ,X_m)$, 而 $A(Y)=k(Y_1,\cdots ,Y_n)$, 则 $\theta (y_i)=\frac{a_i}{b_i}$, 其中 $a_i,b_i\in k[X_1,\cdots ,X_m]$, 那么我们有正则映射 $\tau :U=X-\mathcal{V}(b_1,\cdots ,b_n)\to Y;p\mapsto (\frac{a_1}{b_1}(p),\cdots ,\frac{a_n}{b_n}(p))$. 由于 ${\tau }^{\ast }=\theta$, 且 $\theta$ 单, 故 $\tau$ 是支配态射, 从而 $(U,\tau )$ 是所求的有理映射.

反之, 若支配有理映射 $\varphi :X⇢Y$ 由 $(U,{\varphi }_U)$ 表出, 则令 $f\in k(Y)$ 为有理函数, 由 $(V,f)$ 表出, 则 ${\varphi }_U(U)$ 在 $Y$ 中稠密, 故 ${\varphi }_U(U)\cap V\ne \varnothing$, 故 ${\varphi }_U^{-1}(V)\ne \varnothing$. 故 $f\circ {\varphi }_U$ 是 ${\varphi }_U^{-1}(V)$ 上的正则函数, 那么 $({\varphi }_U^{-1}(V),f\circ {\varphi }_U)$ 是 $X$ 上的有理函数, 故 ${\varphi }^{\ast }$ 是良定的. 而 $\varphi \mapsto {\varphi }^{\ast }$ 是单的, 这是因为若 ${\varphi }^{\ast }={\phi }^{\ast }$, 则对于任意 $f\in k(Y)$, 假定由 $(W,f)$ 表出, 则 $f\circ \varphi =f\circ \phi$. 若 $\varphi$ 与 $\phi$ 分别由 $(U,{\varphi }_U)$ 与 $(V,{\phi }_V)$, 则令 $f$ 是坐标函数, 那么 ${\varphi }_U$ 与 ${\phi }_V$ 在 $U\cap V$ 上一致, 故 $\varphi =\phi$.

$\square$

代数几何的一个初始任务是在同构意义下分类所有的代数簇. 但这则任务过于困难. 但是人们在稍弱一点的等价关系下给出了部分分类. 这个弱一些的条件是 “双有理等价”.

定义 3.9 (双有理等价 (Birational Equivalence) ). 对于拟射影簇 $X$ 与 $Y$, 称它们双有理等价, 若存在有理映射 $\phi :X⇢Y$ 与 $\varphi :Y⇢X$ 使得作为有理映射, 有 $\phi \circ \varphi ={\mathrm{id}}_Y$ 且 $\varphi \circ \phi ={\mathrm{id}}_X$.

关于双有理等价, 有如下令人振奋的刻画.

定理 3.10. 对于拟射影簇 $X$ 与 $Y$, 则 TFAE

(1)	拟射影簇 $X$ 与 $Y$ 双有理等价.
(2)	存在开子集 $U\subseteq X$ 与 $V\subseteq Y$ 满足 $U$ 与 $V$ 同构.
(3)	存在 $k$ 代数同构 $K(X)\cong K(Y)$.

证明.

(1) $\Rightarrow$ (2)	令 $\phi :X⇢Y$ 与 $\varphi :Y\to X$ 为对应的双有理映射. 令 $\phi$ 的代表元为 $(U,\phi )$, 而 $\varphi$ 的代表元为 $(V,\varphi )$, 那么 $\varphi \circ \phi$ 可由 $({\phi }^{-1}(V),\varphi \circ \phi )$ 表出. 由于 $\varphi \circ \phi ={\mathrm{id}}_X$, 故 $\varphi \circ \phi$ 在 ${\phi }^{-1}(V)$ 上是恒等映射. 类似地, $\phi \circ \varphi$ 在 ${\varphi }^{-1}(U)$ 上也是恒等映射. 故我们取 $X$ 中的开集 ${\phi }^{-1}({\varphi }^{-1}(U))$ 与 $Y$ 中的开集 ${\varphi }^{-1}({\phi }^{-1}(V))$, 这就是我们所求的开集.
(2) $\Rightarrow$ (3)	由于此时 $k(X)=k(U)\cong k(V)=k(Y)$.
(3) $\Rightarrow$ (1)	这直接是由于上面的范畴等价. $\square$

对于拟射影簇, 由于其不一定能嵌入仿射空间, 所以我们通常不能用仿射空间的性质直接研究它们. 但是以下命题告诉我们, 我们可以局部地认为它们是处于仿射空间中的.

引理 3.11. 若 $Y$ 是 ${\mathbb{A}}^n$ 中的超曲面, 且 $Y=\mathcal{V}(F)$, 则 ${\mathbb{A}}^n-Y$ 同构于 ${\mathbb{A}}^{n+1}$ 中的超曲面 $H=\mathcal{V}(X_{n+1}F-1)$. 从而, $A({\mathbb{A}}^n-Y)=k[X_1,\cdots ,X_n{]}_f$.

