用户: Solution/ 讲义: 代数几何初步/除子与线丛

1线丛

以下是线丛的一个几何定义:

定义 1.1 (线丛 1 (Line Bundle) ). 若 $X$ 是簇, 则 $X$ 上的线丛指簇的映射 $p:L\to X$, 满足

(1)	(局部平凡性 (Local Trivialization) ) 存在 $X$ 的开覆盖 $\{U_i\}$ 以及态射 ${\varphi }_i$, 使得 ${\varphi }_i:p^{-1}(U_i)\to U_i\times {\mathbb{A}}^1$. 换句话说, 即下图交换:
(2)	(转移函数 (Transitive Function) ) 对于上述的 $i,j$, 态射 ${\phi }_i\circ {\phi }_j^{-1}:U_{ij}\times {\mathbb{A}}^1\to U_{ij}\times {\mathbb{A}}^1;(x,t)\mapsto (x,g_{ij}(x)t)$, 其中 $U_{ij}=U_i\cap U_j$, 而 $g_{ij}:U_{ij}\mapsto {\mathbb{A}}^1\backslash 0$ 是 $U_{ij}$ 上不取零的态射. 称所有 $g_{ij}$ 为转移函数.

称 $p^{-1}(x)$ 为 $x\in X$ 处的纤维 (Fiber) .

注 1.2. 在 Čech 上同调的意义下, 线丛即是 $H^1(X,O_X^{\ast })$ 中的元素, 其中 $O_X^{\ast }$ 是 $X$ 上的可逆函数层.

线丛间也有态射:

定义 1.3 (线丛的态射). 若 $p:L\to X$ 与 $p^{\prime }:L^{\prime }\to X$ 是 $X$ 上的两个线丛. 则称 $u:L\mapsto L^{\prime }$ 是线丛的态射, 若 $p^{\prime }=p\circ u$, 且 $u$ 在纤维上线性. 这里线性的意思是对于开覆盖 $\{U_i\}$, 存在正则函数 $h_i(x)$ 使得 ${\varphi }_i^{\prime }\circ u\circ {\varphi }_i^{-1}:(x,t)\mapsto (x,h_i(x)t)$, 其中 $h_i(x)$ 是纤维上的线性函数.

进一步地, 称 $L_1$ 与 $L_2$ 作为线丛同构, 若存在态射 $v:L_2\to L_1$, 使得 $u\circ v={\mathrm{id}}_{L_2}$ 且 $v\circ u={\mathrm{id}}_{L_1}$.

定义 1.4 (截面 (Section) ). 对于线丛 $p:L\to X$, 其上的一个截面指的是一个簇的态射 $s:X\to L$ 使得 $p\circ s={\mathrm{id}}_X$.

例 1.5 (零截面). 即 $s_0:x\mapsto {\phi }^{-1}(x,0)$. 这是 $X$ 至 $L$ 的自然嵌入.

例 1.6. 定义 ${\mathbb{P}}^n$ 上的典范丛 ${\mathcal{O}}_{{\mathbb{P}}^n}(-1)$ 如下:

令 $L:=\{(x,v)\in {\mathbb{P}}^n\times {\mathbb{A}}^{n+1}\mid v\in \mathcal{C}x\}$, 其中 $\mathcal{C}x$ 为其仿射锥. 这是 ${\mathbb{P}}^n\times {\mathbb{A}}^{n+1}$ 的闭子集. 令 $U_i$ 为 ${\mathbb{P}}^n$ 的标准开集, $p:L\to {\mathbb{P}}^n;(x,v)\mapsto x$ 为投影. 那么 $U_i$ 即为局部平凡化, 即其中 $v=v_i(\frac{x_0}{x_i},\cdots ,\frac{x_{i-1}}{x_i},\frac{x_{i+1}}{x_i},\cdots ,\frac{x_n}{x_i})$. 而坐标转换即 $g_{ij}:U_{ij}\to k^{\ast };(x_0,\cdots ,x_n)\mapsto \frac{x_i}{x_j}$.

我们也可以代数地定义线丛:

定义 1.7 (线丛 2). 簇 $X$ 上的线丛指如下资料:

(1)	簇 $X$ 的一族开覆盖 $\{U_i{\}}_{i\in I}$.
(2)	一族正则函数 $\{g_{ij}:U_{ij}\to k^{\ast }{\}}_{i,j\in I}$, 其中 $U_{ij}=U_i\cap U_j$.
(3)	这些正则函数满足 $g_{ii}=1$, $g_{ij}{g}_{jk}{g}_{ki}=1$. 这称为上闭链条件.

记线丛为 $\{(U_i,g_{ij})\}$.

