用户: Solution/ 讲义: 高维代数簇/纤维化与例外曲线

1纤维化与相对极小模型

定义 1.1. 设 $f:X\to S$ 是代数簇间的紧合约化, 且 $S$ 是正规的, 且维数满足 $\dim X>\dim S$, 则称 $f$ 是纤维化.

例 1.2 (Lefschetz 线束). 设 $X$ 是光滑射影簇, $H$ 是 $X$ 上的非常丰沛除子. 取子线性系统 $\Lambda \subset |H|$, 由 $H_1$、$H_2$ 生成且 $\dim \Lambda =1$. 称 $\Lambda$ 为 Lefschetz 线束.

该 $\Lambda$ 有基点, 且 $\mathrm{Bs}(\Lambda )\supseteq H_1\cap H_2$. 爆破后得纤维化 $f:X^{\prime }\to {\mathbb{P}}^1$.

引理 1.3. 设 $f:S\to C$ 为纤维化, 其中 $S$ 为光滑射影曲面, 而 $C$ 为光滑射影曲线. 则 $f$ 的一般纤维的亏格不依赖于纤维的选取, 并定义为 $f$ 的亏格.

引理 1.4. 设 $f:S\to C$ 为曲面的纤维化, $F$ 是一般纤维, 则

(1)	${\mathcal{O}}_F(F)\cong {\mathcal{O}}_F$, $F^2=0$, 且 $F$ 是 nef 的;
(2)	若 $F_0=\sum m_i{\Gamma }_i$ 为奇异纤维, 则 $\forall i$, 有 $F_0\cdot {\Gamma }_i=0$;
(3)	设 $D=\sum a_i{\Gamma }_i$, $a_i\in \mathbb{Q}$, 则 $D^2\le 0$. 等号成立当且仅当 $D$ 是 $F_0$ 的有理数倍.

特别地, 设 $F_0$ 是可约奇异纤维, 则对于 $F_0$ 的任一不可约分支 $\Gamma$, 有自交数 ${\Gamma }^2<0$, 即奇异纤维的不可约分支对应的相交矩阵是半负定的.

引理 1.5. 设 $f:S\to C$ 为曲面的纤维化. 记 ${\Gamma }_1,\dots ,{\Gamma }_t$ 为 $f$ 的所有可约奇异纤维, $\iota ({\Gamma }_i)$ 为 ${\Gamma }_i$ 的不可约分支数, 则 $\rho (S)\ge {\sum }_{i=1}^t(\iota ({\Gamma }_i)-1)+2$.

我们称纤维化 $f:S\to C$ 与 $f^{\prime }:S^{\prime }\to C$ 双有理等价, 是指存在双有理映射 $\pi :S⇢S^{\prime }$ 使得 $f^{\prime }\circ \pi =f$.

定义 1.6. 设 $f:S\to C$ 为曲面的纤维化. 若 $f$ 的任意纤维中不含 $(-1)$-曲线, 则称 $f$ 是相对极小的.

引理 1.7. 设 $f:S\to C$ 为相对极小的曲面纤维化, 而 $\Gamma \hookrightarrow F_0$ 是奇异纤维 $F_0$ 中的一个不可约分支, 则 $K_S\cdot \Gamma \ge 0$, 且 $K_S\cdot \Gamma =0$ 当且仅当 $\Gamma$ 是 $(-2)$-曲线.

引理 1.8. 设 $f:S\to C$ 是相对极小的曲面纤维化, 且 $\mathrm{g}(f)\ge 1$. 设 $\Gamma$ 是 $f$ 的纤维中的一个不可约分支, 则 $K_S\cdot \Gamma \ge 0$.

定理 1.9. 设 $f:S\to C$ 是曲面纤维化, 则 $f$ 必有相对极小模型. 且若 $\mathrm{g}(f)\ge 1$, 则 $f$ 的相对极小模型唯一.

2例外曲线

定义 2.1. 设 $S$ 是光滑曲面. 若存在正规曲面 $S^{\prime }$ 及双有理态射 $\pi :S\to S^{\prime }$ 以及 $S$ 上的曲线 $E$ 满足:

(1)	$\pi (E)$ 是 $S^{\prime }$ 上的一个闭点;
(2)	$\pi {|}_{S\backslash E}:S\backslash E\to S^{\prime }\backslash \pi (E)$ 是同构,

则称 $E$ 为态射 $\pi$ 的例外曲线.

引理 2.2. 设 $S$ 是光滑曲面, 而 $S^{\prime }$ 是正规射影曲面. 若 $E=\sum E_i$ 是态射 $\pi :S\to S^{\prime }$ 的例外曲线, 则相交矩阵 $(E_i\cdot E_j)$ 负定.

引理 2.3. 设 $S$ 是光滑曲面. $C_i$ 是 $S$ 上的不可约曲线, $m_i\in {\mathbb{Z}}_{>0}$. 设除子 $F=\sum m_i{C}_i$, 且诸 $F\cdot C_i\le 0$. 那么对于除子 $D=\sum r_i{C}_i\ne 0$, 其中 $r_i\in \mathbb{Q}$, 有:

(1)	$D^2\le 0$. 由 $D$ 的任意性, 这即相交矩阵 $(C_i\cdot C_j)$ 半负定;
(2)	若 $F$ 连通, 且 $D^2=0$, 则 $D$ 是 $F$ 的有理数倍, 且诸 $F\cdot C_i=0$.

命题 2.4. 若 $E\hookrightarrow S$ 是例外曲线, 则对于任意 $m_i\ge 0$, 有 $h^0(\sum m_i{E}_i)=1$.

定义 2.5. 设 $L$ 是 $S$ 上的除子. 若存在 $m\in {\mathbb{Z}}_{>0}$ 使得 $|mL|$ 无基点, 则称 $L$ 是半丰沛的.

定理 2.6. 设 $S$ 是光滑射影曲面, $L$ 是 $S$ 上的半丰沛大除子, 则存在正规射影曲面 $Z$ 与双有理态射 $\pi :S\to Z$、正整数 $m_0$ $Z$ 上的丰沛除子 $H$, 使得 $m_{0}L\sim {\pi }^{\ast }H$. 这时, 称 $\pi$ 是 $L$ 的半丰沛纤维化.