证明. 令 $\pi :{\mathbb{A}}^{n+1}\to {\mathbb{A}}^n$ 是前 $n$ 个分量的投影, 而 $\phi :{\mathbb{A}}^n⇢{\mathbb{A}}^{n+1};(X_1,\cdots ,X_n)\mapsto (X_1,\cdots ,X_n,\frac{1}{f(X_1,\cdots ,X_n)})$. 注意到限制在 $\phi$ 与 $\pi$ 的定义域与值域都限制在 ${\mathbb{A}}^n-Y$ 与 $H$ 上时, 它们都是正则映射 (*) , 且是互逆的. 而 $A({\mathbb{A}}^n-Y)=A(H)=k[X_1,\cdots ,X_{n+1}]/⟨X_{n+1}F-1⟩\cong k[X_1,\cdots ,X_n{]}_f$.

$\square$

定理 3.12. 若 $X$ 是拟射影簇, 则 $X$ 中的全体仿射开集构成 $X$ 的拓扑基.

证明. 若 $p\in X$ 且开集 $p\in U\subset X$, 则由于 $U$ 也是拟射影簇, 故不妨认为 $U=X$. 由于 $X$ 可被 $\{U_i\cap X\}$ 覆盖, 其中 $U_i$ 是标准开集, 我们可以认为 $X$ 是拟代数簇, 即代数簇的开子集. 令 $Y=\overline{X}-X$, 那么 $Y$ 是 ${\mathbb{A}}^n$ 中的闭集. 故我们可以找到 $f\in \mathcal{I}(Y)$ 使得 $f(p)\ne 0$. 令 $H=\mathcal{V}(f)$, 则 $Y\subset H$ 且 $p\notin H$. 故 $p\in X-X\cap H$, 而这是 $Y$ 中的开子集, 由引理, 也是 ${\mathbb{A}}^n-H$ 中的闭子集, 故是仿射的. 故 $p\in X-X\cap H\subset X$.

$\square$

最后我们给出一个有趣且常用的结论: 对不可约簇的刻画. 这个技术手段将使我们能够由一般的拟射影簇化为超曲面来研究.

命题 3.13. 若 $X$ 是不可约拟射影簇, 且 $\mathrm{trdeg}(K(X)/k)=r$, 即 $\dim X=r$, 则 $X$ 与 ${\mathbb{P}}^{r+1}$ 中的某个超曲面 $Y$ 双有理等价.

证明. 令 $k(X)$ 的一组可分超越基为 $X_1,\cdots ,X_r$, 且 $k(X)/k(X_1,\cdots ,X_r)$ 是有限扩张可分. 由本原元定理, 存在 $y\in k(X)$, 使得 $k(X)=k(X_1,\cdots ,X_r)(y)$. 令 $y$ 在 $k(X_1,\cdots ,X_r)$ 上的极小多项式为 $f=a_0+a_{1}Y\cdots +a_l{Y}^l$, 其中 $a_i=\frac{g_i}{h_i}$, 且 $g_i,h_i\in k[X_1,\cdots ,X_r]$. 令 $h=h_1\cdots h_l$, 则 $fh=k[X_1,\cdots ,X_r,Y]$. 那么令 $H=\mathcal{V}(fh)$, 则 $k(H)=A(H)=k[X_1,\cdots ,X_r,Y]/⟨fh⟩\cong k[X_1,\cdots ,X_r,y]=A(X)=k(X)$. 故 $H$ 与 $X$ 是双有理等价.

$\square$

4乘积簇

对于簇 $X$ 与 $Y$, 我们可以赋予 $X\times Y$ 一个拟射影簇的结构.

命题 4.1 (Segre 嵌入). 定义 Segre 映射$$\begin{array}{rl}{\mathcal{S}}_{m,n}:{\mathbb{P}}^m\times {\mathbb{P}}^n& \to {\mathbb{P}}^{(m+1)(n+1)-1}={\mathbb{P}}^{mn+m+n};\\ ((X_0:\cdots :X_m),(Y_0,\cdots ,Y_n))& \mapsto (X_0{Y}_0:\cdots :X_0{Y}_n:X_1{Y}_0:\cdots :X_1{Y}_n:\cdots :X_m{Y}_0:\cdots :X_m{Y}_n).\end{array}$$Segre 映射是单射, 且其像闭.

证明. 若 $(p,q),(p^{\prime },q^{\prime })\in {\mathbb{P}}^m\times {\mathbb{P}}^n$, 其中 $p=(x_0:\cdots :x_m)$, $q=(y_0:\cdots :y_n)$, $p^{\prime }=(x_0^{\prime }:\cdots :x_m^{\prime })$, $q^{\prime }=(y_0^{\prime }:\cdots :y_n^{\prime })$. 不妨设 $x_i,y_j\ne 0$, 则若 $x_i^{\prime }=0$ 或 $y_j^{\prime }=0$, 则有 $x_i^{\prime }{y}_j^{\prime }=0$, 但 $x_i{y}_j\ne 0$, 故 ${\mathcal{S}}_{m,n}((p,q))\ne {\mathcal{S}}_{m,n}((p^{\prime },q^{\prime }))$. 故乘以适当系数后, 我们可以假设 $x_i=x_i^{\prime }=y_j=y_j^{\prime }=1$. 由于 $(p,q)\ne (p^{\prime },q^{\prime })$, 故存在 $x_k\ne x_k^{\prime }$. 故 $x_i{y}_j=x_i^{\prime }{y}_j^{\prime }$ 但 $x_k{y}_j\ne x_k^{\prime }{y}_j^{\prime }$. 这即说明 ${\mathcal{S}}_{m,n}((p,q))\ne {\mathcal{S}}_{m,n}((p^{\prime },q^{\prime }))$.

