用户: Solution/ 讲义: 高维代数簇/代数曲面的极小模型纲领 (MMP)

1极小代数曲面

定义 1.1. 设 $S$ 为光滑射影曲面. 若对于任一光滑射影曲面的双有理态射 $\pi :S\to S^{\prime }$ 都是同构, 则称 $S$ 为极小代数曲面.

在这一讲, 我们的目标是证明极小曲面的一则等价刻画: “曲面上无 $(-1)$ 曲线”. 这是意大利数学家 Guido Castelnuovo 的工作.

例 1.2. 如 ${\mathbb{P}}^2$ 与 ${\mathbb{P}}^1\times {\mathbb{P}}^1$. 两者上的所有不可约曲线自交数都非负, 因而极小.

2Zariski 主定理

定义 2.1. 设 $f:X⇢Y$ 是射影簇间的双有理映射, 定义域为 $U_0$. 记 ${\Gamma }_0=\{(x,f(x))\mid x\in U_0\}\subseteq X\times Y$. 称 $\overline{{\Gamma }_0}$ (在 $X\times Y$ 内取闭包) 为 $f$ 的图像.

若 $D$ 是 $X$ 的闭子集, 则作 $f(D):=({\pi }_2^{-1}\circ {\pi }_1)(D)$. 称为 $D$ 的完全形变.

若 $f$ 在 $p\in X$ 处无定义, 则称 $p$ 为 $f$ 的基本点. 此时 $f(p)$ 定义为其完全形变.

引理 2.2. 设 $X$, $Y$ 为射影簇, 且 $X$ 是正规的. 对于双有理映射 $f:X⇢Y$, 设定义域为 $U_0$, 则 ${\mathrm{codim}}_X(X-U_0)\ge 2$.

定理 2.3. 设 $X$ 是正规射影簇, $f:X⇢Y$ 是射影簇间的双有理映射, $p\in X$ 是基本点, 则 $f(p)$ 是连通的, 且 $\dim f(p)\ge 1$.

3Castelnuovo 定理

定理 3.1. 设 $f:X^{\prime }\to X$ 是光滑射影簇间的双有理态射, 且非同构. 若 $p$ 是 $f^{-1}:X⇢X^{\prime }$ 的基本点, 则 $f$ 穿过以 $p$ 为中心的爆破.

证明. 设 $\pi :\tilde{X}\to X$ 是以 $p$ 为中心的爆破, 例外除子为 $E$. 记双有理映射 $g={\pi }^{-1}\circ f:X^{\prime }⇢\tilde{X}$, 我们证明 $T$ 是态射. 否则, 取 $p‘\in X^{\prime }$ 为 $T$ 的基本点, 则 $f(p^{\prime })=p$ (由于 ${\pi }^{-1}$ 在 $p$ 以外皆有定义, 而 $f$ 是态射) .

故 $g(p^{\prime })=E$. 令 $U^{\prime }=X^{\prime }\backslash f^{-1}(p)$, 而 $U=X\backslash p$, 那么 ${\pi }^{-1}{|}_U:U\to U^{\prime }$ 是态射,

$\square$

推论 3.2. 设 $f:X^{\prime }\to X$ 是光滑射影曲面间的双有理态射. 记 $n(f)$ 为被 $f$ 收缩成点的不可约曲线的条数, 则 $f$ 可被分解为 $n(f)$ 个单点爆破的复合.

证明. 由引理 2.2, $f^{-1}$ 的基本点有限, 故 $n(f)<\infty$. 我们以归纳完成该证明.

若 $n(f)=0$, 那么 $f$ 是拟有限的分离双有理态射. 由于是光滑情形, 故由 Zariski 主定理知 $f$ 是同构.

若 $n(f)>0$, 那么取 $f^{-1}$ 的基本点 $p$, 并如定理 3.1 分解 $f$ 为 $\pi \circ g$, 其中 $\pi ={\mathrm{Bl}}_p$, 并记例外除子为 $E$. 对于 $X^{\prime }$ 上的不可约曲线 $C$, 若 $g(C)$ 是单点, 那么 $f(C)$ 亦是单点, 从而 $n(g)\le n(f)$. 下面我们证明这里的不等号是严格的. 若 $f$ 将 $X^{\prime }$ 上的曲线 $D$ 压缩至点 $q\ne p$, 则 ${\pi }^{-1}(q)$ 也是单点. 由于 $g^{-1}(E)$ 是 $\tilde{X}$ 中有限条不可约曲线的有限和 (记 $g^{-1}(E)=k_1{C}_1+\cdots +k_r{C}_r$) , 且 $g$ 是打满 $E$ 的, 故至少有一条 $C_i$ 被 $g$ 映为 $E$. 而 Zariski 主定理告诉我们 $E$ 中任意一点的原像都是连通的, 故 $g$ 恰好把一条 $C_i$ 映为 $E$. 那么该 $C_i$ 就是可被 $f$ 收缩, 但无法被 $g$ 收缩的曲线. 所以 $n(g)<n(f)$. 由归纳证毕.

$\square$

定理 3.3. 设 $f:X^{\prime }⇢X$ 是光滑射影曲面间的双有理态射, 则 $f$ 可分解为有限个单点爆破及其逆的复合.

定理 3.4. 设 $X$ 是光滑射影曲面. 若 $X$ 上有 $(-1)$-曲线 $E$, 则存在光滑射影曲面 $X_1$ 及单点爆破 $\sigma :X\to X_1$ 使得其例外除子为 $E$.

推论 3.5.

(1)	光滑射影曲面极小当且仅当其上无 $(-1)$-曲线;
(2)	任何光滑射影曲面都有极小模型.

4极小模型的唯一性

定义 4.1. 设 $X$ 为光滑代数簇. 定义 $X$ 的小平维数为$$\kappa (X)=\{\begin{array}{ll}-\infty & ，h^0(m{K}_X)=0\forall m\in \mathbb{N}\\ 0& ，h^0(m{K}_X)\le 1\forall m\in \mathbb{N}，且存在m\in \mathbb{N}使得h^0(m{K}_X)=1\\ \max \{\dim \overline{{\varphi }_{|m{K}_X|}(X)}\}& ，其余情况\end{array}.$$

引理 4.2. 设 $S$ 是光滑射影曲面, $\kappa (S)\ge 0$, 则 $S$ 是极小曲面 当且仅当 $K_S$ 是 nef 的.

当曲面 $S$ 的小平维数为 $-\infty$ 时, $S$ 的极小模型一定是直纹面, 即存在到光滑曲线的约化 $f:S\to B$, 使得对于任意 $b\in B$, $f^{-1}(b)\cong {\mathbb{P}}^1$.

定理 4.3. 设 $S$ 为光滑射影曲面, 且 $\kappa (S)\ge 0$, 则 $S$ 有唯一极小模型.