注 1.8. 上述资料可以复刻出一个线丛来:

令 $L:={\coprod }_{i\in I}(U_i\times {\mathbb{A}}^1)/\sim$, 其中对于 $x\in U_{ij}$, 规定 $(x,t)\sim (x,g_{ij}(x)t)$. 令 $p:L\to X$ 是自然投影, 则 $L$ 在诸 $U_i$ 上是局部平凡化, 且转移函数为 $g_{ij}$.

注 1.9. 我们可以定义线丛 $L=\{(U_i,g_{ij})\}$ 与 $L^{\prime }=\{(U_{i^{\prime }},g_{i^{\prime }{j}^{\prime }})\}$ 同构当且仅当存在 $s_{i{i}^{\prime }}:U_i\cap U_{i^{\prime }}\to k^{\ast }$ 使得 $g_{i^{\prime }{j}^{\prime }}{s}_{i{i}^{\prime }}=g_{ij}{s}_{j{j}^{\prime }}$. 其中这里是乘法而非复合.

我们可以定义线丛的乘法为转移函数的乘法. 令线丛 $L=\{(U_i,g_{ij})\}$ 与 $L^{\prime }=\{(U_i,g_{ij}^{\prime })\}$. 这里, 对于两个不同的线丛, 我们可以对覆盖加细, 使得 $L$ 与 $L^{\prime }$ 具有相同覆盖, 则定义 $L\otimes L^{\prime }=\{(U_i,g_{ij}{g}_{ij}^{\prime })\}$.

命题 1.10 (Picard 群). 簇 $X$ 上的全体线丛在乘法运算下构成一个群. 记该群为 $\mathrm{Pic}(X)$.

证明. 单位元为平凡丛 $X\times {\mathbb{A}}^1$, 也即所有 $g_{ij}=1$. 而线丛 $(U_i,g_{ij})$ 逆元定义为 $(U_i,g_{ij}^{-1})$.

$\square$

例 1.11. 射影空间 ${\mathbb{P}}^n$ 上的典范线丛 ${\mathcal{O}}_{{\mathbb{P}}^n}(-1)$ 事实上即 $(U_i,g_{ij})$, 其中 $g_{ij}=\frac{x_i}{x_j}$. 这样的线丛在乘法下生成一个循环群 $\{{\mathcal{O}}_{{\mathbb{P}}^n}(d)\}$, 其中 ${\mathcal{O}}_{{\mathbb{P}}^n}(d)$ 中的转移函数 $g_{ij}=(\frac{x_j}{x_i}{)}^d$.

2除子与除子类群

这里只考虑 $X$ 是不可约拟射影簇的情形. 我们将要引入两种重要的除子, 即 Weil 除子与 Cartier 除子.

以下是一个惯用语: 我们称 $X$ 是余维一光滑的, 若 $\dim \mathrm{sing}(X)\le \dim X-2$. 这个条件将允许我们在余维一的子簇上取光滑点. 有不少簇满足余维一光滑的性质, 诸如正规簇. 在以下讨论中, 我们都假定 $X$ 余维一光滑.

定义 2.1 ($\mathbb{Z}$ 系数 Weil 除子 (Weil Divisor) ). 称形式有限和 ${\sum }_i{a}_i{Y}_i$ 为 Weil 除子, 其中 $Y_i$ 都是余维一子簇, 而 $a_i\in \mathbb{Z}$.

定义 2.2 (Cartier 除子 (Cartier Divisor) ). 对于簇 $X$, 称数据 $\{(U_i,f_i)\}$ 为 $X$ 上的 Cartier 除子, 若 $\{U_i\}$ 是 $X$ 的开覆盖, 而 $f_i$ 是 $U_i⇢k$ 的处处非零有理函数.

经过覆盖加细后, 称两个 Cartier 除子 $D=\{(U_i,f_i)\}$ 与 $D^{\prime }=\{(U_i,g_i)\}$ 是相容的, 若 $\frac{f_i}{f_j}$ 在 $U_i\cap U_j$ 上是正则函数. 定义两个 Cartier 除子等价当且仅当它们正则.

Cartier 除子全体在加法 $\{(U_i,f_i)\}+\{(U_i,g_i)\}=\{(U_i,f_i{g}_i)\}$ 与取逆 $-\{(U_i,f_i)\}=\{(U_i,f_i^{-1})\}$ 下构成一个群, 记作 $\mathrm{Cartier}(X)$. 称一个 Cartier 除子 $D$ 为主除子, 若 $D=\{(X,f)\}$.