关于像闭, 注意到 ${\mathcal{S}}_{m,n}({\mathbb{P}}^m\times {\mathbb{P}}^n)=\mathcal{V}({\bigcup }_{M为T的二阶子式}\det (M))$. 其中 $T=(Z_{ij}{)}_{1\le i\le m,1\le j\le n}$.

$\square$

为了让上述单射变为嵌入, 我们定义 ${\mathbb{P}}^m\times {\mathbb{P}}^n$ 上的拓扑结构为 ${\mathcal{S}}_{m,n}({\mathbb{P}}^m\times {\mathbb{P}}^n)$ 同构 Segre 映射的诱导拓扑. 这赋予了 ${\mathbb{P}}^m\times {\mathbb{P}}^n$ 上的簇结构, 称赋予该结构的 ${\mathbb{P}}^m\times {\mathbb{P}}^n$ 为乘积簇.

例 4.2. 取 $m=n=1$, 则该映射即为$$\begin{array}{rl}{\mathbb{P}}^1\times {\mathbb{P}}^1& \to {\mathbb{P}}^3;\\ ((X_0:X_1),(Y_0:Y_1))& \mapsto (X_0{Y}_0:X_0{Y}_1:X_1{Y}_0:X_1{Y}_1).\end{array}$$

注 4.3. 对于 Segre 嵌入的一种简单看法是两个空间的射影空间乘积到其张量积的射影空间的乘积的映射, 即$$\phi :\mathbb{P}(V)\times \mathbb{P}(W)\to \mathbb{P}(V\otimes W);([v],[w])\mapsto ([v\otimes w]).$$

定义 4.4 (双齐次多项式 (Bihomogeneous Polynomial) ). 称多项式 $f\in k[X_0,\cdots ,X_m,Y_0,\cdots ,Y_n]$ 为双齐次多项式, 若 $f(\lambda X_0,\cdots ,\lambda X_m,\mu Y_0,\cdots ,\mu Y_n)={\lambda }^d{\mu }^{e}f(X_0,\cdots ,X_m,Y_0,\cdots ,Y_n)$, 次数记为 $(d,e)$. 这类多项式形如 ${\sum }_{|I|=d,|J|=e}{a}_{I,J}{X}^I{Y}^J$.

我们可以用双齐次多项式来刻画 ${\mathbb{P}}^m\times {\mathbb{P}}^n$ 上的拓扑结构.

命题 4.5. 乘积簇 ${\mathbb{P}}^m\times {\mathbb{P}}^n$ 上的闭集恰好是双齐次多项式的公共零点集.

证明. 由于 ${\mathbb{P}}^m\times {\mathbb{P}}^n$ 中的闭集形如 ${\mathcal{S}}_{m,n}^{-1}(\mathcal{V}(F_1,\cdots ,F_k))$, 其中 $F_i\in k[Z_{00},\cdots ,Z_{mn}]$, 且记 $d_i=\mathrm{deg}{F}_i$. 那么 $F_i\circ S_{m,n}$ 是一个双齐次多项式, 次数为 $(d_i,d_i)$. 那么 ${\mathcal{S}}_{m,n}^{-1}(\mathcal{V}(F_1,\cdots ,F_k))=\mathcal{V}(F_1\circ {\mathcal{S}}_{m,n},\cdots ,F_k\circ {\mathcal{S}}_{m,n})$.

反之, 若 $G_k$ 是一族双齐次多项式, 并记次数为 $(d_k,e_k)$, 那么 $\mathcal{V}(\{G_k\})=\mathcal{V}(\{X_0^{e_k}\cdots X_m^{e_k}{Y}_0^{d_k}\cdots Y_n^{d_k}{G}_k\})$, 且 $X_0^{e_k}\cdots X_m^{e_k}{Y}_0^{d_k}\cdots Y_n^{d_k}{G}_k$ 是 $d_k+e_k$ 次的齐次多项式. 故而 $X_0^{e_k}\cdots X_m^{e_k}{Y}_0^{d_k}\cdots Y_n^{d_k}{G}_k$ 可写为以诸 $X_i{Y}_j$ 为变元的多项式, 记作 $g_k$. 那么 $\mathcal{V}(\{G_k\})={\mathcal{S}}_{m,n}^{-1}(\mathcal{V}(\{g_k\}))$.

$\square$

注 4.6. 乘积簇的拓扑并不是乘积拓扑. 事实上, 它比乘积拓扑更细. 考虑对角线 $\Delta \subset {\mathbb{P}}^n\times {\mathbb{P}}^n$. 在乘积簇的意义下 $\Delta =\mathcal{V}(X_0-Y_0,\cdots ,X_n-Y_n)$ 是闭集. 但由于 ${\mathbb{P}}^n$ 不是 Hausdorff 的, 故 $\Delta$ 在乘积拓扑下不闭.

