用户: Solution/ 讲义: 高维代数簇/回顾: 曲线上的Riemann-Roch定理

1正规化

1.1

设 $S$ 是光滑射影曲面. 对于 $m \in Z^{+}$ , 定义 plurigenera 为 $p_{m} (S) := h^{0} (S, m K_{S})$ . 求证: 对于任何 $m \in Z^{+}$ , $p_{m} (S)$ 是双有理不变量.

解答.

解答. 设

f : X ⇢ Y

为光滑射影曲面的双有理态射.

$□$

1.2

回忆光滑射影曲线的特殊除子与 Clifford 定理. 设 $C$ 为光滑射影曲线. 证明:

(1)	若 $g (C) \geq 2$ , $D \in Div (C)$ 且 $h^{0} (C, O_{C} (D))$ , 则 $de g (D) \geq 2$ . 并探索等号成立的条件. 解答. 解答. $□$
(2)	设 $D \in Div (C)$ 且 $de g (D) \geq 2$ . 若 $C$ 不是超椭圆曲线, 则由线性系统 $K_{C} + D$ 定义的态射 $ϕ_{∣ K_{C} + D ∣}$ 是双有理的. 解答. 解答. $□$

1.3

设 $C$ 为光滑射影曲线. 证明: $C ≅ P^{1}$ 当且仅当存在 $C$ 上的闭点 $p$ 满足 $h^{0} (C, O_{C} (p)) = 2$ .

解答.

$□$