在 $\mathrm{Cartier}(X)$ 与 $\mathrm{Pic}(X)$ 间, 我们可以定义群同态. $$\begin{array}{rl}\Phi :\mathrm{Cartier}(X)& ⟶\mathrm{Pic}(X);\\ \{(U_i,f_i)\}& ⟼\{(U_i,g_{ij}=\frac{f_i}{f_j}).\}\end{array}$$

这时, $\Phi (D_1+D_2)=\Phi (D_1)\otimes \Phi (D_2)$, 故这是一个群同态.

我们有如下命题:

定理 2.3. 若 $X$ 是不可约拟射影簇, 则上述映射 $\Phi$ 诱导了群同构 $\mathrm{Cartier}(X)/p.Cartier(X)\cong \mathrm{Pic}(X)$. 其中 $p.Cartier(X)$ 即全体主除子构成的子群.

证明. 首先, 我们验证 $\ker \Phi =p.Cartier(X)$. 若 $\Phi (D)=1$, 则 $\Phi (D)$ 存在处处非零的整体截面 $s=\{(U_i,s_i)\mid s_i:U_i\to k^{\ast }\text{ 正则}\}$. 加之 $s_i=g_{ij}{s}_j=\frac{f_i}{f_j}{s}_j$, 我们有 $\frac{s_i}{f_i}$ 为一个固定的函数, 记为 $F$. 那么 $D=\{(U_i,F)\}=\{(X,F)\}$. 而显然有 $p.Cartier(X)\subset \ker \Phi$, 故 $\ker \Phi =p.Cartier(X)$.

再证 $\Phi$ 满. 而对于任一线丛 $L=\{(U_i,g_{ij})\}$, 可固定一个开集 $U_{i_0}$, 则由不可约性, $U_i\cap U_{i_0}\ne \varnothing$, 且 $g_{i{i}_0}:U_i\cap U_{i_0}\to k^{\ast }$ 是处处非零正则函数. 令 $D=\{(U_i,g_{i{i}_0})\}$, 则 $\Phi (D)=L$.

$\square$

后文记 $\mathrm{Cartier}(X)/p.Cartier(X)$ 为 $\mathrm{CaCl}(X)$. 下面我们计算一些除子类群的例子

例 2.4. 仿射空间 ${\mathbb{A}}^n$.

由于这是个不可约光滑簇, 故 $\mathrm{Pic}({\mathbb{A}}^n)=\mathrm{Cl}({\mathbb{A}}^n)$. 而 ${\mathbb{A}}^n$ 中的所有超曲面都由一个多项式定义. 故对于任意超曲面 $Y\subset {\mathbb{A}}^n$, $Y$ 代表一个主 Weil 除子. 故 $\mathrm{Pic}({\mathbb{A}}^n)=\mathrm{Cl}({\mathbb{A}}^n)=0$.

事实上, 若 $X$ 是一个正规仿射代数簇, 则 $\mathrm{Cl}(X)=0$ 当且仅当 $A(X)$ 是一个 UFD.

例 2.5. 射影空间 ${\mathbb{P}}^n$.

这也是一个不可约光滑簇, 故 $\mathrm{Pic}({\mathbb{P}}^n)=\mathrm{Cl}({\mathbb{P}}^n)$. 令 $H_0=\{X_0=0\}$. 由于 ${\mathbb{P}}^n$ 中的任一超曲面 $H$ 由一个 $d$ 次齐次多项式定义, 那么考虑 $H$ 上的有理函数 $\frac{F}{X_0^d}$, 则 $H-d{H}_0=\mathrm{div}(\frac{F}{X_0^d})$. 故 $\mathrm{Cl}({\mathbb{P}}^n)$ 由 $H_0$ 生成, 故而有满同态$$\begin{array}{rl}\varphi :\mathbb{Z}& ⟶{\mathbb{P}}^{\mathrm{n}};\\ d& ⟼d{H}_0.\end{array}$$我们只需证明 $\ker \varphi =0$ 即可. 否则 $\ker \varphi =⟨d_0⟩$, 其中 $d_0>0$. 那么 $d_0{H}_0\sim 0$ 当且仅当 $\mathcal{L}(d_0{H}_0)$ 平凡. 但视 $H_0=\{(U_i,\frac{X_0}{X_1})\}$ 为 Cartier 除子, 其中 $U_i$ 是标准开集, 我们有 $\mathcal{L}(H_0)=\{(U_i,\frac{X_j}{X_i})\}={\mathcal{O}}_{{\mathbb{P}}^n}(1)$. 且 ${⨂}_{i=1}^d{\mathcal{O}}_{{\mathbb{P}}^n}(1)={\mathcal{O}}_{{\mathbb{P}}^n}(d)$. 故这意味着 ${\mathcal{O}}_{{\mathbb{P}}^n}(d_0)$ 平凡, 矛盾!