我们可以证明: 若 $X\subset {\mathbb{P}}^m$, $Y\subset {\mathbb{P}}^{\mathbb{n}}$ 都是射影簇, 则 $X\times {\mathbb{P}}^n$, ${\mathbb{P}}^m\times Y$, $X\times Y$ 都是 ${\mathbb{P}}^m\times {\mathbb{P}}^n$ 的闭子集. 这是由于 $X\times {\mathbb{P}}^n=\mathcal{V}(\mathcal{I}(X))$.

注 4.7. 拟射影簇, 的乘积仍是拟射影簇. 考虑射影簇 $X$ 与 $Y$, 令它们分别是射影簇 $U$ 与 $V$ 的开子集, 那么 $U\times V$ 仍然是射影簇, 而 $X\times Y$ 在 $U\times V$ 中开.

注 4.8. 对于仿射空间, 在左式为乘积簇, 右式为 Zariski 拓扑的意义下, ${\mathbb{A}}^m\times {\mathbb{A}}^n={\mathbb{A}}^{m+n}$. 这只需考虑 ${\mathbb{A}}^m={\mathbb{P}}^m\backslash \mathcal{V}(X_0)$ 与 ${\mathbb{A}}^n={\mathbb{P}}^n\backslash \mathcal{V}(Y_0)$. 此时, ${\mathbb{A}}^m\times {\mathbb{A}}^n$ 中的子簇的定义多项式形如 $F_i(X,Y)$. 但在射影空间中, 取 $X_0=Y_0=1$, 则零点集没有发生任何改变. 反之, 对于 $F\in k[X_1,\cdots ,X_m,Y_1,\cdots ,Y_n]$, 可对其进行齐次化. 齐次化即 ${\sum }_{I,J}{a}_{I,J}{X}^I{Y}^J\Rightarrow {\sum }_{I,J}{a}_{I,J}{X}_0^{d-|I|}{X}^I{Y}_0^{e-|J|}{Y}^J$, 其中 $d=\max \{I\}$, $e=\max \{J\}$.

定义 4.9 (图像 (Graph) ). 若 $\phi :X\to Y$ 是簇的态射, 则称 $X\times Y$ 的子集 $\Gamma :=\{(x,\phi (x))\mid x\in X\}$ 为 $\phi$ 的图像.

命题 4.10. 若 $\phi :X\to {\mathbb{P}}^n$ 是拟射影簇的态射, 图像 $\Gamma$ 是一个拟射影簇, 且与 $X$ 同构.

证明. 这是因为 $\Gamma =(\phi \times {\mathrm{id}}_{{\mathbb{P}}^n}{)}^{-1}(\Delta )$. 且 ${\mathrm{id}}_{{\mathbb{P}}^n}\times \phi$ 与 ${\pi }_X$ 定义了 $X$ 与 $\Gamma$ 的同构.

$\square$

注 4.11. 后文中时常会用到这么一个技巧: 对于拟射影簇的态射 $\phi :X\mapsto Y\subset {\mathbb{P}}^n$, 以 $\phi$ 的图像代替 $X$. 这样, 我们有如下交换图: 而上述命题实则为这个技巧提供了保障.

5爆破

情形: ${\mathrm{Bl}}_0{\mathbb{A}}^n$

令 $O=(1:0:\cdots :0)\in {\mathbb{P}}^n$. 则 $\pi :{\mathbb{P}}^n\to {\mathbb{P}}^{n-1};(x_0:\cdots :x_n)\mapsto (x_1:\cdots :x_n)$ 是一个支配有理映射, 且 ${\pi }_O$ 在 ${\mathbb{P}}^n\backslash \{O\}$ 上正则.

但是其在零点处无法定义.

为了修补这个 bug, 我们定义 ${\mathbb{P}}^n\times {\mathbb{P}}^{n-1}$ 中的簇 $\mathcal{V}(\{X_i{Y}_j-Y_i{X}_j\mid 1\le i,j\le n\})$. 我们把这个簇记为 ${\mathrm{Bl}}_0{\mathbb{P}}^n$, 并注意到形如 $((x_0:\cdots :x_n),(x_1:\cdots :x_n))$ 的元素均列其中. 换句话说, $\pi$ 在 ${\mathbb{P}}^n-O$ 上的图像均在 ${\mathrm{Bl}}_O{\mathbb{P}}^n$ 中. 但这不是其中的全部内容.

考虑如下投影: 一些基本的观察是, 对于 $a\in {\mathbb{P}}^n-O$, 我们有 $p^{-1}(a)$ 都是单点, , 但对于 $O$, 我们发现 ${\pi }_{{\mathbb{P}}^n}^{-1}(O)$ 中 ${\mathbb{P}}^{n-1}$ 上的分量可取任意值. 这即意味着 ${\pi }_{{\mathbb{P}}^n}^{-1}(O)=O\times {\mathbb{P}}^{n-1}$.

