用户: Solution/ 讲义: 高维代数簇/有限覆盖

1Riemann-Hurwitz 公式

定义 1.1. 设 $X$ 与 $Y$ 为正规代数簇. 我们称有限满射 $\pi :X\to Y$ 为 $Y$ 的有限覆盖, 且定义 $\pi$ 的次数为 $\mathrm{deg}(\pi ):=[K(X):K(Y)]$.

对于 $X$ 上的素除子 $D\in \mathrm{Div}(X)$, 记 $x$ 为 $D$ 的一般点, 那么 ${\mathcal{O}}_{X,x}$ 是 $1$ 维正则局部环, 也即离散赋值环. 有限覆盖 $\pi :X\to Y$ 诱导了局部环的局部同态 ${\pi }_x^{\ast }:{\mathcal{O}}_{Y,f(x)}\to {\mathcal{O}}_{X,x}$. 设 ${\mathfrak{m}}_x=(f)$, ${\mathfrak{m}}_y=(g)$, 则 ${\pi }^{\ast }(g)=c\cdot f^{\nu }$, 其中 $c\in {\mathcal{O}}_{X,x}^{\ast }$.

定义 $D$ 的分歧指数为 $e(D):=\nu \in \mathbb{N}$. 对于有限覆盖 $\pi :X\to Y$, 定义分歧除子 $R:={\sum }_{D\in \mathrm{Div}(X)素除子}(e(D)-1)D$. 我们有如下定理:

定理 1.2 (Riemann-Hurwitz). 设 $\pi :X\to Y$ 是光滑射影代数簇之间的有限态射, 则 ${\omega }_X\cong {\pi }^{\ast }{\omega }_Y\otimes {\mathcal{O}}_X(R)$.

命题 1.3. 设 $\pi :X\to Y$ 是光滑射影代数簇之间的 $n$ 次有限态射. 若存在 $Y$ 上的线丛 $\mathcal{L}$ 使得 ${\pi }^{\ast }\mathcal{L}\cong {\mathcal{O}}_X$, 则 ${\mathcal{L}}^{\otimes n}\cong {\mathcal{O}}_Y$.

证明. 由投影公式知 ${\pi }_{\ast }{\pi }^{\ast }\mathcal{L}\cong \mathcal{L}\otimes {\pi }_{\ast }{\mathcal{O}}_X\cong {\pi }_{\ast }{\mathcal{O}}_X$. 两边取 $n$ 次外积得 ${\mathcal{L}}^{\otimes }\otimes {\bigwedge }^n{\pi }_{\ast }{\mathcal{O}}_X\cong {\bigwedge }^n{\pi }_{\ast }{\mathcal{O}}_X$, 即 ${\mathcal{L}}^{\otimes n}\cong {\mathcal{O}}_Y$.

$\square$

2循环覆盖

定义 2.1. 设 $X$ 是正规代数簇, 而 $\mathcal{L}$ 是其上阶为 $m$ 的挠线丛 (即 ${\mathcal{L}}^{\otimes m}\cong {\mathcal{O}}_X$) , 则称 $X_{m,\mathcal{L}}:={\underline{\mathrm{Spec}}}_X(\mathcal{A})\to X$ 为 循环覆盖, 其中 $\mathcal{A}={⨁}_{i=0}^{m-1}{\mathcal{L}}^{\otimes -i}$.

例 2.2. 设 $Y={\mathbb{P}}^1$, $\mathcal{L}={\mathcal{O}}_{{\mathbb{P}}^1}(a)$, 则 ${\mathcal{L}}^{\otimes 2}={\mathcal{O}}_{{\mathbb{P}}^1}(2a)$. 令 $B={\sum }_{i=1}^{2a}{p}_i$, 其中 $p_i$ ($1\le i\le 2n$) 为点.

例 2.3. 设 $T$ 是 Abel 曲面, 则 $K_T\sim 0$. 从而 $p_g(T)=1$. 由于 $T$ 是复环面, 故其 Euler 示性数即 ${\chi }_{{\mathcal{O}}_T}=1-2+1=0$. 对于 $T$ 上的 $n$-挠除子 $\eta \in {\mathrm{Pic}}^0(T)$, 我们有 $H^0(T,N\eta )=\mathbb{C}$. 以 $(n\eta ,\eta )$ 作 $n$ 次循环覆盖 $\pi :S\to T$, 则 $\pi$ 是平展覆盖, 且 $K_S={\pi }^{\ast }{K}_T$, 故 $K_S$ 数值有效. 从而 $S$ 是极小曲面.