用户: Solution/ 讲义: 高维代数簇/除子的丰沛判别法、Hodge定理与消灭定理

1除子的丰沛性

定理 1.1 (中井-Moishezon 判别法, [Har77.V.1.10]). 设 $S$ 是光滑射影曲面, $D$ 是 $S$ 上的除子, 且满足

(1)	$D^2>0$;
(2)	对于任何有效除子 $C$, 有 $D\cdot C>0$,

则 $D$ 是丰沛的.

2一些解析理论

定理 2.1 (Hodge). 设 $X$ 是光滑射影簇, 则成立

(1)	$H_{\mathrm{dR}}^k(X)\cong {⨁}_{p+q=k}{H}^{p,q}(X)={⨁}_{p+q=k}{H}^q(X,{\Omega }^p)$;
(2)	$H^{p,q}(X)=\overline{H^{q,p}(X)}$;
(3)	$h^{p,q}(X)=h^{n-p,n-q}(X)$.

3消灭定理

定理 3.1 (Kodaira 消灭定理). 设 $X$ 是 $n$ 维射影簇, $L$ 上 $X$ 上的丰沛线丛, 则 $\forall i>0$, 有$$H^i(X,{\omega }_X\otimes L)\cong H^{n-i}(X,L^{-1}{)}^{\vee }=0.$$

定理 3.2 (Ramanujan 消灭定理). 设 $S$ 是光滑射影曲面, 有效除子 $D\ge 0$ 满足

(1)	$D$ 是 $1$-连通的;
(2)	存在 $n>0$ 使得 $h^0(S,nD)\ge 2$, 且 $|nD|$ 是有理线束.

则 $\forall i>0$, $H^i(S,K_S+D)=0$.

推论 3.3 (Ramanujan). 设 $S$ 是光滑射影曲面, 有效除子 $D\ge 0$ 是 $1$-连通的, 且 $D^2>0$, 则 $H^1(S,K_S+D)=0$.

定理 3.4 (川又-Viehweg 消灭定理). 设 $S$ 是光滑射影簇, $D$ 是 nef 且 big 的 $\mathbb{Q}$-除子, 且 $\{D\}:=D-\lfloor D\rfloor$ 的支集是 snc 的, 则 $\forall i>0$, $H^i(X,K_X+\lceil D\rceil )=0$. 特别地, 若 $D$ 还是整除子, 则 $\forall i>0$, 有 $H^i(X,K_X+D)=0$.

4Ramanujan 消灭定理的证明