事实上, $p$ 是 ${\mathbb{P}}^n$ 与 ${\mathrm{Bl}}_O{\mathbb{P}}^n$ 间的双有理等价. 这是因为 $p$ 建立了 ${\mathbb{P}}^n-O$ 至 ${\mathrm{Bl}}_O{\mathbb{P}}^n-O\times {\mathbb{P}}^{n-1}$ 之间的同构, 而两者均是相应空间的稠密开集.

再考虑 $q$. 对于 $b\in {\mathbb{P}}^{n-1}$, 令 $b=(b_1:\cdots :b_n)$, 则若 $q((x_0:x_1:\cdots :x_n),(x_1:\cdots :x_n))=b$, 则 $(b_1:\cdots :b_n)=(x_1:\cdots :x_n)$. 那么一共有两种情形. 一种是 $(x_0,\cdots ,x_n)\ne O$ 时, 这时原像为 $((t:b),b)$. 另一种情形是 $(x_0,\cdots ,x_n)=O$, 那么这时原像为 $(O,b)$. 换句话说, $q^{-1}(b)=\overline{Ob}\times b$, 其中 $\overline{Ob}$ 是连接 $O$ 与 $(0:b)$ 的直线. 再换句话说, $p^{-1}(b)\cong {\mathbb{P}}^1$.

若 $V_i$ 是 ${\mathbb{P}}^{n-1}$ 中的标准开集, 则 $q^{-1}(V_i)$ 也同构于 $V_i\times {\mathbb{P}}^1$. 这个证明与计算 $p^{-1}(b)$ 的证明完全是一回事, 这里就不重复了.

上述对象 ${\mathrm{Bl}}_O{\mathbb{P}}^n$ 与 ${\mathbb{P}}^n$ 双有理等价, 且从这个对象出发, 在 ${\mathbb{P}}^n$ 分量上就可以取 $O$ 这个点了. 这相当于是把不好的点通过某种双有理等价给 “炸掉”, 故得名 “爆破 (Blowing Up) ”.

更一般地, 我们可以对 ${\mathbb{P}}^n$ 中的拟射影簇 $X$ 爆破. 对于 $z_0\in X$, 我们可以构造 $X$ 在 $z_0$ 处的爆破为 ${\mathrm{Bl}}_{z_0}X:=\overline{p^{-1}(X-z_0)}$. 自然, 我们也可以对 ${\mathbb{A}}^n$ 中的原点 $O$ 爆破, 也可以对 ${\mathbb{A}}^n$ 中的任何子簇中的点进行爆破. 爆破常常会带来好的性质. 我们来看一些例子.

例 5.1. 令椭圆曲线 $C=\mathcal{V}(Y^2-X^2-X^3)\subset {\mathbb{A}}^2$, 则 $C$ 上的奇点为 $z_0=(0,0)$ (参见光滑性章节) . 我们计算 $C$ 在 $z_0$ 处的爆破. 令 ${\mathbb{P}}^1$ 中的齐次坐标为 $S,T$ 由定义, ${\mathrm{Bl}}_{z_0}{\mathbb{A}}^2=\mathcal{V}(XT-YS)$. 那么 ${\mathrm{Bl}}_{z_0}C\subset {\mathbb{A}}^2\times {\mathbb{P}}^1$ 就由两个方程 $Y^2-X^2-X^3$ 与 $XT-YS$ 定义.

若 $S\ne 0$, 则我们可认为 $S=1$. 此时, 爆破的这部分由方程$$\{\begin{array}{rl}{Y}^2& =X^2+X^3\\ Y& =XT\end{array}$$定义, 化简即 $X^2{T}^2-X^2(X+1)=0$. 这个对象有两个不可约分支组成: 一个是 $X=Y=0$, 而 $T$ 任意, 即 $((0,0),(1:T))$. 另一部分是 $X\ne 0$, 即 $((T^2-1,T^3-T),(1:T))$. 这两部分相交于 $T=\pm 1$ 时的两点, 而这两点正好是 $z_0$ 的原像. 在原本的曲线 $C$ 中, $z_0$ 是二重点, 形象来说就是打结的点. 但在爆破处理后, 它变成了两个单重点.

而 $S=0$ 的部分相当简单. 这部分由$$\{\begin{array}{rl}{Y}^2& =X^2+X^3\\ 0& =XT\end{array}$$定义. 而 $S=0$ 意味着 $T\ne 0$, 故 $X=0$, 从而 $Y\ne 0$. 故这部分的内容即 $((0,0),(0,T))$, 其中 $T\ne 0$. 注意到 $T=0$ 时, ${\mathbb{A}}^2$ 分量上刚好时原来的椭圆曲线 $C$, 也意味着不好的性质. 但射影空间将这种情况拒之门外了. 故而爆破后, 我们得到了与原对象双有理等价, 但性质更好的东西.

例 5.2. 考虑射影空间 ${\mathbb{P}}^2$ 的有理自映射 $\phi :{\mathbb{P}}^2⇢{\mathbb{P}}^2;(X,Y,Z)\mapsto (YZ,XZ,XY)$. 注意到 ${\phi }^2=\mathrm{id}$, 故 $\phi$ 是 ${\mathbb{P}}^2$ 的双有理自等价. 这个映射在除了 $p_1=(1:0:0)$, $p_2=(0:1:0)$ 与 $p_3=(0:0:1)$ 外的地方都是正则映射.

