用户: Solution/ 讲义: 高维代数簇/曲面上的相交理论

1光滑曲面上的相交配对

在光滑代数簇上, Weil 除子与 Cartier 除子等价, 所以以下我们一律称 “除子”, 并记全体除子构成的 Abel 群为 $\mathrm{Div}(X)$. 我们希望在光滑射影曲面 $S$ 上做相交理论. 具体来说, 我们需要在 $\mathrm{Div}(S)$ 定义一个 $\mathbb{Z}$-对称双线性的配对$$\mathrm{Div}(S)\times \mathrm{Div}(S)⟶\mathbb{Z}$$满足如下条件:

(1)	数相交数: 若 $C,D\subseteq S$ 是两条整曲线, 则 $C.D=\#C\cap D$. 这里 $\#C\cap D$ 是带有重数的. 具体来说, $$\#C\cap D:=\sum _{p\in |C\cap D|}{\dim }_{\mathbb{C}}{\mathcal{O}}_{X,p}/({\mathcal{I}}_{C,p},{\mathcal{I}}_{D,p})；$$
(2)	模线性等价: 给定除子 $C_1,C_2,D$. 若 $C_1{\sim }_L{C}_2$, 则 $C_1.D=C_2.D$;
(3)	平凡性: $0.D=0$;
(4)	分配律: 给定除子 $C_1,C_2,D$, 则有 $(C_1+C_2).D=C_1.D+C_2.D$.

一则定理是, 上述的相交理论存在且唯一. 我们着手构造这样的相交理论.

引理 1.1. 对于整曲线 $C$ 与 $D$, $\#C\cap D=\mathrm{deg}{\mathcal{O}}_C(D)$.

证明. 待补充.

$\square$

这则引理使我们可以将具体的相交数接入相交理论的框架. 对于 $C,D\in \mathrm{Div}(S)$ 我们定义$$C.D:=\chi ({\mathcal{O}}_S)-\chi ({\mathcal{O}}_S(-C))-\chi ({\mathcal{O}}_S(-D))+\chi ({\mathcal{O}}_S(-C-D)).$$

引理 1.2. 对于整曲线 $C$ 与 $D$, $C.D=\mathrm{deg}{\mathcal{O}}_C(D)$.

证明. 待补充.

$\square$

上述构造显然是模线性等价的, 因为该定义并不关心具体的除子, 而是只涉及除子定义的层. 但分配律并不能直接由定义得到.

命题 1.3. 对于上述建立的相交理论, 分配律成立.

证明. 待补充.

$\square$

有了分配律, 我们便已经完成了相交理论存在性的证明. 非常优雅的是, 这样的相交理论是唯一的.

命题 1.4. 满足 (1)$\sim$(4) 的相交理论若存在, 则唯一.

证明. 待补充.

$\square$

综上述, 我们建立了光滑曲面上的相交理论.

定理 1.5. 在光滑曲面上, 存在唯一满足 (1)$\sim$(4) 的相交理论.

2Néron-Severi 群

3光滑曲面上的 Riemann-Roch 定理

4Hodge 指标定理

5习题

2.1	设 $S$ 为光滑射影曲面, 而 $C=C_1+\cdots +C_r$ 为 $S$ 上的广义曲线, 其中 $C_i$ ($1\le i\le r$) 为整曲线. 证明: $p_a(C)=0$ 当且仅当如下三个条件同时成立: (1) 对于 $i\le j$, 有 $(C_i\cdot C_j)\le 1$; (2) $C$ 的 Dynkin 图不含圈; (3) 对于互不相同的 $i,j,k$, 有 $|C_i|\cap |C_j|\cap |C_k|=\varnothing$. 解答. 解答. $\square$