上述过程即是说 $\mathrm{Pic}({\mathbb{P}}^n)=\mathrm{Cl}({\mathbb{P}}^n)=\mathbb{Z}$.

例 2.6. 在射影空间 ${\mathbb{P}}^n$ 中切除一个 $d$ 次超曲面 $H$.

记 $X={\mathbb{P}}^n-H$, $H=\mathcal{V}(F)$, 我们可以注意到 $X$ 中的超平面都由 ${\mathbb{P}}^n$ 中的超平面限制而来. 故有如下满同态故 $\mathrm{Cl}(X)$ 必形如 $\mathbb{Z}/l\mathbb{Z}$, 其中 $l$ 是一个整数. 考虑 $\mathrm{Cl}({\mathbb{P}}^n)$ 的生成元 $H_0$,

考虑 Venerose 映射 $v_d:{\mathbb{P}}^n\to {\mathbb{P}}^{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+d}{d}\right)-1}$. 那么 $v_d(H)$ 无非是一些 $\{X_j=0\}$ 的交, 从而 $X$ 是代数簇 (由 $v_d$ 单) , 且 $A(X)=\{\frac{G}{F^m}\mid G\text{ 为 }md\text{ 次齐次多项式}\}=k[X{]}_F$. 若 $l{H}_0\in \ker \phi$, 则存在 $m\in \mathbb{N}$ 使得 $\frac{X_0^k}{F^m}\in A(X)$. 这意味着 $k=md$.

而考虑除子 $d{H}_0$, 则由于 $d{H}_0=\mathrm{div}(\frac{X_0^d}{F})$, 故 $d{H}_0\in \ker \phi$. 这意味着 $\ker \phi =d\mathbb{Z}$, 从而 $\mathrm{Cl}(X)=\mathbb{Z}/d\mathbb{Z}$.

例 2.7. 射影空间的乘积簇 ${\mathbb{P}}^m\times {\mathbb{P}}^n$.

与射影空间的情形类似, 在 ${\mathbb{P}}^m$ 中取 $H_1=\{X_0=0\}$, 在 ${\mathbb{P}}^n$ 中取同样定义的超平面 $H_2=\{Y_0=0\}$. 记 $Z_1=H_1\times {\mathbb{P}}^n$, $Z_2={\mathbb{P}}^n\times H_2$, 由于 ${\mathbb{P}}^m\times {\mathbb{P}}^n$ 中超曲面由一个双齐次多项式 $F$ 定义, 并记次数为 $(d,e)$, (由 Segre 嵌入, 这仍是一个射影簇, 我们可以用 ${\mathbb{P}}^{mn+m+n}$ 中的超平面拉回至 ${\mathbb{P}}^m\times {\mathbb{P}}^n$ 上) 则 $H$ 上有有理函数 $\frac{F}{X_0^d{Y}_0^e}$, 故 $H-d{Z}_1-e{Z}_2=\mathrm{div}(\frac{F}{X_0^d{Y}_0^e})$. 这意味着 $\mathrm{Cl}({\mathbb{P}}^m\times {\mathbb{P}}^n)$ 由 $Z_1$ 与 $Z_2$ 生成, 从而可以定义满同态$$\begin{array}{rl}\varphi :{\mathbb{Z}}^2& ⟶\mathrm{Cl}({\mathbb{P}}^m\times {\mathbb{P}}^n);\\ (d,e)& ⟼d{Z}_1+e{Z}_2.\end{array}$$由于 $\ker \varphi$ 形如 $d_1\mathbb{Z}\oplus d_2\mathbb{Z}$, 故 $\mathcal{L}(d_1{H}_1+d_2{H}_2)=\{(U_i\times V_j,\left(\frac{X_k}{X_i}{)}^{d_1}\right(\frac{Y_l}{Y_j}{)}^{d_2}\}$ 平凡. 这意味着 $d_1=d_2=0$, 即映射 $\varphi$ 单. 故 $\mathrm{Cl}({\mathbb{P}}^m\times {\mathbb{P}}^n)={\mathbb{Z}}^2$.

更一般地, 可以证明 $\mathrm{Cl}({\mathbb{P}}^{k_1}\times \cdots \times {\mathbb{P}}^{k_m})={\mathbb{Z}}^m$.

例 2.8. 二次锥面 $C=\mathcal{V}(XY-Z^2)\subset {\mathbb{A}}^2$.

这是一个不可约正规簇, 且唯一奇点为 $(0,0,0)$.