上述例子中, 如果将有理映射限制为正则映射, 则 ${\mathbb{P}}^2$ 的自同构群正好是 $\mathrm{Aut}({\mathbb{P}}^2)={\mathrm{PGL}}_3(k)$. 但如果考虑双有理映射, 那这个群显然大得多, 且包含自同构群. 我们记 ${\mathbb{P}}^2$ 上的双有理自同构全体记作 $\mathrm{Bir}({\mathbb{P}}^2)$.

人类已经证明了以下结论:

定理 5.3 (Max $\cdot$ Noether, Castelnoro). 双有理自映射群 $\mathrm{Bir}({\mathbb{P}}^2)=⟨\mathrm{Aut}({\mathbb{P}}^2),\phi ⟩$. 其中 $\phi$ 是上述例子中的双有理映射. 且其中元素形如 ${\varphi }_1\circ \phi \circ {\varphi }_2\circ \phi \circ \cdots \circ {\varphi }_l\circ \phi$. 其中 ${\varphi }_i$ 均是双有理映射.

这个群被称为 Cremona 群, 但是这个群的生成关系异常复杂, 导致人类现在也没有完全搞清. 而对于 $n\ge 3$, 群 $\mathrm{Bir}({\mathbb{P}}^n)$ 更是连生成元都没搞清, 是代数几何悬而未决的问题之一.

沿着闭子簇爆破

现在, 我们尝试对仿射代数簇 $X$ 的一个闭子簇 $Z$ 进行爆破. 我们仿照 ${\mathrm{Bl}}_0{\mathbb{A}}^n$ 的情形. 首先将 $Z$ 写为 ${\mathcal{V}}_X(f_1,\cdots ,f_r)$, 那么 $U=X\backslash \mathcal{V}(f_1,\cdots ,f_r)$ 是 ${\mathbb{A}}^n$ 的稠密开集. 如此一来, 我们可以定义映射$$f:X\to {\mathbb{P}}^{r-1};x\mapsto [f_1(x):\cdots :f_r(x)].$$这是一个有理映射, 且最大定义域恰为 $U$. 我们考虑 $f$ 的图像$${\Gamma }_f=\{(x,f(x))\mid x\in U\}\subset U\times {\mathbb{P}}^{r-1}.$$这与 $U$ 是同构的, 且在 $U\times {\mathbb{P}}^{r-1}$ 中闭, 但在 $X\times {\mathbb{P}}^{r-1}$ 未必是闭的. 我们定义 ${\Gamma }_f$ 在 $X\times {\mathbb{P}}^{r-1}$ 中的闭包$$\tilde{X}=\overline{{\Gamma }_f}$$为 $X$ 在 $Z$ 处的爆破.

我们定义往 $X$ 分量上的投影$$\pi :\tilde{X}\to X.$$与 ${\mathrm{Bl}}_0{\mathbb{A}}^n$ 的情形一样, $\pi$ 限制在 ${\Gamma }_f$ 上是同构. 而在补集 $\tilde{X}\backslash {\Gamma }_f$ 上, $\pi$ 一般不再是同构. 我们将 ${\mathrm{Exc}}_f:=\tilde{X}\backslash {\Gamma }_f$ 称为爆破 $\tilde{X}$ 的例外集.

如果 $X$ 是不可约的, 那么 $U$ 是 $X$ 的稠密开集, 进而 $\pi$ 是 $\tilde{X}$ 与 $X$ 间的双有理等价. 而若 $X$ 是一般的代数簇, 那么考虑 $X$ 的不可约分解 $X=X_1\cup \cdots \cup X_m$. 那么由闭包与有限并交换, 得 $\tilde{X}={\tilde{X}}_1\cup \cdots \cup {\tilde{X}}_m$. 故我们只需考虑 $X$ 不可约的情形即可.

定理 5.4 (小平邦彦). 若 $f:X⇢Y$ 是簇之间的有理映射, 则存在一系列爆破 (记复合为 $\mu :\tilde{X}\to X$), 使得 $f\circ \mu :\tilde{X}\to Y$ 是正则映射.

6完备性

定义 6.1 (完备性 (Completeness) ). 称一个拟射影簇 $X$ 是完备的, 若对于任何拟射影簇 $Y$, 投影$${\pi }_Y:X\times Y\to Y$$是闭映射.

定理 6.2. 射影簇都是完备的. 这即是说对于射影簇 $X$ 以及任何拟射影簇 $Y$, 投影 $\pi :X\times Y\to Y$ 是闭映射.

证明. 先证明 $X={\mathbb{P}}^1$ 与 $Y={\mathbb{P}}^n$ 的情形. 欲证明 $Z\subset {\mathbb{P}}^1\times {\mathbb{P}}^n$ 是闭子集时, $\pi (Z)$ 也闭. 令 $\overline{F}$ 是 $F$ 的去齐次化, 即对任意 $F\in \mathcal{I}(Z)$, 定义 $\overline{F}=F(X_0,\cdots ,X_n,1,Y)$. 令 $F_1,F_2$ 为两个双齐次多项式, 且次数为 $(s_1,d_1)$ 与 $(s_2,d_2)$. 令 $\mathcal{R}(\overline{F_1},\overline{F_2})$ 为 $\overline{F_1}$ 与 $\overline{F_2}$ 的结式. 我们断言 $\mathcal{I}(\pi (Z))=\sqrt{⟨\mathcal{R}(\overline{F_1},\overline{F_2})\mid F_1,F_2\in \mathcal{I}(Z)⟩}$. 记右边为 $I$. 这里注意到 $\mathcal{R}(\overline{F_1},\overline{F_2})$ 是与 $Y$ 无关的.

首先, $\pi (Z)\subset \mathcal{V}(I)$. 若 $x\in \pi (Z)$, 则存在 $y_0,y_1\in k$, 使得 $(x,(y_0:y_1))\in Z$.

(1)	若 $y_0=0$, 则对于任意双齐次多项式 $F\in \mathcal{I}(Z)$, 有 $F(x,0,y_1)=0$, 记 $F=a_0(X)Y_0^e+a_1(X)Y^{e-1}{Y}_1+\cdots +a_d(X)Y_1^e$. 由于 $y_1\ne 0$, 我们有 $a_d(x)=0$. 故 $\mathcal{R}(\overline{F_1},\overline{F_2})(x)$ 的最后一列为 $0$, 即 $\mathcal{R}(\overline{F_1},\overline{F_2})(x)=0$.
(2)	若 $y_0\ne 0$, 则不妨设 $y_0=1$. 此时 $(x,(1:y_1))\in Z$, 那么 $y_1$ 是 $\overline{F}(x,Y)$ 的公共零点, 其中 $F$ 取遍 $I$ 中的齐次多项式. 故 $x$ 是任意结式 $\mathcal{R}(\overline{F_1},\overline{F_2})$ 的零点.

综上, 我们有 $\pi (Z)\subset \mathcal{V}(I)$.

其次, $\pi (Z)\supset \mathcal{V}(I)$. 若 $x\in {\mathbb{P}}^n$ 是所有结式 $\mathcal{R}(\overline{F_1},\overline{F_2})$ 的零点, 那么若 $x$ 是 $\mathcal{I}(Z)$ 中所有双齐次多项式的首项系数的零点, 其中首项系数指代 $Y_0$ 次数达到最高次的项的系数, 即 $a_0(X)$. 如此一来, 有 $F(x,0,1)=a_d(x)=0$, 则 $(x,(0:1))\in Z$. 那么完成了证明.

否则, 存在双齐次多项式 $F\in \mathcal{I}(Z)$ 使得 $x$ 不是 $a_0(X)$ 的根. 由 $x$ 的定义, 对于任意 $G\in \mathcal{I}(Z)$, $\overline{F}(x,Y)$ 与 $\overline{G}(x,Y)$ 有公共零点, 而 $\overline{F}(x,Y)$ 只有有限个零点, 记作 $y_1,\cdots ,y_N$. 断言存在 $i$ 使得 $(x,(1:y_i))\in Z$. 从而完成证明.

否则, 若上述断言不成立, 则对于任意 $i$, 存在 $G_i\in \mathcal{I}(Z)$ 使得 $G_i(x,1,y_i)\ne 0$. 可乘以一些 $X^s{Y}^t$ 使得诸 $G_i$ 具有相同的次数. 那么对于任意一组 $a=(a_1,\cdots ,a_N)\in k^N$, 有 $G_a={\sum }_{i=1}^N{a}_i{G}_i\in \mathcal{I}(Z)$ 是双齐次的. 故 $G_a$ 与 $\overline{F}$ 都有公共零点, 即 $G_a(x,1,y_{\sigma (a)})=0$, 其中 $\sigma :k^n\to \{1,\cdots ,N\}$. 构造线性映射$$\Phi :k^N\to k^N;a\mapsto (G_a(x,1,y_1),\cdots ,G_a(x,1,y_N))$$记 $H_i$ 为 $k^N$ 中的超平面 $\{x_i=0\}$. 由于 $k$ 代数闭, 故 $|k|=\infty$. 那么, $\Phi (k^N)\subset {\bigcup }_{i=1}^N{H}_i$. 故由子空间回避定理, 存在 $j$ 使得 $\Phi (k^N)\subset H_j$, 即 $G_a(x,1,y_j)=0$ 对于任意 $a\in k^N$. 但这与 $G_i$ 的选取矛盾.

故断言成立, 从而我们证明了 $\pi (Z)\supset \mathcal{V}(I)$. 综上, 我们证明了 $\pi (Z)=\mathcal{V}(I)$, 从而证明了这种情况下 $\pi$ 是闭映射.

这便完成了初始情况的证明.

先将 $Y$ 改为任意拟射影簇, 对于 $Z\subset {\mathbb{P}}^1\times Y$ 闭, 存在 $V\subset {\mathbb{P}}^1\times {\mathbb{P}}^n$ 闭, 使得 $Z=V\cap ({\mathbb{P}}^1\times Y)$. 由前一情形知 $\pi (V)\subset {\mathbb{P}}^n$ 闭故 $\pi (Z)=\pi (V\cap ({\mathbb{P}}^1\cap Y))=\pi (V)\cap Y$ 闭. 故在这种情况下, $\pi$ 是闭映射.

再将 $X$ 改进为 ${\mathbb{P}}^n$. 我们归纳地证明这件事. 对于 $Z\subset {\mathbb{P}}^n\times Y$, 考虑 ${\mathbb{P}}^n$ 的爆破 ${\mathrm{Bl}}_O({\mathbb{P}}^n)$. 可知 $\tilde{Z}:=(p\times \mathrm{id}{)}^{-1}(Z)$ 在 ${\mathrm{Bl}}_O{\mathbb{P}}^n\times Y\subset {\mathbb{P}}^n\times {\mathbb{P}}^{n-1}\times Y$ 中闭. 我们只需证明 $(q\times \mathrm{id})(\tilde{Z})\subset H\times X$ 闭. 如此一来, 由归纳假设及下图交换, 我们立刻有 $\pi$ 闭. 而证明 $(q\times \mathrm{id})(\tilde{Z})\subset H\times Y$ 闭, 只需对每个标准开集 $U_i\subset {\mathbb{P}}^{n-1}$ 证明 $(q\times \mathrm{id})(\tilde{Z})\cap (U_i\times Y)\subset U_i\times Y$ 闭由于 $q^{-1}(U_i)\cong U_i\times {\mathbb{P}}^1$, 可知下图交换而由情形 2, $\tilde{\pi }:U_i\times {\mathbb{P}}^1\times Y\to U_i\times Y$ 是闭映射故 $(q\times \mathrm{id})(\tilde{Z})\cap (U_i\times Y)\subset U_i\times Y$ 闭.

最后, 令 $X$ 是任意射影簇. 那么由以下交换图知投影 $\pi :X\times Y\to Y$ 闭.

$\square$

这则事实有许多重要推论:

推论 6.3. 若 $X$ 是射影簇, 则正则映射 $f:X\to {\mathbb{P}}^n$ 像闭.

证明. 以图像 $\Gamma \subset X\times {\mathbb{P}}^n$ 代替 $X$, 则由于 $\pi :X\times {\mathbb{P}}^n\to {\mathbb{P}}^n$ 闭, 故加之 $\Gamma \subset X\times {\mathbb{P}}^n$ 闭, 有 $\mathrm{im}f闭$.

$\square$

注 6.4. 这事实也断言了完备拟射影簇的像都是闭的.

推论 6.5. 若 $f:X\to k$ 是正则函数, 且 $X$ 是连通射影簇, 则 $f$ 是常值映射.

证明. 考虑分解 $f:X\to k\hookrightarrow {\mathbb{P}}^1$. 则 $f$ 可视作 $X$ 到 ${\mathbb{P}}^1$ 的正则映射. 由上一推论知 $f$ 是闭映射, 故 $f(X)⊊{\mathbb{P}}^1$ 闭, 但 ${\mathbb{P}}^1$ 中的闭集只有其本身与有限点集, 故 $|f(X)|<\infty$. 由 $f$ 的连续性及 $X$ 的连通性, 我们有 $|f(X)|=1$.

$\square$

推论 6.6. 若 $X\subset {\mathbb{P}}^n$ 是连通射影簇, 且 $|X|>1$, 则 ${\mathbb{P}}^n$ 中的任意超曲面与 $X$ 交非空.

证明. 否则, 令 ${\mathbb{P}}^n$ 中的超曲面 $H$ 满足 $H\cap X=\varnothing$, 则令 $H=\mathcal{V}(F)$ 是 $d$ 次超曲面, 则考虑 Venerose 映射$$v_d:{\mathbb{P}}^n\to {\mathbb{P}}^{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+d}{d}\right)-1}.$$令 $F={\sum }_{|I|=d}{a}_I{X}^I$, 则 $H_F=\mathcal{V}({\sum }_I{a}_I{Z}_I)\subset {\mathbb{P}}^{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+d}{d}\right)-1}$ 是 ${\mathbb{P}}^{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+d}{d}\right)-1}$ 中的超平面, 且 $H=v_d^{-1}(H_F)$. 而 ${\mathbb{P}}^{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+d}{d}\right)-1}-H_F$ 同构于一个代数簇.

由于 $v_d^{-1}(H_f)\cap X=\varnothing$, 故 $v_d(X)\cap H=\varnothing$. 对于任意 $d$ 次齐次多项式 $G$, $\frac{G}{F}$ 是 $X$ 上的正则函数. 由上一推论 $\frac{G}{F}$ 是常数, 故若 $G$ 是单项式, 则 $|v_d(X)|=1$. 由 $v_d$ 单, $|X|=1$, 矛盾!

$\square$

注 6.7. 注意到, 也存在不是射影簇的完备拟射影簇.

当然, 也有如下值得注意但显然的事情:

命题 6.8.

(1)	若 $X$ 与 $Y$ 都是完备拟射影簇, 则 $X\times Y$ 也是.
(2)	若 $X$ 是完备拟射影簇, 则其正则像闭且完备.